LA SÉRIE DE LAGRANGE

(Bulletin de la Classe Physico-Mathématique de l’Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, Tome XV, 1857, p. 289—8307. Journal de Mathématiques pures et appliquées. IT série, T. IT, 1857, p. 166—183; sans le dernier $.)

(Lu le 30 janvier 1857.)

ne HE, En SERBE TL Bite M biy

: NU . LC 4 & Faits MIO AD -* 4 D c-À

Sur la série de Lagrange.

$ 1. L’intégration par parties donne la série de Taylor et le terme complémentaire avec une extrême facilité; que manque-t-il à cette méthode pour donner d’une manière analogue la série plus générale, due à Lagrange? Toutes les méthodes d’après lesquelles on parvient à la série de Taylor sont plus ou moins susceptibles de donner la série de Lagrange; la méthode d'intégration par parties est la seule qui présente une exception. En cherchant à combler cette lacune, nous avons reconnu qu’il ne s'agissait que de donner une certaine extension à la méthode de réduction des intégrales, connue sous le nom d’intégration par parties, extension qui parait être utile dans plusieurs autres Cas.

L'intégration par parties se réduit à l'identité

[0 (x) 4 (x) dx = 0 () [4 (œ) de — [ 0’ (æ) [ [4 (x) de] da.

Si l’on ne séparait point les facteurs du produit 4(x)b(x), on pourrait écrire cette identité de la manière suivante:

SO (e) 4 (@) de = [0 (e") pe) du — [NEIL Gr, en supposant qu’on supprime les accents de æ’ et x” après avoir fait les opérations, qui se rapportent exclusivement à ces quantités.

Or, en représentant sous cette forme l’intégration par parties, on reconnait sans peine que rien ne s’oppose à ce qu’on l’applique au cas, où le produit 4 (x”)® (x') est remplacé par une fonction quelconque de deux lettres æ et x”. C’est là le changement nécessaire pour qu’on puisse en tirer la série de Lagrange par le même procédé qui conduit à la série de Taylor.

L’énoncé de cette réduction peut se faire en ces termes:

Si l’on convient de ne distinguer x’ et x" de x que dans les opérations qui se rapportent exclusivement à x' ou x', on a

(1) ff(æ, x") dx ee FF (T; x") dx’ — [uen dx’ de.

Il n’est pas difficile de remarquer que la réduction des intégrales, dont nous venons de parler, ne diffère que par son énoncé de celle que M. Bertrand à donnée dans le VIIT Tome du Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Tiouville.

Pour montrer la manière de se servir de cette réduction, supposons qu’il s'agisse de réduire l’intégrale

(cos x + €?) dx.

On commencera par mettre l’expression cosæ + e” sous la forme d’une fonction de deux lettres +, æ”, ce qu’on peut faire, évidemment, de différentes manières. Si l’on s'arrête au cas, où l’on donne un accent à æ sous le signe de cosinus et deux accents à l’exposant de e, l’expression

COS x +- €” devient

COS & + 7”, et alors, d’après la formule (1), on aura

d S (cos x’ + ex'") dx!

Hoieeetae

(cos z° + e”) dx — [(cos à + 2”) da” — | = sin & +2 et" — [x et" dx, ou, en supprimant les accents, {cos & + 6°) dx = sin & + ve° — [xe° dx.

En intégrant par rapport à &’ nous avons pris pour constante zéro; mais rien n'empêche de prendre une valeur quelconque, qui peut être même une fonction de x”. Pour s’en assurer on n’a qu’à remarquer que la formule (1), étant différentiée par rapport à x, se réduit à cette identité

aSf(&,s") da à Sf(x,a") de

fa, 2) = 1,0) + dx”

$ 2. Passons maintenant à la démonstration de la série de Lagrange. Nous supposerons qu’on ait X— a = np (X),

et que l’on cherche le développement de F(X) suivant les puissances croissantes de n.

Imitant la marche ordinaire qui mène à la série de Taylor, mettons la valeur F(X) sous la forme

Puis, remplaçant dans la dérivée F” (x) la lettre x par #”, nous trouvons d’après la formule (1) d $ F'(x/!) dæ” ÉAETA Fe + CE) pe

dx! sé

[F'(œ)dx = [F'(x")dæ = [ F'(x")dx —

— (x + C) F'(x") — ce qui donne

f Pal (a! SR (x — à — 19 (x") F' (x”) & > [ d(x'— a “sa E" (x!) de.

en prenant C—=—a— 1 (x).

Remarquons en passant que cette valeur de C présente une grande analogie avec celle que l’on emploie dans le même cas, en cherchant la série de Taylor.

Si l’on applique de nouveau la formule (1) à l'intégrale

[ee mere )

dx! dx,

on parvient à la réduction

ds

d(x'—a—np(x”)) F'(x'"),, [ie mere 0e = 8 He da” da”

— 1d(—a—ne(")) F'(& — L[ÉE et a F7 y 2 dx” 3 (ax su

Rose — a — 19 (x”)) F' (x) J dx"!

Il ne reste qu’à poursuivre la même marche et l’on obtient successivement

jé mere,

(dx”7 1 Pa —a—np(x")) Fe) mire (æ”))8 F7 (æ" Le FR (dx/’}? Re (dx''} ?

(x —a— np (x)}3 F(x) [ CEUL dx ___1 B(z'—a—np(x”)) F'(x 3 AD EE dx 4 ax} 4 dx

et ainsi de suite.

La substitution de ces valeurs donne pour l'intégrale indéfinie

JE" (æ) dx

cette expression

LE = ( — à — np(e)) 2 UE EDP

2 dx" 1 d(&—a—ng (x) F'(x") CM 1 (ang (2) F' (x) | 2.8 (dx'' ee n (dx'9n—1 LD far ( — a — nv (x) F'(x") Er ra] (ax dx.

En passant à l'intégrale définie X [4 [ F'(æ)da, on reconnait d’abord que pour += —#"— a les termes hors du signe

d'intégration deviennent

— nF'(a)o (a) n? AE” (a) g? (a) __ n° d?F" (a) ef (a) LT LE (eo) @° (a)

2 da 2.3 da D MR dañ—1

Ensuite, pour 4—2x —%"— X, X étant racine de l'équation X— a — np (X ),

ces termes se réduisent tous à zéro à cause du facteur &'— @— n@(x") qui y reste, malgré toutes les différentiations, et qui s’annule, en vertu de l'équation précédente, pour x —x"— X. Donc

X__, ji 2 ! 2 3 dF' a FE (x) dx = 1n Æ (ape) + 0r0:, Mere +

nt AMF (an (a) (1) f: an (a! — a — ne (x"))" F' (x