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Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes.

$ 1. Quand il s’agit d'assurer la direction du mouvement rectiligne d’une pièce soumise à un effort oblique, il ne suffit pas de rendre les inégalités des guides peu sensibles à la mesure; les déviations, qui ne sont pas appréciables à l’oeil nu, se manifestent clairement par les résistances passives qui en résultent. En guidant la tige du piston de la machine à vapeur à l’aide de coulisses ou glissoires, on prend un soin particulier de les exécuter avec une perfection aussi grande que possible. En remplaçant ces guides par le parallélogramme, on est de même obligé à augmenter le plus possible la précision de son jeu, et cela d'autant plus, que même dans les circonstances les plus favorables il présente des déviations bien plus grandes que celles qu’on ne saurait jamais admettre dans le mouvement de la tige guidée: par les coulisses ou glissoires. Les efforts latéraux qui résultent du défaut du jeu du parallélogramme se manifestent souvent même par la formation d’une certaine ellipticité dans la boîte à étoupes.

Or, dans l’état actuel de la Mécanique pratique, on n’a pas de régles sûres pour trouver les éléments les plus avantageux du parallélogramme. Faute d’une méthode directe, on détermine ses éléments d’après les conditions qu’on croit être nécessaires pour la précision du jeu de ce mécanisme. Ainsi l’on trouve la longueur de la tige-guide et le lieu de son axe d’oscillation, en cherchant à rendre la direction de la tige du piston tout-à-fait verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course. D’après cela, et en supposant données les brides du parallélogramme, tout se réduit à déterminer convenablement la position normale de la tige par rapport au balancier. On trouve cette position, en cherchant à placer la tige de telle manière, que son prolongement passe par le milieu du sinus-verse de l'arc

“décrit par l’extrémité du balancier. Ici, ainsi que partout dans la suite, nous

prenons pour l’extrémité du balancier son point d’attachement à la bielle latérale.

Si l’on trouve qu’il y ait un avantage particulier de donner à la tige du piston la direction tout-à-fait exacte au commencement, au milieu et à la fin de la course, la tige-guide qu’on trouve d’après la méthode dont nous venons de parler, est évidemment la seule qui remplisse cette condition. Mais ce cas, comme nous le verrons, n’est pas le plus favorable pour la précision du jeu du parallélogramme dans les autres points de la course du piston. Quant à la position la plus avantageuse de la tige du piston par rapport au balancier, le principe précédent ne nous la donne pas. D’après la théorie que nous proposons dans ce mémoire, on verra que la tige du piston doit être plus ou moins rapprochée du centre du balancier, selon les dimensions du parallélogramme, et, dans les cas les plus ordinaires, sa direction ne passera pas par le milieu du sinus-verse de l’arc décrit par l’extrémité du balancier. Aïnsi, dans le cas où le parallélogramme de Watt est construit sur la demi-longueur du bras du balancier (comme Watt l’a fait lui même, et comme on doit le faire, si l’on est maître de disposer des dimensions du parallélogramme) on diminue notablement la limite de déviation de la tige de sa direction normale, en l’approchant du centre du balancier plus qu’on ne devrait le faire d’après le principe dont nous venons de parler, savoir: 1) si, dans le cas où l’on cherche à rendre la position de la tige tout-à-fait verticale au commencement, au milieu et à la fin de la course, on prenait pour sa direction la ligne qui divise le sinus-verse de l’arc décrit par l’extrémité du balancier dans le rapport de 2 à 1, et 2) dans le cas, où l’on ne cherche pas l'exactitude absolue dans les deux positions extrêmes de la tige, on prenait pour sa direction la ligne qui divise ce sinus-verse dans le rapport de 5 à 8.

Dans le dernier cas, la tige-guide ne sera plus déterminée par les positions limites du balancier; on doit pour cela prendre les positions qui les précèdent à peu près d’un quarantième de l’amplitude de l’oscillation. Quelque petites que soient les modifications dans la construction du parallélogramme de Watt que nous venons de mentionner, et qui ne sont que des résultats approximatifs tirés de nos formules, elles augmentent notablement la précision de son jeu. A l’aide de l’analyse on peut s’assurer facilement qu'avec ces modifications la limite de déviation de la tige par rapport à la ligne verticale diminue plus que de moitié.

