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deviennent réels et rationnels. De plus, la forme générale des termes logarithmiques

À log [o(A).p*(aA). (A). . .g"" (&"-* A)],

à cause de m — 2, A — V 0x, devient

A log [o(V 6).97t (— V 02)] = À log = en

et comme o est une fonction entière, on aura o(VOr)—=X, + XV 0x, p(—VOx)=X, — XV 0x,

où X,, X sont des fonctions entières.

Dé les termes logarithmiques, dans la valeur de l’intégrale Re

fa 0x?

s’écriront ainsi:

X,+XV 6x

A log x, = XV"

En cherchant à déterminer ces termes, nous avons trouvé que le coef-

ficient À sera égal à une valeur connue, divisée par un nombre entier inconnu, X, + X VOx X,—Xy6e sera exprimé par le produit »,. M, où M} est une valeur connue. De plus, cette fonction, pour toutes les valeurs finies de x, sera en rapport fini avec

la puissance us de la fonction

et si l’on désigne ce nombre par »,, le degré de la fonction

M," fr MA—-1) :

(@—x)" | (a— —y%! d'u PU (œ—x") FE (x—2ù 1) i (œ—a +),

où les nombres ’ 1, UU A—1) ME EME |

dans le cas que nous examinons, sont réels et rationnels. En passant à la détermination des inconnus »,, X,, X, nous remarquons que », doit être susceptible de réduire les produits

Xo + X V0x

qui ne peut être fractionnaire, X,, X étant des fonctions entières; la même chose a lieu relativement aux produits

à des nombres entiers: car le produit n, M,° désigne le degré de

, " "mr A—1) n,M,,n,M,,n,M, ...nM, qui sont égaux aux exposants de æ— x", æ—2", æ—x",...%— 20 dans X, + X y0x X— X Vox croissantes de æ—x,x—2x,x—2"...%—2 1, Done, n, doit être divisible par le plus petit dénominateur, auquel les quantités

les premiers termes du développement de suivant les puissances

Me, M,, M/...M9T

peuvent être réduites, et par conséquent, si l’on désigne ce dénominateur par o, et le quotient n,:o par +-p ou —@, on aura

où nous prendrons celui des deux signes qui appartient à la valeur de M.

D’après cela, n, M, le degré de KG sera exprimé par + o Me, où + oc M! se réduira à un nombre entier et positif. En dénotant ce nombre par —, et désignant, d’après la notation d’Abel, le degré de Re par Ô Re nous aurons, relativement à p, cette équation X,+XV 6x Ô XV 0 — TP.

Quant à la fonction qui, pour toutes les valeurs finies de x, reste dans ; .… ZX, +X 6x un rapport fini avec la fonction XX /u?

réduit à

en vertu de n, = + po, elle se

My M; M;" y MA) NT Lx) Ta) enr eat,

et comme les produits oM;,oM;"..... o M0, d’après la propriété du nombre ©, se réduisent à des nombres entiers, la fonction

M: M; M," , t] MA—-D "ht (2) OS id ad N°" , (œ—aûrs) | ç

sera rationnelle. Donc, si nous faisons, pour abréger,

M! M M;" 1 M1) ES [(æ-x) Hero ad : ..@A2 ) .(œ—at+) ] =;

où w, v sont des fonctions entières, et que nous convenons de désigner par

la lettre T toutes les fonctions qui restent finies, tant que æ n’est pas infini,

AE 27 "Due question sera exprimée par cette

la propriété de la fonction équation Hxrvéw -\e):

C’est d’après cette équation, combinée avec la suivante:

5 X,+ XV ds Sesire

que nous devons chercher le nombre 6 et les fonctions X, et X. Ces équations seront le plus souvent très compliquées à cause du degré

élevé des fonctions w et », et de la valeur considérable de x. Or, nous allons montrer qu'on peut les réduire à la forme, où le degré de wv, plus le nombre %, sera au-dessous du degré de V6.

Il n’est pas difficile de s’assurer, que 4, 4, étant deux fonctions

entières dont le produit est égal à x, et p et q des fonctions entières quel- X, + X y0x

conques, on peut mettre la fonction cherchée X,— Xyür S0US la forme

(otre) P, + Q@, V 0x PVO —aV 0) Po — QoV 0x?

en choisissant convenablement les fonctions entières P, et Q,. En effet, le quotient

X,+ XV 0x (Res e) X,—XVUx' \pV —qVv0, se réduit à

(Xo+ XV 6x) (PVO —aVv0$ __ (X5+ XV 0x) (p6, — q V OxŸP (Xo — XV 0x) (V6, +qgV 6) 7 (Xo— XV 0x) (p6, + q V 6x)P?

Po + Qo V0x P,— Q, V6z?

la partie rationnelle du produit (X,+ XV 6x) (p0, —qVôxŸ, et par Q, V Oz celle qui a pour facteur VE.

Mais, si l’on substitue dans les équations

expression qu’on peut mettre sous la forme en dénotant par P,

X5,+ XV 0% __ nf u \? X,+XV0x (1) Dre 1(%) » D LH VE — TP : te P,+ Qo V0x ; X, + X V0x 3 le produit (Pr P,— Qt à la place de X,—Xyü Ces se ré

duisent à celles-ci

P+ QoV 6x __ T(& re)?

Po + Qo V 0x __f D) BP Qt —(* DV —a V0, £

et si les fonctions p et q sont choisies de manière à ce qu’elles vérifient les

équations

De SPVu+avé u/? pP V GA TE. q V4 0

at les équations qui déterminent les nouvelles inconnues P, et Q, deviennent

Es PATES k v MIT TRI T AT

P,— QoV PQ y = (ET me