R 2VC—=Y" C3 —Y

ou 20 Vc=(ay) —Y; R,

ce qui donne, contre l’hypothèse, une solution de l’équation Y°—PR—C,

où Y— y, est d’un degré moins élevé que y.

Mais les fonctions RÀ,, R, ne peuvent être non plus de degrés supérieurs à zéro; car, autrement, on parviendrait à décomposer la fonction bicarrée R en deux facteurs À .R, et, par conséquent, à trouver au moins une racine de l’équation R—0 au moyen des seuls radicaux carrés; car, d’après (11), pour trouver R, et À, on n’a qu’à chercher le commun diviseur des fonctions y, + yc et R, y, — yc et R.

En terminant notre Mémoire, nous allons faire le résumé des procédés qui, d’après ce que nous venons d’exposer, constituent, avec nos recherches citées plus haut, une méthode générale d'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynome du 3”*° ou du 4”° degré, en tant que cette intégration est possible sous forme finie.

Nous supposons que préalablement la partie rationnelle de ces diffé-

Jot dx Fx Vox? où

(2%, F,x n’ont point de commun diviseur; nous supposons ainsi que 4x, qui n’est que du 3° ou . = Le n’a pas de facteurs multiples; car, autre-

ment, l'intégration de À

rentielles a été séparée et que le reste a été mis sous la forme

Fa ; Le © deviendrait très simple.

Pour trouver l'intégrale (he ss sous forme finie, en tant que cela est

possible, on procédera de la manière suivante:

1) On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions

F.x 0x et Eor-02) 0 dæ

2) On déterminera les degrés des fonctions i- . + __ Si ces fonctions

sont de degrés inférieurs à — 1, le terme algébrique dans l’expression de l'intégrale cherchée manque. Dans le cas contraire, on prendra n égal au plus petit nombre entier supérieur aux degrés de ces fonctions, et on cherchera les coefficients du polynome

. Nous dénoterons ce diviseur par Q.

P=B,s"+B, 2" "+....+B2+Bx+B

d’après cette condition:

Pa Fx.0x ï)

: Fix 0x dP d ONCE

la fonction fee — a ( ÿ d” FPE P doit être divisible par Q@ et avoir pour quotient une fonction d’un degré qui n’est pas plus

élevé que celui de Le,

Si cette condition ne peut être remplie, on conclura tout de suite que l'intégrale cherchée est impossible sous forme finie. Dans le cas contraire, on trouvera les coefficients du polynome P, et l’on conclura que la partie

algébrique dans l’intégrale cherchée a pour valeur 5 V 0x.

d L y0x fé

3) On mettra la fonction #2 — V 0x <— sous la forme =, où fx, Fx sont des fonctions RON qui n’ont Kia de commun diviseur; on cherchera les racines de l’équation Fx— 0 et l’on calculera les quantités K°, K', K", K"',....K d’après les équations

0— a CARRE à 2 D PRIE LM MIA (D) — he Le | Ve Le KL = one Ê = Fee) — Fa) 0(xl) où æ,æ”,....æ désignent les racines de l'équation Fx= 0 et F'x — e

4) On cherchera les nombres entiers M°, M", M",....MŸ quirendent MK + MK + M'K'+....+MORKÔ— O0.

Soient À le nombre de toutes les équations de cette forme qui ne sont pas identiques entre elles par rapport à

RAT KR et

KM, Re. M, KP -K"- SM, KO? ROIS ŒM, oh