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et comme @x n’est que du 4% ou du 3" degré, cela prouve que les diffé- Tences T— 7", T, —#7 SsOnt au-dessous de 1, ce qui ne peut être à moins qu'on wait x —T,;. D’après cela, les équations qui déterminent P, et Q,, en fonctions de z, deviennent

formules que nous mettrons sous la forme

de es M Fa Et Vel se, F0# — o y“ ( —) Pie — Q VEZ ( 2 )

pour délivrer la fonction radicale des puissances négatives de z. Or, la première de ces équations ne diffère que par la forme de celle, qu’Abel a traitée dans son Mémoire «Sur l'intégration de la formule difjé-

rentielle ee , R et o étant des fonctions entières», et d’après les recherches ingénieuses de ce grand Géomèêtre nous savons que cette équation est impossible, sauf le cas de P,— 0, ou Q,—= 0, si la fraction continue résultante de

V#6 ( =") n’est pas périodique, et dans le cas contraire, si l’on a

a — bz 1 y }=r+; 1 az Fi + — To +

+ — 1 To + Fr Del. | li + — Ta +.

on vérifiera cette équation en prenant P,2? £ D rs.

0 To + é + — 1 Quant à l’équation PQ V Ag (es 5 az EU = Ep,

a — bz az

Po — Q DEZ

On la vérifiera, en choisissant convenablement p, savoir en prenant

LG 2 a 10 DE)

ns LOIR 2 ES

AA) * Ep)

Done, si l’on fait, pour abréger,

Po + Qo V6x

la valeur cherchée de PF, — Q, Vüx”

en fonction de z, sera

et d’après l’équation ax + b — *, nous aurons, en fonction de +,

2 à (9) Po + QoV6x __ (e+2) Pa)" vie P,— Q, V0x ( Je(=2)- Me

alols

Quant au nombre p, on le trouvera d’après l’équation

Cette valeur de 9 nous montre que la solution des équations (8), que nous venons de trouver, ne peut être employée que dans le cas, où € ne se réduit pas à zéro; car, pour e — 0, cette valeur de o devient infinie, tandis que p désigne chez nous un nombre fini. Mais dans ce cas on vérifiera, évidemment, nos équations par une valeur finie de ©, en prenant une des solu-

tions de l’équation an [a —b2\ P,2+Q 20 (© #0),

4 a — bz ie ' BE — Qi y/ #0 | = )

que nous avons exclues, savoir: Q, = 0 ou P,— 0, ce qui donne

GE EME PT 10-08) P,2+0Q V #0 mé À P,2° + V#0 ) 0 0 ( me" je + 5 0 @o ( : re ARS

Ba @ #0 (=) na /#0 (=)

Dans ces solutions, pour e — 0, le nombre 9 reste arbitraire, et l’on pourra prendre p — 1. Remarquons que ces solutions qu’on pouvait aussi tirer de la formule (9), en prenant ® (+) égale à O ou co, ne pourront être employées, à leur tour, que dans le cas de e — 0, car, autrement, p serait égal à 0, tandis que ce nombre doit être différent de zéro.

P,+ Qo VOX P, = Q VEz de la division de p°4, —q°0, par uv se réduit à ax +b, et que a ne soit pas égal à zéro. Mais s’il arrive que a — 0, les fonctions w’, v', d’après ce que nous venons de dire relativement à leur détermination, se réduisent à des constantes, et par conséquent, les équations qui déterminent P,, Q, et

deviennent

Ainsi l’on trouve la fonction et le nombre o, si le quotient

P5 + Qo V0x P,+ QoV0x Po Poe Ur Me

Or, comme ces équations sont de même nature que les équations (8),

et que seulement ici P,, Q,, VOx,r—", remplacent P,2, Q,, V #40 (=),

az e, nous concluons, d’après les formules précédentes, que la solution de ces équations sera donnée par ces formules .

P,+ Q5 VOX __ po(x) + VÜx AE 1 5 @0(x) + V0x Po— QoVe po) Var Pr ° por) — Va?

où l’on prendra pour ,(x) zéro ou l'infini, si T— 7m = 0,

et dans le cas contraire, on développera V 4x en fraction continue

Tr + — 1 To +.

+ — a+ — NS Srog FER et l’on prendra L=T+— 1 Po () “RÉ RRS CSSS re 1 Te + —.,

Nous remarquerons encore que si les équations primitives

p X,— XV — (5F us "huile :

remplissent elles mêmes la condition d (uv) + tr << V 0%,

on trouvera leur solution au moyen des formules que nous venons de donner pour résoudre les équations réduites

P5 + Qo VOX __ u'\P P,+ QV0x Be Ty) dRgre (me.

