PRONONCÉ LE 8 FÉVRIER

DANS LA SÉANCE SOLENNELLE DE L'UNIVERSITE IMPÉRIALE DE ST.-PÉTERSBOURG.

(LRADUXX PAR D. A. GRAVÉ.)

Aeprente ccoepapurechuxe hapme.

Couunenie, Hanucannoe da1 MOpACeCMeenHaLo axma 6e Umnepamopchons C.- Hemepôypechoms Ynubepcumemrs,

8 fespana 1856 100.

Messieurs!

Les Sciences Mathématiques ont été l’objet d’une attention particulière dès la plus haute antiquité. Elles excitent aujourd’hui encore un plus grand intérêt à cause de leur influence sur les Arts et l’Industrie. Le rapprochement de la théorie et de la pratique donnent les résultats les plus féconds. La pratique n’est pas la seule à tirer profit de ces rapports: réciproquement les sciences elles-mêmes se développent sous l’influence de la pratique. C’est elle qui leur découvre de nouveaux sujets d'étude et des points de vue nouveaux sur les sujets connus depuis longtemps. Malgré le haut degré de développement auquel sont parvenus les Sciences Mathématiques grâce aux travaux des grands géomètres des trois siécles derniers la pratique démontre clairement qu’elles sont incomplètes à plusieurs égards. En effet elle pose à la Science des questions essentiellement nouvelles et provoque ainsi la recherche des méthodes inconnues jusque là. Si la théorie retire un grand profit d'applications nouvelles d’une ancienne méthode ou de ses nouveaux développements, elle en tire encore un plus grand de la découverte des méthodes nouvelles. Dans ce cas la science trouve un guide sûr dans la pratique.

L'activité pratique d’un homme embrasse de si multiples variétés que pour satisfaire à toutes ses exigences la science manque évidemment de beaucoup et de diverses méthodes.

Mais entre ces méthodes ont une importance particuliére celles qui sont nécessaires pour la solution de différentes variétés d’un même problème, applicable à toute l’activité pratique d’un homme: comment faut il disposer de ses moyens pour acquérir les plus grands avantages possibles.

La solution de ce genre de problèmes fait l’objet de la théorie des maxima et des minima. Ces problèmes d’un caractère pratique ont aussi une importance particulière dans la théorie. Toutes les lois qui régissent les mouvements de la matière pondérable ou impondérable ne sont rien moins que des solutions de pareils problèmes. On ne saurait trop reconnaitre leur

Se MO

influence particulièrement favorable au développement des sciences Mathématiques.

Avant l'invention de l'Analyse des infiniment petits on ne savait à résoudre que quelques problèmes particuliers de ce genre.

Cependant dans ces solutions se trouvait déjà le germe de la plus importante branche des Sciences Mathématiques connue à présent sous le nom de «calcul différentieb. Pour montrer l’influence qu’ont eu sur la découverte de cette science les questions des maxima et des minima permettez moi de vous citer un passage de l’oeuvre immortelle de Newton «Philosophiae naturalis principia mathematica. L'auteur, rappelant les origines de cette découverte dont les applications et les résultats sont aujourd’hui innombrables, s'exprime ainsi:

«Dans les lettres que j’ai échangées il y a une dizaine d’années (1677) avec l’habile géomètre Leibnitz, lui ayant annoncé que je possédais une méthode pour déterminer les maxima et les minima, conduire les tangentes et résoudre les questions semblables, et que cette méthode réussissait aussi bien pour les expressions irrationnelles que pour les autres; comme je la lui cachais sous des lettres transposées représentant la phrase suivante: étant donnée une équation qui contient des fluentes, trouver les fluxions et réciproquemeut, l’illustre Leibnitz me répondit qu’il avait également trouvé une méthode analogue qu’il me communiqua et qui ne différait de la mienne que par les mots et la notation».

(Note sur la proposition VIT du second livre, éd. 1713).

Toutefois la découverte du calcul différentiel et la solution des problèmes analogues à ceux qui avaient provoqué cette découverte n’ont pas épuisé complètement la matière. Les recherches de Newton lui-même en sont une preuve manifeste: en effet il a résolu la question suivante: «quelle forme doit avoir un corps se mouvant dans un fluide pour qu’il y éprouve la moindre résistance». Cette question présente le problème des maxima et des minima essentiellement diffèrent de ceux qui sont résolubles par le calcul différentiel. La méthode générale pour résoudre de tels problèmes, si importants pour la Mécanique Analytique, a conduit à la dècouverte d’un nouveau calcul connu sous le nom du «calcul des variations».

