TA FN NOR

Sur les fractions continues.

Au mois d'octobre de l’année dernière, j'ai eu l’honneur de présenter à l’Académie des Sciences un des résultats de mes recherches sur l’interpolation: c'était une formule qui représente approximativement une fonction cherchée, d’après plusieurs de ses valeurs particulières, et dont les coefficients sont déterminés par les conditions de la Méthode des moindres carrés. Cette formule, comme on le voit par mon écrit inséré dans le Bulletin de l’Académie (t. XIIT, n° 13) sous letitre de Note sur une formule d’Analyse*), s'obtient à l’aide du développement d’une certaine fonction en fraction continue. Ajournant ce qui touche aux conséquences de cette formule relatives à l’interpolation jusqu’à la fin de mes recherches sur ce sujet, je vais la considérer ici dans ses rapports avec les fractions continues, comme exprimant une propriété particulière de ces fractions.

Je commencerai par la déduction de la formule que j'avais présentée sans démonstration dans l'écrit cité tout à l’heure. Ensuite je férai voir ce qu’on peut en tirer relativement aux propriétés des fractions convergentes qu’on obtient en développant de certaines fonctions en fractions continues.

Nous commencerons nos recherches par la solution de la question suivante :

On connaît des valeurs de la fonction F(x) pour n + 1 valeurs de la variable, 4 = 2%, %,%s,...,, et l’on suppose que la fonction puisse être représentée par la formule

+ ha",

a+br+ +... .+ gx"

*) Voir plus bas, à la fin de ce Volume,

Loi Dee

l’exposant m ne surpassant pas n. Il s'agit de trouver les coefficients de la formule en les assujettissant à ne laisser aux erreurs des valeurs F(x;),

F(x,), F(x;),....F(x,), que la moindre influence possible sur une valeur quelconque F(X).

On obtient immédiatement cette suite d'équations

F(x)=a+ba, + +....+9r" +hx" F(x)=a+bx, +on +... +9" + hr;

F(x)=a+tbr, + cr +....+92" "+";

F(x)=a+ba,+ c++... .+ gx" + ha".

Pour exprimer la valeur de F(X), à l’aide de ces équations, nous les multiplierons par des facteurs indéterminés À,,X,À,,....À,, et nous en prendrons la somme

LF@)+hAF()+LX Fa) +... + Fa) =a4+A ++... .+ à) + bit +A ++... HA Z,)

+C(t + + TR +... +),

+ 9 (T0 HAUT EN + Ha) Si, maintenant, nous comparons cette somme à l’expression de F(X), qui doit être F(X)=a+bX+cX+....+9X" "+ hX", nous trouverons que pour assurer la relation

F(X)= dk F0) + F(&) + À Fu) +... 2, F(x,),

il suffit que les facteurs À,, À,, À,....72, satisfassent aux équations

29 ER SE PS Le A PATES NS ES À AT FU Ha tg Focrssososssese +À,%, = X, AL À TH Na eee + À,,2,2= X?,

ÉD SEE dns CE ie et eRe Dr mod nes das dé le COR ef AT NE NE = X”, 19% HAUT Hit + MS XX"

Lorsque »m = n», ces équations déterminent complétement les facteurs A0, À A9»... À, puisque le nombre des unes et des autres est le même. Dans ce cas le système de facteurs ainsi calculé est le seul qui puisse former les coefficients de l’expression générale

F(X)= Fa) + Fa) + Fa) +... +2, F(x,).