Cela nous prouve clairement que le principe qui est la base de la théorie actuelle du parallélogramme est loin de réduire au minimum la limite de ses déviations, si nuisibles par les efforts latéraux qui en résultent sur la tige du piston, et par conséquent, que non seulement pour la théorie,

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mais aussi pour la pratique elle même, il est très important que, dans les recherches sur le parallélogramme, ce principe, qu’on ne cherche à vérifier qu’à l’aide des considérations inexactes, soit remplacé par une méthode di- | recte; ce but atteint, on pourra, d’après la nature de ce mécanisme et sous les conditions qui se présentent dans la pratique, donner les éléments les plus convenables pour la précision de son jeu. C’est cette méthode que nous nous proposons de donner dans ce mémoire; elle embrasse le parallélogramme de Watt et toutes ses variétés qui sont en usage dans la pratique.

$ 2. Lorsqu'on développe une fonction fx suivant les puissances de x— a, la somme des premiers termes nous donne un polynome qui, parmi tous les autres du même degré, s’approche le plus près de fx dans le voisinage de æ—a. On prend ce polynome pour la valeur approchée de fx, quand on la cherche sous la forme d’une fonction entière. Mais pour l’évaluation de fx sous cette forme, on doit préférer un autre polynome à celui-ci, si, au lieu de s’approcher le plus près possible de fx dans le voisinage de æ— à, on cherche à augmenter la limite de précision de sa valeur approchée dans l’intervalle donné de x: ce second polynome sera déterminé par la condition que la limite de ses écarts de fx, dans l’intervalle donné, soit moindre que celle de tous les autres polynomes du même degré. A mesure que cet intervalle diminue, la seconde valeur approximative de fx s’approche de celle qu’on trouve par le développement de fx suivant les puissances de x— a, à étant convenablement choisi. Mais tant que cet intervalle reste fini, les coefficients de ces deux valeurs approximatives de fx diffèrent entre elles, et ces différences, même dans le cas où elles sont petites, ne peuvent être négligées dans la théorie des mécanismes dont nous nous occuperons. Nous avons déjà remarqué combien il était important de déterminer avec une approximation suffisante la position de la tige du piston par rapport au balancier, ou, ce qui revient au même, les angles du parallélogramme dans sa position moyenne. Or, ces angles ne s’écartent que bien peu de 90°, et ces écarts ne sont que le résultat de la différence entre les coefficients des deux valeurs approximatives de la fonction, dont nous venons de parler; savoir, de la valeur qui donne le #inimum de l'erreur dans le voisinage d’une valeur de x, et de celle, dont la limite des erreurs, dans l'intervalle donné de x, est un minimum. Si on ne tient pas compte de ces différences, on trouve 90° pour la valeur des angles du parallélogramme dans sa position moyenne, et l’erreur qu’on commet ainsi, quoique d’un petit nombre de degrés, suffit cependant le plus souvent pour diminuer de plus de dix fois l’exactitude du jeu de ce mécanisme.

D'après ce que nous venons de dire, on voit que la théorie des paral-

lélogrammes que nous nous proposons de donner, est impossible à l’aide des

formules approximatives qui ne sont déterminées que d’après la condition de donner le maximum d’exactitude dans le voisinage d’une seule valeur de la variable; cette théorie démande des méthodes d’approximation, qui puissent fournir le maximum d’exactitude par rapport à toutes les valeurs de la variable entre deux limites données. C’est en cela que consiste la difficulté de cette théorie.

Relativement à la méthode d’approximation, dont nous venons de parler, nous n’avons que des recherches de M. Poncelet, qui a donné des formules linéaires pour l’évaluation de ces trois expressions

Vi+g), V(—y), V(e+ y +),

formules d’un grand usage dans la Mécanique pratique. Dans les problèmes de M. Poncelet, les équations qui déterminent les coefficients cherchés se résolvent facilement. Mais cela n’a lieu que dans des cas très particuliers. À plus forte raison, leur solution exacte est impossible, si l’on cherche la valeur générale de ces coefficients pour l’évaluation d’une fonction quelconque; car alors ces équations, d’une forme très compliquée, contiennent une fonction arbitraire. Donc on ne peut donner des formules générales pour cette méthode d’approximation qu’à l’aide des séries. C’est ainsi que nous avons cherché à résoudre la question suivante:

«Déterminer les modifications qu’on doit apporter dans la valeur appro- «chée de fx, donnée par son développement suivant les puissances de æ—a, «quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre 3—=a—h «et x — a+ h, h étant une quantité peu considérable».