Malgré ce grand développement des Mathématiques par rapport à la théorie des maxima et des minima il n’est pas difficile de remarquer que la pratique va plus loin. Elle exige en effet la solution, des problèmes d’un nouveau genre sur les maxima et les minima, essentiellement différents de ceux que l’on sait résoudre par le calcul différentiel et celui des variations.

Comme exemple de pareilles questions et de la façon dont on peut les résoudre nous pouvons citer nos recherches sur le parallélogramme de Watt,

imprimées dans les «Mémoires des savants étrangers» de notre Académie, 1854. On voit par les résultats que nous avons obtenus en considérant la méthode nécessaire pour la détermination d’une meilleure construction des mécanismes de ce genre, que dans ce cas les questions de la pratique mènent à plusieurs résultats théoriques intéressants pour la science, on voit aussi que les méthodes inspirées par la pratique présentent un moyen pour résoudre de nouvelles questions théoriques intéressantes même indépendamment de leur valeur pratique *).

La construction des cartes géographiques présente un autre exemple des questions de ce genre particulièrement remarquable. Dans l’état actuel de la théorie des cartes géographiques on peut indiquer un nombre infini de différents procédés de les construire de telle sorte que les éléments infiniment petits de la terre conservent sur la carte leur forme originale. Mais d’après la propriété de la surface sphéroïdale de la terre le rapport d’agrandissement des différents éléments doit être nécessairement variable, donc les éléments égaux de cette surface pris dans différents lieux se présentent sur la carte avec diverses dimensions. Plus les changements du rapport d’agrandissement sont considérables plus la carte est altérée. Comme l’amplitude de ces changements du rapport d’agrandissement dans ‘étendue d’une même partie de la surface terrestre est plus ou moins considérable en rapport avec la projection admise de la carte, la question suivante se pose d’elle même:

Pour quelle projection ces changements du rapport d’agrandissement sont ils les plus petits?

*) Ainsi nous trouvons ici entre autres la solution de la question suivante:

«La fonction entière 2 + Ag" 1 + BeM—2 + CxM—8+,,,+ }H varie évidemment avec x; qnel est le moindre degré de ses changements?» Et puis «pour quelles valeurs de À, B, C,...H atteind-elle cette limite ?».

La solution de ce problème mène à beaucoup de résultats intèressants de l’Algèbre Supérieure. Par exemple:

1) Si l'on a f(x) = a" + Baft1 + Cat—2 +... + H on trouvera entre les limites h et

h+4 V=3 f(h) au moins une racine de l’une des équations f(x) — 0, f(x) —0. Le signe

J@) FR tion importante dans la théorie de la séparation des racines par la méthode de Fourier.

2) L'équation &2% #1 Bai + Ce—8 + .,, + Hx + K—0 à toujours une racine entre les limites

du radical est déterminé par le signe de la fraction — . Cette proposition a une applica-

An+-1 2n+-1 —2ViK, +2V/;x;

d’où il résulte la propriété suivante des équations:

Dans l'équation 22%#+1 + Bai +6 Ca 8 + ,,, + Hx + K —0, ne contenant que les degrés impaires de æ, où Æ est compris entre — 2 et + 2, on trouvera au moins une racine entre les mêmes limites. ‘

Dans une Note, lue par moi dans la séance du 18 Janvier à l’Académie Impériale des sciences, j'ai montré que cette question, traduite en langue d’Analyse, se ramène à un problème particulier des maxima et des minima, essentiellement différent de ceux qui se trouvent résolus dans le calcul différentiel et dans celui des variations. Ce problème est semblable à ceux qui ont été l’objet de mon Mémoire ci-dessus mentionné sur le parallélograme de Watt, mais se rapporte à un ordre supérieur de pareils problèmes: on cherchait là certaines quantités constantes tandis qu'ici il faut trouver deux fonctions inconnues, ce qui correspond à la détermination d’un nombre infini de quantités constantes. Cela établit entre ces problèmes une distinction analogue à celle qui existe entre les problèmes du calcul différentiel et ceux du calcul des variations. Ce sujet est d’autant plus intéressant sous le rapport théorique qu’il se ramène à l’investigation d’une équation aux dérivées partielles extrêmement remarquable, qui exprime, p. ex., aussi l’équilibre de la chaleur dans les membranes infiniment minces. Aïnsi la question sur la meilleure projection est liée à la propriété remarquable de la chaleur, à savoir: lorsque la chaleur est en équilibre dans une membrane circulaire infiniment mince, la température au centre est wne moyenne des températures dans tous les points de la circonférence; une proposition semblable est vraie pour la sphère: la température au centre est une moyenne des températures à la surface.