Si, au contraire, » <n, ces équations pourront être satisfaites d’une infinité de manières, et chaque système de valeurs assignées aux facteurs A0 Ms Âge «À, dans la formule

F(X)=hF(t) + Ft) +2, Fa) +....+7, F(x,),

fournira une expression particulière de F(X). Mais, d’après la dernière condition du problème, il faut choisir, parmi toutes les expressions de F(X), celle dans laquelle les erreurs des valeurs F(x,), F(x,), F(&),....F(x,) ont le minimum d'influence sur la grandeur cherchée F(X). Or on sait, par la théorie des probabilités, qu’on parviendra à ce but, en assujettissant les facteurs À, À,, À,....7, de F(X) à réduire au minimum la somme

ko + EN +R +... +? À

dans laquelle 4°, k,°, k7,....k désignent des quantités proportionnelles aux moyennes des carrés des erreurs des valeurs F(x,), F(x,), F(x,),.….. F(x,). On voit que, pour plus de généralité, nous supposons différentes les unes

des autres les lois des erreurs de ces n + 1 quantités. Si la loi de probabilité est la même pour toutes, on a dans ce cas

et l’on peut réduire ces multiplicateurs à l’unité.

La solution de la question se trouve ramenée par ce qui précède à exprimer F(X) par la formule

F(X)=h Fm) +X F(&) +RFG)+ TL EX FU)

en déterminant les facteurs À par les équations (1) et par la condition du minimum de la somme

RENE + BONNE RSR,

Remarquons, en passänt, que cette condition peut être étendue au cas même, dans lequel m—n. Car les facteurs À sont alors complétement déterminés par les équations (1), et la condition du minimum de la somme des carrés n’exige plus rien; ce qui s’accorde avec ce qui a déjà été dit de ce cas particulier.

Arrivant au calcul des facteurs À, À,, À,....À,, Supposons que Z(x)

; A soit une fonction entière de x, qui pour les valeurs %,, &,, æ,, ....æ, de x, anse k,? ko ? S:9. ?

| 1 1 prenne respectivement les valeurs >, .7. La somme 0 n

ko ++ ++... K2072 s’écrira sous la forme

+ Mn 6? (&) ...

(Xn)"

Pour déterminer, par la condition du minimum de cette somme, les quantités A5, À A. À,, liées entre elles par les équations (1), nous en prendrons la différentielle, et, suivant le procédé ordinaire des minima et maxima, nous l’égalerons à la somme des différentielles des équations (1), multipliées chacune par des arbitraires pu, p, p,....1u, respectivement. Égalant ensuite les termes qui auront pour facteurs dA,, dA,, dÀ,,....dà,, nous trouvons les (# +- 1) équations

GE qe) = Vo + Va Do + ado + +2 Vin Do ;

Be) = Po + Bit bd host ;

21h Es) 2 m

TE op 0e CEE à ee PE AE à a :

Réunies aux équations (1), les équations (2) déterminent complétement les # + 1 inconnues

et les »% + 1 arbitraires Boy Ps Moy...

Ainsi toute la difficulté est ramenée à la solution de ces équations. Voici le procédé particulier que nous emploierons pour y parvenir.

En posant Lo + © + Mo 2? +... + Up 2

nous transformons les équations (2) en celles-ci:

= 75 = Ph... = 2);

et nous en tirons (3) = (t)p (tr), à = P(t)p(x),....2, = (x,)p(x,).

Transportant ces valeurs dans les équations (1), elles prendront la forme P)p(&) + (4&)p(@)+....+4(a,)e(x) = 1;

P(&o) P(To) To + P(x)p(x,)2, +....+(x,)p(x,)x, = X;

Pt) (m)t) + (x) p(r,)2 + ....+ P(x,)o(x,)x, = X?;

DIRE LR TR CSST TE RENE eo LS re: 0 er LIT 6-6 01 8) 07-08 6x 06.00 . 9-9, © © +0 6.0 €

Pr) () 4 "+ (a) o(x)r, "+... + (x, )o (x) =XT

(nr) ("+ (5) pr)" +. + ()p()" = X".

