RER
2 Vo? (xs) © (xs) —=0
À, SE CUR (= 2 2 2 (æi) 62 (xs)
Si l’on introduit ces valeurs dans la formule
FD AY (X) SU) (Fa) — AUX) 3 De) 0 (x) FC)
Hess) AS. le (2) 5%, (x) (x) F(x;),
sa dr à
elle prend la forme ZE Vote) 0 (5) Fa) À 4h (ei 0 (a) F(æ5) F(X)= = do (X) += da (X) + A TRNE 2 Vo? (5) 0? (xs) 2 4? (x) 67 (x) (6} £ Fe i=n se 2 Ym (cd) 0? (x) F (x) += ÿ 2).
| 2 bn (ai) 0? (xs) 2 t=0
La composition de cette formule fait voir qu’elle ne change pas de valeur, quand on introduit des facteurs constants arbitraires dans les fonctions Lo(x), D, (x), b, (x), etc. Il sera donc possible de prendre pour déterminer
ces fonctions le développement de PTE en une fraction continue de la forme L' 4 AFeLr CET
quelles que puissent être les constantes Z/, L”, ete. On sait effectivement que les termes des fractions convergentes déduites d’une expression quelconque par le développement de cette expression en fraction continue de l’une des deux formes
ne diffèrent que par des facteurs constants.
De la même manière précisément les équations (5) resteront complétement exactes pour les fonctions d,(x), Ÿ, (x), d, (x), etc., déterminées par le
développement de Lote en une fraction continue de la forme i "1 :, LT TO : © 7 4: AR
car elles ne seront point altérées par l'introduction de facteurs constants quelconques dans les fonctions (x), 4, (x), b,(x),. etc. Aïnsi en procédant
actuellement aux applications de la formule (6) et des équations (5), nous ne serons point arrêtés par la supposition faite d’abord dans les paragraphes précédents et d’après laquelle les numérateurs Z/, L”, ete. devaient être égaux à l’unité dans la fraction continue |
qui servait à construire les fonctions d,(x), d, (x), d, (x), etc.
En vertu de ces équations (5), il existe encore des relations remarquables entre les fonctions d,(x), D, (x), d,(x), etc., et on y parvient sans peine à l’aide de la formule (6), en la comparant pour m—n avec la formule d’interpolation de Lagrange.
Pour m—n, en effet, la formule (6) donne à l'expression d’une fonction du n°" degré, par les valeurs qu’elle reçoit pour des valeurs de la variable x = %,, &,, %,....4%,, la forme que voici:
EF do (rs) 62 (x) F(x;) É- Di (ci) 67 (x) F'(x5) F(X)=—-, D (X) + (ZX) +...
2 Vo? (9 6? (x) 2 Yi? (5) 6? (x;) i—0 t—=0 À Va (20 07 (æi) F(x)) ' Dre (A (X).
2 Yn? (æ&i) 62 (xs)
= Nn
La formule de Lagrange exprime la même fonction par la forme
D X=aE Se) RS DE nid F(x) à).
(di — 2) (Gi — do)... (Mi — din) (di — ia).
L'identité de ces deux expressions, quelles que puissent être les valeurs de F'(x), F(x,), F(x,),..., F(x,), exige que les termes qui ont ces fonctions pour facteurs soient les mêmes dans l’une et dans l’autre. Si donc on compare les termes qui multiplient F(x;), on aura la relation
(Xe) (XL = 0). RD D TE mi.
(di @) (di — 2)... (dé — di) (re — di) + bot 62 (xs) d, (X) +- haie LOS +. a? (ai) 0? (xs) 4 (X). 2 Vo? (xs) 62 (x) 2 4,2 (x) 62 (x;) 2 bn2(x;) 62 ( ;)
Si l’on fait X—x,, pourvu que n ne soit pas égal à à, on obtient
0 — 0 F0 © 9 Vlr) + 3 HE iah (x, V2 000" (9) ba (ts).
= Do? (x) 6° (x) À = d* (5) 6? (xs) x Vn? (&5) 6? (x)
0 (tn)
Par l'introduction du facteur 0)
la manière suivante:
on peut écrire cette expression de
Vo (ri) 0 (tr) Vo (2) 0 (xx) 3 D (@) 0 (æ) d, (x) 0 (tr) PAU Ya (&;) 0 (xs) Va (tr) 0 &n)
07 — jte LS 2 Vo? (x) P° (xs) 2 V2 (x) 0? (x) 2 Vn? (x) 62 (x;) i—=0 = 0 —=0
Faisant au contraire X = x,, nous aurons
ri = CALME) ue HOMO. |. Wa Vi CAC Fou 24464 Z 4, (2) 0° (x) a +0 {1=0 $ 6.
Ces équations, réunies aux équations (5), établissent une propriété remarquable des fonctions déterminées par la formule
Din (x) 0 (x) à i=n 2 Vmn° (x) 6? (xs)
Désignons ces fonctions par ®,,(x); les équations construites tout à l’heure nous donneront
M=nN
PE (x,) D, (x,) T 0,
tant que n diffère de #, et 2 9, (2) D (x) = 1, pour n=1.
D’après la forme de la fonction ®, (x) et les équations (5), il est aisé de remarquer que
… Po (t;) Pn,(x;) = 0, ou 1,
selon que », différera de » ou sera égal à ». Car la somme dont il s’agit devient, par la substitution des valeurs de ®,, (x), D,,, (x),
fn
É Don (Ci) Lm, (as) 6? (xs) ZE bn (20) 0° (x) ZE bn, (#3) 6 (æ)
Or, d’après les équations (5), le numérateur s’annule si » n’est pas égal à m; et si m —m, il devient égal au dénominateur, ce qui réduit la fraction à l’unité.
Ces propriétés conduisent à une autre que possède encore la fonction
D. (6) = — mn 9000 |
E dm (D (x)
composée avec les fonctions d, (x), d, (x), d., (x), etc., qui servent de dénomipateurs aux fractions convergentes déduites du développement de la fonction
Care De @) on une fraction continue de la forme
Si de toutes les valeurs de la fonction ®,,(x), obtenues en faisant m—0,1,2,....,n ex —Xo, TL, To,.... %,, ON COmpose le carré
D), Dix), D)... D) D, (Lo); ®, (x), D, (x), I. 7 - ®, (x), ®, (to), ®, (x), ®, (Xs), Fes .D, (x),
eo ‘2.6.0 6,,.%.,0) 9.0 72%. 67e. /e "pi Eco ECS Apr ee