La solution définitive du problème de la meilleure projection est très simple: la meilleure projection pour la représentation d’une certaine partie de la surface terrestre Sur une carte est celle dans laquelle le rapport d’agrandissement conserve une même valeur sur la limite de la région représentée, valeur, qu’il est aisé de déterminer d’après la valeur normale du rapport d’agrandissement. Quant à la détermination de la projection ayant la propriété ci-dessus, elle se ramène à la solution d’un problème ordinaire d'intégration des équations aux dérivées partielles, lorsqu'on donne la valeur de l'intégrale sur le contour, à l’intérieur duquel elle doit rester finie et continue.

On trouvera ainsi la meilleure projection pour représenter chaque pays sur la carte. Cette projection sera déterminée par la position du pays par rapport à l’équateur ainsi que par la forme de sa frontière. De plus, les parallèles et les méridiens se représenteront par diverses courbes qui seront peu différentes de cercles et de droites, si on projette une partie peu considérable de la surface terrestre. On construit sans aucune difficulté ces lignes par points. Les cas, dans lesquels les méridiens et les parallèles se représentent exactement par cercles et par lignes droites sont particulièrement remarquables; la construction des cartes de petites dimensions en de-

vient plus facile. Lagrange, dans ses Mémoires «Sur la construction des cartes géographiques», a déterminé toutes les projections où cette circonstance a lieu. D’après les propriétés générales de la meilleure projection il est aisé de montrer pour quels pays ces projections seront les plus avantageuses: les contours de tels pays seront déterminés par des points pour lesquels le rapport d’agrandissement dans ce genre de projections conserve une même valeur. Les contours des pays déterminés de cette manière représentent en général des courbes assez compliquées. Mais en diminuant les étendues des régions représentées sur la carte, ces courbes se simplifient et se rapprochent rapidement des ellipses, dont elles ne s’écartent qu’insensiblement quand on représente des régions même assez considérables, telle que, par exemple, la partie Européenne de la Russie. Ces ellipses ont certaines positions déterminées: leur centre se trouve au centre de la projection et un des axes longe le méridien. Le rapport des axes de ces ellipses se détermine par la position de leur centre par rapport à l’équateur et par une quantité particulière nommée par Lagrange exposant de la projéction.

Inversement pour représenter sur la carte une partie de la surface terrestre, pas trop grande et limitée par une pareille ellipse, on peut trouver le mode de projection qui changeraïit les parallèles et les méridiens en cercles ou lignes droites et donnerait la représentation se rapprochant de la plus parfaite. Il faut pour cela, d’après ce que nous avons dit plus haut, prendre le centre de la projection et son exposant d’une manière convenable, tenant compte de la position du pays et de la forme de ses contours *).

C’est pour cela que les cas particuliers des projections effectuées avec la conservation de la similitude des éléments infiniment petits, telles que, par exemple: la projection stéréographique, polaire et horizontale, les projections de Gauss et de Mercator, qui se déduisent toutes de la méthode générale dans les hypothèses particulières à l’égard de la position du centre de la projection ou de son exposant, ne peuvent donner la représentation se rapprochant à la plus parfaite que pour certains cas particuliers.

Ainsi si l’ellipse mentionnée se transforme en un cercle, l’exposant devient égal à 1, et la meilleure projection se ramène en général à la projection stéréographique horizontale, qui se transforme en projection polaire, lorsque le centre du cercle coïncide avec le pôle terrestre. En diminuant

*) L’exposant de la projection se détermine par la formule V 1 + cos? !, où L est

la latitude du centre et n le rapport de l’axe dirigé suivant méridien à l’autre axe. (Voir ma Note: «Sur la construction des cartes géographiques», lue à l'Académie le

18 Janvier).

Paxe de l’ellipse dirigé suivant le méridien, la meilleure projection se rapproche de celle de Gauss. Cette projection se transforme en celle de Mercator, en rapprochant le centre à l’équateur.

Il est évident, que pour obtenir la meilleure carte des différents pays il ne faut pas se borner à un ou à quelques procédés particuliers de la projection, mais il est nécessaire de faire usage de la méthode générale, en choisissant chaque fois d’une manière convenable le centre de la carte et la valeur de l’exposant.