Il n’est pas difficile de remarquer, sous cette forme, que les premiers s 1e 1 1 membres sont les coefficients de —, =, =3,....-7 =m1 dans la série

qu’on obtient en développant, suivant les puissances décroissantes de x, la

fonction

0? (&o) ? (to) 2 0? (21) ? (a) + + 02 (2n) ? (En) T — XL) T—% ati T—En

Les seconds membres sont de même les coefficients du développement de

Par conséquent ces équations peuvent être remplacées par la condition imposée à la différence des deux fonctions

(Der, PDe) , 0m)? (#n) US, à

T — To T—X; FRS LT —Ln

et HA

de ne point renfermer dans son développement suivant les puissances des-

OL 1 1 1 cendantes de x les termes en —,-5, 3»... ms =m#i: Si donc on met

cette différence sous la forme d’une fraction + le degré du dénominateur

N surpassera le degré du numérateur au moins de »# + 2. Les équations précédentes se réduiront donc à |

Pen à MEDE à. + PEN 1 LA D'un autre côte en posant, pour abréger, @— 2%) (@—x) (&—x,)....(@—1x,) = f(x), et désignant par U la fonction entière, contenue dans la fraction ere 1,

on sait, par la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, que

PR e GS 7. Poe Go , P(m) eG) 4 Pn) ? (En) J (æ) ES æ — LT — Hs T—En

L’équation formée tout à l’heure prendra donc la forme

(a) e@S'@ 7j 1 M fx) ar" N!

ou bien, l’équivalente

(@— X)f'(x)0 (x) __ U(x—X)+1 __(x—X)M f(x) (x) UN

En s’appuyant sur cette relation, iln’est pas difficile de trouver l’expression de la fonction (x).

Remarquons, en effet, que la fraction Fe est d’un degré infé-

rieur au degré de CS Car o (x) représente la quantité

Lo + Bi © + Mo 2? +... + Up 2 2 ?

et, par suite, ne peut être d’un degré supérieur à ». En même temps le degré de N surpasse au moins de (# + 2) le degré de M; ainsi la fraction

GX est d'un degré inférieur à celui de ——.

N p (x) De là nous concluons que dans la relation ci-dessus la fraction 2 rh 3 28 reproduit exactement la fonction EHPOËES :n moins p (x) f (æ)

jusqu’au terme du degré de F@ inclusivement, c’est-à-dire jusqu’au terme dont le degré sera celui de l’unité divisée par le carré de son dénominateur. Mais, on le sait, ce degré d’exactitude appartient exclusivement aux

fractions convergentes obtenues par la réduction de EE FE en fraction continue. En outre, dans la suite de ces fractions convergentes U(x—X)+1 (x) degré supérieur à ». Car, sans cela, la différence

celle qui suivra

aura nécessairement un dénominateur d’un

. . es ji .

ne serait pas d’un degré inférieur à Jam Comme le suppose notre relation

f (&) p(x) 2" Qi N: ?

où, on l’a vu, la fraction EE ne peut être d’un degré supérieur à

(— m—1). | | Se : =— 1 .

Ainsi, la fraction SA : ss + se trouvera au nombre des fractions con-

vergentes dont on formera la suite par le développement de ® EE Er en fraction continue; et dans cette suite la fraction convergente, qui viendra

immédiatement après, aura un dénominateur de degré supérieur à m; de

sorte que la fraction = — dont le dénominateur est d’un degré qui

n’excède pas », est nécessairement la dernière fraction convergente de dénominateur d’un degré qui n’excède pas », dans la suite des fractions

convergentes résultant du développement de l'expression ©—* ee, en fraction continue.

Cherchant donc cette fraction convergente, si nous la représentons par

g°(&) FT po (&)? LOUS AUTONS l’équation U(zx—X)+1 __ (x) p(&) Pol)?

d’où

__ ?°(æ) + (x) U(xz— X) + 1 = Em"

Cette équation suppose que le produit o°(x)@(x) est divisible par ®,(x); et comme les propriétés des fractions convergentes exigent que o°(x)et p,(x) soient premières entre eux, @,(x) ne saurait diviser le produit sans diviser œ(x). Représentant par g le quotient de cette division, nous aurons

et cette valeur, portée dans l’équation qui précède, donne U(xz— X) + 1 = gqœp(x).

