COS &.COS — . COS
R— 40 15 ES us + He c08 — . COS — | 5 : 5 : CHE
Voyons maintenant ce qu’on peut tirer de la valeur connue de la série
cos 2TÀx cos 2.3 tn 1x cos 2.5r À x cos 2.7 x ÀX 12 sp 32 52 + 72
Pour
: à | 1 où » est un entier, w une quantité positive qui ne surpasse Pas ;, nous trouvons cette série égale à
expression que nous pouvons mettre sous la forme nr?
BU 4 {ax }),
en dénotant par le signe {At} la plus petite quantité qu’il faut ajouter à A ou retrancher de Àx pour avoir un nombre entier. On aura donc
cos 2T À x cos 2.3 À x cos 2.5nrÀæz. cos 2.7xÀx Tr? F = (1 —4 [à }).
En faisant dans cette formule x — 0, nous trouvons
a Rp Lure 32 5? 72 Cr EE
Cette équation, combinée avec la précédente, donne
21—cs2rÀx 21—cos2.3TÀx Tr? a? Tr? (3 x}? 1 à | = — X }.
21—cos2.5r)x 21—cos 2.7mhx a?
Tr? (5 x}? rl (7 x}? ts à, ; > 2 1— cos 2 rÀx En cherchant, d’après cette formule, la valeur de =; D pour æ = 1, nous trouvons {11h}
2 À 3x 5 mi 3 (1 — cos 2m) = 151 LE PEUR — | + — «
__{i8A} , {15} I UE un
et, par consequent, FAR THAT EASAL © (TA. 112)
| 32 52 72 112 cos 2% À = 1 — re RULES ELLE ESS 132 152 ,
Voilà une expression de cos 2 xÀ dont le calcul ne demande que la multiplication de À par 1, 3, 5, 7, 11, 13, 15,... Nous trouverons une expression pareille pour sin 2xÀ, en remplaçant dans la formule précédente
1 HR À par À — =, ce qui donnera la série
(il net) [u-4( {nt}
sin 2r71—1—T |) , {ua} {isa} {isa}
qui, par la propriété de la notation { }, se réduira à
( h—+) (sise) {sa—2} ue DT 32 EN 52 A ; Tr?
sin 2xÀ = 1 g À :
{ua} {isa} ER MT UE rar
SEAL MS FOREST OT EDP ga Pipe "ge ge" jus Mug Dj Fgge À age te:
= PANIER RE 0 Dr "18 TT 10 133 V3 Pet (| ÉRIC TT ST CSS
CR
OS TS LS ue in 3 5 7 9 11 13 15 ?
+ DUR ets Da: lt 182. 162 °°‘) 83 53 73 93 11 133 15 LÉ
Pour y parvenir, nous remarquons que le produit
1 À 1 1 1 pare ques ce CT CS UE E gm 5m 7m A Fi 7 13m
se réduit à cette série-ci:
Cris R bei he..(— 1m RS ch au
1 + sm tpm TRS RESTE SPRNÉT MONET MERDE
et, par conséquent,
log [1 DD De PC) LA EL SR Gr PE |
3m 5m 7m gym EU 13 15m = — log (1-7 =) — log (1 — 5m) — 8 (1—S SE)
( — og (1 — <<) he — sn) —...
oi L'ÉP 1 (1 1 (— Le En — gm go gm +3 som 4 sim Ÿ 5 gsm 1 L'reL Roue LANE LL
DM LM (PM 1m 1 (— pm 7m D 7m Ÿg qom Ÿ 4 qam 5 7m
nn gs es Fo qum V4 1m 5 pm Rs he de 18m 7 2 192 8 138m 4 13m 5 35m * :
De là nous tirons la formule
log 5, —=2,, + — + Bon ++ Zn 7 DE m F7 Zn ee.
en dénotant la somme
CAPE 2 0m 1 (= 597 1 (ie GC LESS Re Cube slot OURCIT MM URI mar Le
par &S,,, et les sommes de la forme
(15, 1. (1 (—1" 1 (4) Gñ ++ sie atere e me
en général, par Z,. En changeant dans l’équation précédente »# en mx et divisant ensuite tous ses termes par %, nous aurons
1 1 1 1 1 1 LS, = + Zone 5 Zn + D Pine EE nn + d’où nous tirons, pour la valeur de Z,,,
Z,, = logS,, — 5 log Se, — 5 10g Sy — F log S + +108 So, — +108 Sy, —. se
Ainsi nous parvenons à déterminer la valeur de la série Z,, de la
forme (4), composée seulement de nombres premiers, au moyen des valeurs des séries 5, Son Samr Ssm > Sem > Sam ? de la forme (3), composées de tous les rte impairs. Dans le cas particulier de
Mes, 2, 9
la formule que nous venons de trouver donnera
4 1 1 1 2, — log S, —- log S, — log 5; 5 log 55 + + log 5 5, — log 8, — À log 8, — L10g 5, — À 108 S,9+- + 108 S— a = 1080, —- 108 0, — 3% 108 5 — 108 Dio + G 108 Dis 2, = log 8, — - log Se — log S — 108 Sis+ L 108 8 — Mais on sait que P 1 HSE FR 1 1 1 D RS marne put Dre L1+—> ! + — ; —+ : + —— ; te HZ 1 Déesse Nr J'ÈRUS É E u CAON AE ETS 33 53 7." 9 115 135 153 S,=1+x es + ER 94 114 134 7 RES 1 1 1 1 1 1 1 ee Bo P'S. 1 M ww 1 1 1 1 1 1 Fe RE l++ be dr OT SOOCOLECT RONT RS S, oi env, PH ue à PRE 37 57 77 97 117 137 157 a 1 1 1 1 1 1 1 So = 1 — 6 + 5 — 75 + gp — je is 15 . 1 1 1 1 1 1 1 cé So 1 + 556 + 50 + 70 + 96 + 1e +0 Figm +. —
Donc, d’après les formules précédentes, nous aurons
2, = log +
ie, 2 108%
ll mt 2 108 56
log 555 —
1 Tè 1 510835 —%