D’après ce qui a été dit plus haut, on fait aisément ce choix pour la représentation d’une telle région de la surface terrestre dont le contour est une ellipse avec un axe dirigé le long d’un méridien. Mais la pratique ne donne jamais des cas si simples; les contours des divers pays ont toujour la forme de courbes extrêmement irrégulières. Malgrè cela, pour la meilleure représentation d’un pays peu étendu on peut déterminer la position du centre de la projection, ainsi que la valeur de l’exposant, en comparant la forme du contour du pays avec une ellipse ou quelque autre section conique. Il suffit pour cela d’avoir seulement une représentation approximative du pays, pour la carte duquel on cherche la meilleure position du centre et la meilleure valeur de l’exposant; on peut donc employer ici une carte construite d’après une méthode quelconque.

On peut, à proprement parler, faire ici trois hypothèses différentes qui donnent lieu à trois solutions différentes; mais en les comparant entre elles il n’est pas difficile d’en trouver la plus avantageuse. Premièrement: on peut considérer la région projetée comme une partie de l’espace limitée par l’ellipse ayant son axe le long du méridien; cela correspond toujours à la solution la plus avantageuse pour les pays dont la plus grande extension dans la direction des méridiens et des parallèles se trouve sur ceux qui passent non loin du centre. Ce cas se rencontre le plus souvent dans la pratique.

Deuxièmement, la région projetée peut être considérée comme la partie de l’espace entre deux ellipses, hyperboles ou paraboles disposées semblablement. Cela peut donner la solution la plus avantageuse pour représenter seulement des régions courbées en forme de faucille ou présentant une bande étroite inclinée par rapport aux méridiens et aux parallèles.

Troisièmement, la région peut être comparée à l’espace compris entre les branches de 2 hyperboles inverses: ce qui correspond aux pays dont les contours sont considérablement concaves par rapport au centre *).

2 2 *) Pour l’espace qui est limité par une ellipse . + = 1 dans la projection stéréogra-

phique horizontale de rayon = 1, la limite des écarts du rapport d’agrandissement (la différence-

En nous arrêtant à la première supposition, à laquelle se rapporte la plupart des cas, qui se rencontrent dans la pratique, nous remarquons que de toute la multitude des ellipses, qui peuvent être circonscrites autour de la région représentée, la projection la plus avantageuse sera déterminée par la plus petite de ces ellipses, si nous prenons pour mesure de comparaison des différentes ellipses la longueur du diamètre moyen, qui est également incliné vers les deux axes.

Il n’est pas difficile de trouver, d’après la forme du contour de la région représentée, les points sur lesquels cette ellipse sera appuyée, et de construire par ces points ses axes et son centre. Le centre de cette ellipse sera la position la plus avantageuse du centre de la projection. La position de ce centre et le rapport des axes de l’ellipse détermineront le meilleur exposant. — Tout cela se rapporte, à proprement parler, à la représentation sur la carte des contrées très petites; mais il est aisé de trouver pour des régions plus vastes par la méthode générale d’approximations successives des corrections dans la position du centre de la projection et dans la valeur de l’exposant. De cette manière sera déterminé le meilleur procédé de construction de la carte d’un pays donné dans laquelle les parallèles et les méridiens conservent leur forme circulaire.

Nous voyons de là, que la construction des cartes géographiques appartient aux questions de la pratique qui se résolvent différemment pour divers pays. Le procédé de construction avantageux pour la représentation de la France, de l’Allemagne où de l’Angleterre peut être désavantageux pour la Russie. D’ailleurs la Russie, à cause de son étendue, présente des difficultés particulières pour sa représentation sur la carte; par cette raison le choix de la projection, qui correspond le mieux à son étendue, à la forme de ses frontières et à sa position par rapport à l'équateur a une importance particulière. Sans parler des cartes qui embrassent toutes les parties de la Russie, les cartes de ses différentes parties donnent des changements très

entre ses valeurs, la plus grande et la plus petite, divisée pe sa valeur moyenne) s'exprime ainsi

2p2 + FT pour l’espace entre deux ellipses EE D — = À? AE g — — 1 cette limite est égale 2 (2 — 1) a2b x? 2 2 2 (X2 — 1) ab?

se entre deux hyperboles © x — D — — }?2 — v —] elleest égaleà 0) entre deux paraboles &?=2py + a, Fe — 9 py + ai elle est égale à 2(x— al); enfin dans

2 2 a? 2 Pespace entre deux branches de deux hyperboles inverses Co age 1 Fe Ÿ = — 12 2 (12 +1) a2b?

la limite des écarts du rapport d’agrandissement est égale à Æe-0 Ces résultats se

déduisent des dernières équations de la Note citée, et ils sont exacts à tg3 = près, où w est la

distance angulaire des points de la région projetée jusqu’ au point qui est pris pour centre de la projection stéréographique.