Pour tirer de là une expression de @(x), nous remarquons que (x) ne peut être d’un degré supérieur à ». Si donc le facteur ®,(x) est du degré ”, le facteur q se réduit à une constante. Il est facile de la calculer, car en posant x — X, dans la dernière équation, 1l en résulte

1—=qp(X) et qg—

puis enfin,

Telle est la valeur de la fonction o(x), quand o, (x) est du degré "” précisément. Dans tout autre cas, le degré de @,(x), étant moindre que ", le facteur qg de l’expression

o(x) — gp, (t),

peut recevoir pour valeur une fonction entière quelconque de x, pourvu que le degré du produit g®,(x) ne surpasse pas ». Ainsi, dans ce cas, il y aura une infinité de valeurs de la fonction cherchée @(x). Mais si l’on convient de prendre parmi ces valeurs celle dont le degré est le moins élevé, on sera de nouveau obligé de prendre pour gune constante, et l’on trouvera, comme précédemment, pour (x) la valeur

D’après les équations (3), la fonction ainsi déterminée donne h = P(%)p (to), h = (&)p(&),....2,= (x)? (&,), et ces valeurs sont les coefficients de la formule F(X)=h Ft) +X F(t)+....+2, F(x,),

par laquelle F(X) est exprimée au moyen des valeurs particulières F(x;), Fe), Fa. Fa).

Donc on aura finalement pour F(X) l'expression

F(X)= ae 0? ce Cd F(œ,) +- RE F(x,) ar Ma 6? nee En) Fr (2)

Quant aux quantités o,(x), ®°(x), on a vu qu’il suffisait, pour les déterminer, de réduire en fraction continue la fonction

et de prendre, dans la suite des fractions convergentes, la dernière de celles dont le degré du dénominateur ne surpasse pas ». Le numérateur de cette dernière fraction est ®°(x) et le dénominateur @, (x).

La question que nous nous étions proposée au commencement du premier paragraphe est ainsi résolue.

En examinant la formule que nous venons de trouver, nous ne pouvons manquer de nous convaincre qu’elle doit présenter d'importantes simplifications. Effectivement, d’après la nature de la question, la fonction cherchée F(X) doit être représentée par une fonction entière de X, tandis que la formule trouvée par nous contient le dénominateur œ°(X) et offre une composition telle, qu’on n’aperçoit pas comment X disparaîtra de ce dénomi-

nateur. Cela résulte de ce que les fonctions o°(x), o, (x), déterminées par le (x — X) f' (x) 0? (x) f(æ)

développement de l'expression ment X dans leurs coeffcients.

en fraction continue, renfer-

Afin d'amener notre valeur de F (x) à une forme qui en laisse voir

clairement la composition, nous allons montrer de quelle manière on passe 14*

des fractions convergentes de l’expression —j@ AUX fractions conver- « (@—X) f'(x) 0? (x) TRUE . … P°(x) gentes du produit 7G) , et par suite, à la fraction at

Pour plus de simplicité, nous admettrons que la fraction continue

résultant du développement de f ne contient que des dénomina-

J (x) teurs q,, ,.... du premier degré en x; et que, par suite, les fractions convergentes So don+Il Godd2+2+ 00 17 "ETS Mad +1 .

ont pour dénominateurs des fonctions des degrés 0, 1, 2,.... Nous repré-

senterons ces fractions convergentes respectivement par

ro) T1(t) 2(x)

Vote)? Y(&)? (2) "7

J'(@) À (x) | J (a) le degré du numérateur peut être moindre, mais d’une unité seulement, que le degré du dénominateur; ce qui exclut certains cas spéciaux, dépendant de conditions particulières entre les coefficients des fonctions 2 (x) et f(x) et donnant au développement en fraction continue une forme telle que plusieurs des dénominateurs Q,, 4,.... pourraient être du deuxième, du troisième degré, ou de degrés supérieurs. De plus, il est aisé de se convaincre que cette exception ne saurait exister dans la fraction