La théorie des parallélogrammes que nous proposons ici, est fondée sur la solution de cette question dans le cas, où le développement de fx s'arrête au terme suivi d’un autre plus élevé d’un degré; c’est le cas qu’on rencontre le plus souvent dans l’évaluation des fonctions.

$ 3. Soit fx une fonction donnée, U un polynome du degré n avec des coefficients arbitraires. Si l’on choisit ces coefficients de manière à ce que la différence fx — U, depuis &æ = a—h, jusqu'à x—a+-h, reste dans les limites les plus rapprochées de 0, la différence fx— U jouira, comme on le sait, de cette propriété:

«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence «fax — U entre les limites x = a—}, x—a+h, on trouve au moins n+-2 «dois la même valeur numérique».

Les valeurs que fx — U prend pour = a—h, x —a+h sont considérées comme maximum où minimum.

D'après cela on trouve facilement les équations que les coefficients de

U doivent vérifier. Si nous convenons de dénoter par Z la valeur numérique commune des n +-2 maxima ou minima de fx — U qui doivent avoir lieu entre les limites 4— a—h, x — a+ h, l'équation

(1) Fa UŸ—L—0

doit avoir n +2 racines comprises entre a— et a+, et toutes ces racines doivent vérifier l’équation

d (fr —U) __ dx

qui est la condition du maximum et du minimum, ou bien se réduire aux valeurs a — h, a+ h; en un mot, les n + 2 racines de l’équation (1), comprises entre a— h, a + h, doivent vérifier celle-ci

Cela nous donne un nombre suffisant d'équations pour trouver les n+ 1 coefficients du polynome U et la valeur inconnue Z; car chacune des n+-2 racines communes aux équations (1) et (2) suppose une équation entre les coefficients de U et la quantité Z, ce qui fait en total n + 2 équations. La résolution de ces équations n’est évidemment possible que dans le cas, où l’on donne à la fonction fx une forme déterminée. Mais si la quantité k est assez petite, on peut laisser fx arbitraire et chercher les coefficients de U en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de cette quantité. Nous ne chercherons ici ces coefficients que pour les cas qui se présentent dans la théorie des parallélogrammes, mais notre méthode peut être étendue à tous les cas, où f(a +2), dans les limites 2— —%, 2— +}, peut être développée d’après la série de Taylor, ce qui sera l’objet d’un autre mémoire.

Pour simplifier nos formules nous dénoterons par

les valeurs

fa, 9,

et par conséquent le développement de fx par la série de Taylor donnera

fa=k,+k, (x—a)+Kk, (x— a) +.....

métis.

De plus, nous ferons & — a — h2, ce qui réduira le développement de fæ à la forme k+k hè+k Re +.....

et les limites x—a—h, x—=a+h

se changeront en celles-ci:

Cela posé, le polynome cherché U sera déterminé par la condition que dans les limites z2— — 1, z2— +- 1 la différence

(3) k,+k h2+k, Pi+.. —U—=7Y

s’écarte le moins possible de zéro.

Or, si l’on netient compte que des quantités de l’ordre moins élévé que k°*1, la valeur de Y devient

k+k hi+k, Per +... + k he —U,

et son minimum est évidemment zéro; car le polynome cherché U étant du degré », on peut réduire X à zéro, en prenaut

(4) Uk, + k het. +R Nan.

Donc la valeur de U, exacte jusqu'aux quantités de l’ordre 4°”, sera égale à k+k hz+k Res... + k he.

Il n’est pas difficile de s'assurer que l’ordre de précision de cette valeur de U sera encore plus élevé, si dans la série

h+k hate +... + he +R Re,

le terme k,k" 2" est suivi d’un certain nombre de termes égaux à 0. En effet, s’il arrive que

(5) DL pit et

. Ja valeur de cette série peut être remplacée par

k+k he+k, Pa+.. +k he

même dans le cas où l’on cherche le polynome U avec une précision poussée

jusqu’à l’ordre "7%, Donc en général, la valeur exacte de U sera de cette forme