Dans ce cas, on prendra x au lieu de x — n,, et l’on trouvera 4, b, e, en égalant

RTE OS © (ax+b}"

D’après ce que nous venons d’exposer sur la solution des équations

(10) Re 2(+) RER )

X,—XVOx ” \v —XVEx — TP)

on peut prouver qu’elles sont impossibles, si, 4x étant du quatrième degré

ie t ——

et -7 de degré impair, l'équation 4x — 0 n’est pas vérifiée, en prenant

ns x une valeur composée des racines de l’équation wv — 0 et des coefficients de 4x à l’aide des seuls radicaux carrés, et que, par conséquent, on ne peut pas exprimer en termes finis toutes les intégrales, dont la détérmination se réduit aux équations (10) de cette catégorie.

Pour le démontrer, nous remarquerons d’abord que dans le cas où uv ar Vox

d’après le $ 3, en prenant cette décomposition de 4x en deux facteurs AyoS

est de degré impair on peut exécuter la réduction des équations (10),

et si avec ces valeurs de #,, 4, et en supposant connues les racines de l’équation #v — 0 on fait la réduction des équations (10), et qu’on cherche leur solution, on ne rencontre que l’extraction des racines carrées et les différentes opérations rationnelles. Donc, dans toute cette analyse, on n’aura

que des quantités qui ne peuvent vérifier l’équation 4x — 0 dans le cas que nous examiuons. Or nous allons prouver que tant que cela a lieu, on ne peut donner une solution des équations (10).

D’après le $ précédent, dans la solution des équations (10) on ne peut

se passer du développement de y#° (=) ou VOx en fraction continue

que dans le cas, où l’on as = 0, où mr —7, —0, 4 —0. Mais nous savons (voyez $ 4) que la quantité € ne se réduit à zéro

que dans le cas, où la valeur & ——— vérifie ces deux équations

PVO +4 VO 0

PVUu— VU

VO, —pV | Dh — p° et comme le produit ? De ‘2 …. est égal à PE —a%+-b,

cela suppose que le développement de

p VO +4qV0O PVO —4 V6

: b suivant les puissances de æ+— contient des exposants fractionnaires, ce AN RON DIRE . b qui ne peut avoir lieu, à moins que 6, ou Ÿ, ne contienne le facteur + —,

Dan et par conséquent, cela suppose que la valeur = —- vérifie l’équation

0,0, = 0x = 0, ce qui ne peut être admis, comme nous l’avons remarqué. Le cas de a—0, x —7m —0 ne peut avoir lieu, car nous avons trouvé, dans le $ précédent,

et comme 20, — 92 PU 18 VS } b,

uv 0, =1, 0,—= 0%, cela nous donne

mme DOTE 5 (ar + D) = DIE DE — 3 (ax + D).

e 2 o T Mais dans le cas que nous examinons la fonction ps est de degré

impair et la fonction Ra d Hu

rence x,—#x est de la forme 2k + 1; et, par conséquent, ne peut se réduire à zéro.

’un degré entier; donc, si a —0, la difié-

Il nous reste maintenant à prouver qu’on ne parviendra pas non plus

à la solution de nos équations par le développement de V# (=) ou

V/ 4x en fraction continue. Pour cela, nous allons montrer qu’en général, si aucune des racines de l’équation bicarrée R — 0 ne peut être exprimée à l’aide des seuls radicaux carrés, la fraction continue, résultante de VR, ne peut être périodique, de la forme

En effet, si cela avait lieu, nous savons, par les recherches d’Abel, qu’on parviendrait, par ce développement de y, à la solution de l'équation

Fi— Y'R—0C,

où Y,, Y sont des fonctions entières et C une constante; le tout, étant déterminé par le développement de yR, ne peut contenir que des quantités exprimables par les coefficients de À au moyen des seuls radicaux carrés. Or, une telle solution de l’équation

Y°—R—C étant admise, supposons que

Yo —Y R—=c,

soit celle parmi elles dans laquelle y diffère de zéro et soit en même temps du degré le moins élevé.

D’après l’équation précédente nous trouvons

Yo —C=YÿR, et, par conséquent, (Vo + VC) (Yo — Vc) = ÿ R.

Comme y, — VC, y,+ yc ne peuvent avoir de commun diviseur, cette équation ne peut être vérifiée à moins qu’on n'ait

(1) + VC—=YR, y —VC=Yy) Rs, Yi Va —= Y; E, R, = R,

et, par conséquent, 2Vc=Y"R, —Yy"R,.

Or, on ne peut pas supposer que l’une des fonctions Z,, À, se réduise à une constante; car, en admettant, par exemple, que À, —c,, on trouve,

d’après (11), R, 2 et, par conséquent, l’équation précédente devient