Il convient de faire observer encore que dans la fonction

pour aucun des cas de l’interpolation ordinaire, où &,, &,, æ,,...4%,, racines de l’équation f(x) — 0, ont des valeurs réelles toutes différentes les

unes desautres, et où la fonction (x), ne renfermant aucun coefficient imaginaire, prend pour t—=4%, %, %,....4%, les valeurs finies É » Fr à ; — Dans cette hypothèse, on a effectivement, en se servant de la notation de M. Cauchy (Journal de l’École Polytechnique 25-e Cahier),

+ oo Ÿ ( 1@) )="+1;

il est visible que pour f(x) de degré (n +- 1) elle reste toujours inférieure à (n + 1), si dans la fraction

et, d’après le procédé qui sert à déterminer la valeur de 9 {

résultant du développement de Le , un quelconque des dénominateurs

Qi as A++. est d’un degré supérieur au premier. Convaincus par ces considérations que les limitations que nous avons

apportées à la forme de la fraction continue déduite de la fonction f°@) 6° () # 5 @)

n’ont point d'importance particulière, nous pouvons aborder à présent la

détermination de © ©), c’est-à-dire de la dernière des fractions convergen-

Po (&) :

tes fournies par Le développement de l’expression er ER @) ont les

dénominateurs n’ont pas un degré plus élevé que ». Nous démontrerons que cette fraction est exprimée par la formule

Yan (ZX) Tyn-+-1 (©) — Vin #1 (X) Fm (&)

de *. x | dm (X) Yon-+-1 (©) — on (&) Ym-+-1 œ |

dans laquelle *"®), ®m+1(® ésionent les fractions convergentes de l’expres- Ym (&)” V1 (&)

sion À en ee dont les dénominateurs sont des degrés » et m + 1.

En effet, la composition de cette formule montre avec évidence que son dénominateur se réduit à une fonction entière d’un degré qui ne surpasse

pas ». D'un autre côté, si nous prenons la différence entre cette même for-

mule et l'expression À) re P@&) nous trouvons

f! (x) 02 (æ) T 1 " es 62(x L% (x)

. (X) rn-+1 (&) — A ) Ÿm +1 ( æ |

et cette différence ne peut être d’un degré supérieur à celui de

1 1 am x | V2 Vita (2) — Vi (0) Va | *

Car, d’après les propriétés des fractions convergentes, les deux termes (@) 07 (x) Tm-+1 (t) .… (P@) P (x) Tim Pre — ne) en (0X (ES —5ne) du)

sont d’un degré moindre que TG Tj et, par suite, que . Ainsi, la fraction

Ym (X) Tyn-41 (&) — bin-1-1 (X) Tom (X) À 2x | Pr 2 na (6) — im (2) ma 0]

qui à un dénominateur dont le degré n’excède pas m, donnera exactement les termes de la fonction (& — X) f'(x) 6? (x) f (a) jusqu’au terme dont le degré est le même que celui de l'expression 1 1 "im > [ Pm (X) Von +1 (6) — am (©) Vm + |] x

Mais cette fonction ne peut être représentée avec cette exactitude que par les fractions convergentes que donne son développement en fraction continue, et seulement par celles qui sont suivies d’autres fractions convergentes dont les dénominateurs ont un degré supérieur à ». Par conséquent, notre fraction est au nombre de ces fractions convergentes, et comme le degré de son dénominateur ne surpasse pas », elle est la dernière qui possède un

dénominateur de cette espèce et que nous avons désignée par e.

Cette conclusion nous permet de remplacer, dans la Eu du paragraphe précédent

F( X)— 0? Le au) F(x,) +- ? ES (x) F(&,) + Rose Fer F(x,),

les expressions

Po(Xo) Po (1) Lo(Xn) pO(X)? p(X)?" * * "pU(X)

par celles-ci respectivement :

(X) Von-42 (Lo) — Ym-1-1 (À) Lan CU Don (X) Tm-4-1 (X) — Von-+1 (X) Tim (X) ;

2x | im (2 Dim (85) — Vin à (20) Don (À) Ton+-1 (À) — Ÿn-+-1 (À) Tim (X) à

UNS CNET ELA: PMU TER CCE IS. 0 NS ler dE

Je ie NE ET ES us ES DRE UE D ET ST UT Ari EN Pl des Fou Æx le ut ue US 227 |

= € [ bm (X) bm41 (En) — Ym-+1 (X) Vin (en) | Don (X) Ron4-1 (X) — Yon-+2 (X) Fm (À) :

Mais le dénominateur commun de toutes ces expressions se réduit à (— 1)" d’après la théorie des fractions continues. De sorte que la formule qui donne F(X) se ramène à la forme |

F(X) = (— 19" %n 9 ft Go mt À On ED 62 (24) F (ao) +

d- is Don (X) Von-+1 er ou is (X) Yon (1) 7 (x) F (x) et

(= 299 Le À) Vins ) — V2 Un On) 7 (x) (a).

Ln — X On peut l’écrire sous cette forme abrégée:

F(X)=(— 1)" > Din (X) Yim-+2 (&i) — fus (X) Vin (%5) P (x) F(&)).

Xj —

Voilà donc une nouvelle formule propre à la détermination de F(X) au moyen des valeurs F(x,), F(x,), F(x,), ….F(x,). Elle se construit à l’aide des fonctions Ÿ,, (x), ,,,(x), qui sont les dénominateurs de deux des fractions convergentes obtenues par le développement en fraction continue

de l’expression Lee, De la composition même de cette nouvelle forme

on conclut sur-le-champ que c’est bien une fonction entière de X.

Nous allons maintenant faire voir comment la série, dont nous avons parlé dans la Note présentée l’année dernière à l’Académie, se déduit de cette formule; et elle nous servira aussi à l’exposé de quelques propriétés des fonctions (x), L., (x), b, (x). ..., déterminées par le développement de

f'(œ) & (x) f(x) La formule que nous venons de trouver donne F(X) dans l’hypothèse

de la forme

en fraction continue.

F(x)—=a+bx+cr+....+gar" .

Nous représenterons cette valeur de F(X) par Y,,, et par Y,,,, la valeur de F(x), qui serait déduite de l’hypothèse, où F(X) serait exprimée par

F(x)—=a+bzrc+....+gx" ”.

La formule nouvelle fournira les deux valeurs suivantes:

i=n m (X “TT Pm X J k (4) - à EN = Su > Don (X) Yon -+-1 Es —+ +1 (X) Yon (@i) a (x,) F(x,); {=0 :

he i=n re x m (5) — Ya X ae ; re — (— + 1 d° 1 (X) Ÿ ET (X) Vin —1 (Gé) P(x,) F(x;). #$—=0

Prenant la différence de ces valeurs, on trouve

RE ut FF di ci Ÿ m(X m à) — Vinati)] — Von(ti) [om X) — by 1(X (2 bn(X) Thon #2 (Cé) — Yon in — HE ) [bon (X) — Ÿ 1(X)] 62 (æ,) F(x,)

Les propriétés des fonctions 4,,,,(æ), ®. (x), d,,.(æ) permettent de simplifier notablement cette différence. Ces fonctions sont, en effet, les dénominateurs de fractions convergentes résultant du développement de l’expression

f'(æ) 0(&) + ù PT en une fraction continue

Im+i +.

dans laquelle les dénominateurs

VIE Qo* D “En? + PRE ..

doivent être, par hypothèse, des fonctions linéaires de la variable x. On a donc conséquemment

h= À,2x+B,, = 1,2% +B,, nr Fes AT CAT DE:

PRE DT D ee Ni DE DEL 0 en De 2e ET 25

Par suite, la règle générale pour la formation des fractions convergentes donne

Pa = Asa Pi (0 + Pam (2) = (4,04 Bus) Pr + Vu (0

et de là | (x) FAR Da: (æ) ass FRA Et RS) Yen (æ).

Changeant x en x, et en X, il en résulte Des (x) cs PE (x;) Lg F7 dr RES (TER (x), PAPA Ÿ.9 Le V1 (À) Los CRT X+ Di) Yu (X).

Si l’on transporte ces valeurs dans celle de la différence Y,,— Y,,., on obtient

i=n En Fe En 5 (— Hi 2 nt nb A ln mm O{x,)F (x;),

t=0 ou, en réduisant,

. =— ait nn” (— 1e FAN bd, (X) À Yn (t;) @ (t;) F'(x;).

-Posons dans cette relation m—= 1, 2, 3,...,(m—1), m successivement, nous aurons

Mt Are MENU D) diese sc NA Qi ele 6. fe à, e.6. ee

F,,—7,,=(—1)" "4,4, 2) 2, (m) 6° (x) Fa

m—1 m— En En = 1" Aus Va (2) 2 V6) 6m) Fr i=0 et la somme de ces équations donnera

Pr Pi — A CE) 4 (a) 0 (0) Fa) + Ab (X) She) 0e) Fa)

Lo CETTE (&)@®(x)F(x)

+ (— 5 Ai: bn œ} . bn (t;) @ (x) F(x;).

Y,, aura donc pour valeur

= L— Ash (0) 2 Qi (0) 04) Fa) Asa (A) Sat) 6% (5) F (RD

AS hu: + D Ana Pa (AE Vin (0) 6°) F(G).

Pour déterminer la quantité Y,, faisons #—0, dans la formule (4), nous trouvons

< X à) — Yi (X i = D VE) 604 Ole) Ga (r) Fu)

Do(x), (x) désignent les dénominateurs des deux premières fractions con-

vergentes de l’expression É SE @ dont le développement en fraction con-

tinue a reçu les formes

Il en résulte D, (&) = 1, (A (x) — At + BP;

et la fonction Y, devient

Ace B— A X—B Y,— 3 1® Per ! P(x,) F(x,) 4—=0 — À > (x) F(x), i=0

qu’on peut écrire

pourvu qu’on se rappelle que d,(x) — 1.

Au moyen de cette valeur, l’expression précédente de Y,,, ou de la valeur de F(X) dans l’hypothèse

F(x)= a+ bi + ci +....+ gx" + hx”,

prend la forme symétrique

Fe, = A (X) 2 Vo (6) 04) Fu) — Aa (2) E (a) (0) Fo +.

ie Nan HE (x) 6° (x) F(x)).

Dans cette expression les fonctions d, (x), Ÿ, (x), L,(x),.... et les constantes À,, À,, 4,,.. se déterminent par le développement de la fonction

DE es en une fraction continue de la forme

Les fonctions d,(x), db, (x), db, (x),.... sont les dénominateurs des fractions convergentes que l’on déduit de cette fraction continue; et les constantes À,, À,, 4,3... sont les coefficients de x dans les dénominateurs q,, 4, Qg..

Dans le cas particulier pour lequel la loi des erreurs est la même pour toutes les quantités F'(x,), F(x,), F(x,),... on peut, conformément au $ I, prendre toutes les valeurs k,, k,, k,,.... égales à 1, et par suite la fonction 4(x), déterminée par les équations

1 1 1 O(&o) = ze 0) =; On) = .

se réduit elle-même à l’unité. La formule trouvée ci-dessus prend donc alors la forme |

F, = Aa VCD) 2 Vote) PF) — 4, 4 (X) 2 (a) Fe) + SDS à 9 ED EL (&)F(&).

Ici W(2), b(x), D,(&),...., A1, As, A... se déterminent par la fraction continue que donne la fonction HS. C’est de cette série que nous avons parlé dans la Note déjà mentionnée *). Mais à présent nous ne nous bornerons pas à cette hypothèse particulière, qui réduit la fonction 9 (x) à l’unité, et nous considérerons la série dans sa forme générale. Nous serons

ainsi conduit à des propositions curieuses sur les fonctions ®, (x), 4, (x), 4, (x)...

*) La Note de M. Tchebichef, en date du 20 octobre (1 novembre 1854), ne contient effectivement que cette formule particulière. Les deux pages de cette Note se trouvent ainsi reproduites ici tout entières, à l’exception du corollaire que voici:

RREE 2 PAR Re À

; mt n «n infiniment grand, cette formule fournit le développement de F'(æ) suivant les valeurs de «certaines fonctions que Legendre a désignées par X" (Exerc., part. V, $ 10) et qui sont déter-

Ce ñn —n «Dans le cas particulier de x, — = se.) En = LS et de

«minées par la réduction de l'expression log — : ‘en fraction continue (Note du traducteur).

Il n’est pas difficile de voir que si les quantités F(@), F(x), Fa}. ...F(a,) sont déterminées exactement par la formule | +

F(a)=a+br+ ci +....+ gx + ht,

notre série donnera l’expression exacte de cette fonction, quelle que puisse être la fonction 4 (x). C’est ce qui devient évident, si l’on remarque que la série résulte de la formule

F(X)=h Fm) + Fo) +. ,..#+ 2, Fe),

et que d’après l’une des conditions qui fixent les valeurs des facteurs À, \,

h,-...2,, les équations suivantes doivent être satisfaites: Âge ét ee eu ie Lo Ft Hit +... HA t, =X,

2 2 2 2 Lt 2 1% HAT + +... .+) x —=X?,

p.06 de es eitel er -$.- Bt -Wrle Le, à re, Mal ce, €. ee ‘els le Te cet

EN ee VE NE RE re du Or, en vertu de ces équations, la somme LE (to) + À Fa) +2, Ft) +....+ 72, F(a,),

quand on y remplace les quantités F(x,), F(x,), F(x,),....#F(x,) par leurs valeur tirées de l’équation F(x)=a+br+ cr +....+ gx" " + hx”, se réduit à | a+ bX+cX°?+....+9X" "+ hX7,

expression exacte de F(X), d’après l'hypothèse même

F(a)=a+br+c+.,..+ ga"! + px",

Lors donc qu’il s’agit d’une fonction entière (x), la formule du paragraphe précédent permet de la représenter ainsi:

F(X) = Ai V(X) 2 Ce) (0) Fa) — As (2) 2 (0) 6 (u) F(&) +... .+(—1)" 4,4, DE, (x,) (x,) F (x).

Si nous faisons

nous trouverons

bu) — da DC) À dr) 6°) PC) — Led (À (6°) Po)

+" Aid A 2 9, (2) 6),

ou bien, en mettant tous les termes dans un seul membre,

Aa (2) 2) D Gp 6) — Ad (2) EC) D Gr 0) + RP db, (X)[(— 3% }, M 4, (x) @(&,) —1)]=0.

Mais comme les fonctions 4,(x), b, (x), b,(x),...., sont respectivement des degrés 0, 1, 2, 3,..., l'identité précédente suppose que chacun de ses termes s’évanouit séparément. On a donc, de toute nécessité,

0" Ans 2 92 (0) 6) — 1 = 0

4, = Va (x;) bn (x) Le (x;) = 0,

étaler. eus. 6 SEE gp le re. » ele. de: ee SAR TOUS EN OMS AOC (EN ONS DIRE DR UN 201 Gen NE 28e GO ON TN QE SEA UNS nr

À, : ÿ, (æ,) Vn (x) œ (x,) = 0, AE (&;) Yn (&) (x) = 0.

La première de ces relations nous donne

2 (x) 2 (x) = ET;

MH-1

et, en observant que les coefficients 4,,,...., 4,, À, diffèrent tous de zéro, les autres relations font conclure que