sensibles du rapport d’agrandissement. Ainsi, en répresentant sur la carte par la méthode de Gauss tout ce qui appartient à la Russie de ce côté des

Monts Ourals, on admet des changements du rapport d’agrandissement qui

1 ; as | surpassent 35, Ce qui donne pour la mesure des surfaces une différence d’une

lieue carrée sur dix, une erreur très considérable. L’erreur de la carte devient plus petite dans la projection stéréographique horizontale avec un centre convenablement choisi, mais ici encore les différences du rapport

: : j à : d’agrandissement atteignent >, ce qui donne pour la mesure des surfaces

une différence d’une lieu carrée sur dix-sept. Ces erreurs ne sont pas assez petites pour qu’on puisse les négliger; le moyen pour les diminuer consiste dans la détermination de la projection qui correspond mieux à la forme et à la situation du pays représenté.

En examinant cette partie de la Russie sur la carte, nous remarquons que le contour général de ses frontières est loin de s’approcher des ellipses dont l’axe est dirigé le long du méridien, et dans ce cas il n’est pas possible, comme nous l’avons déjà vu, d'atteindre la meilleure représentation sur la carte en laissant les méridiens et les parallèles circulaires ou rectilignes. Une pareille simplification dans la construction de sa carte conduit à une diminuation considérable du degré de la régularité de la représentation. Pour atteindre la représentation la plus précise, il faut déterminer, d’après ce qui à été dit plus haut, le procédé de projection par l'intégration d’une équation particulière. Cette intégration devant se faire sous une condition qui dépend de la forme des contours et ces contours étant des courbes très compliquées, l'intégration exacte est évidemment impossible. Mais la pratique ne l'exige pas. Il lui suffit de se borner dans les changements du rapport d’agrandissement aux dixmillièmes, et dans ce cas tout se ramène à la détermination de quelques coëfficients, qui sont faciles à calculer, avec une approximation suffisante pour la pratique, d’après la forme du contour, quelque décourbé qu’il soit. Quant aux parallèles et aux méridiens, on peut les construire sans difficulté par points.

Passant aux procédés les plus simples de la construction des cartes, où les parallèles et les méridiens sont des cercles et des droites, nous remarquons que les domaines de la Russie de ce côté des Monts Ourals, y conclus le Caucase et la Géorgie, s'étendent plus du nord vers le sud que de l’est à l’ouest. On ne peut donc pas comparer cet espace avec un cercle et d'autant moins avec une ellipse dont l’axe dirigé du nord vers le sud est très petit en comparaison avec l’axe dirigé de l’est à l’ouest. Par conséquent, d’après ce qui a été dit plus haut, ni la projection de Gauss, ni la projection stéréographique ne correspondent pas à la figure de la région pro-

jetée. Nous remarquons, en appliquant dans ce cas la méthode indiquée par nous pour la détermination du centre et de l’exposant de la projection, que le centre de la plus petite ellipse se trouve entre Jaroslaff et Ouglitch sur la longitude 57° et la latitude 57° 36’. Cette ellipse, ayant son axe dirigé le long du méridien, embrasse tous les domaines de la Russie jusqu'aux monts Ourals, inclusivement avec le Caucase et la Géorgie, et le rapport de

? « 17 4 n] ses axes est égal à =. Prenant pour base cette ellipse nous trouvons qu’à

la projection la plus avantageuse correspond l’exposant 1,0788 *). Cette valeur diffère moins que d’une dixième de 1 qui est l’exposant de la projection stéréographique. Néanmoins cette différence a une influence considérable sur le degré de précision de la construction. Nous avons vu que la projection stéréographique, dans le cas de la position la plus avantageuse du centre, donne pour l’espace de la partie considérée de la Russie l’écart du rap-

port d’agrandissement égal à Prenant la valeur trouvée 1,0788 comme

exposant de la projection et son centre entre Jaroslaff et Ouglitch (longitude 57°, latitude 57°42/30"), nous avons obtenu une carte de cette partie de la Russie dans laquelle les écarts du rapport d’agrandissement ne surpassent

pas . C’est la plus grande exactitude qu’on puisse atteindre avec des

parallèles et des méridiens rectilignes ou circulaires.

D'une manière semblable, Messieurs, la plupart des questions de la pratique se ramène à des problèmes des maxima et des minima, tout à fait nouveaux dans la science, et ce n’est que par la solution de ces problèmes que nous pouvons satisfaire aux exigences de la pratique, qui cherche partout le meilleur et Le plus avantageux.

*) La formule de la note ?) donne, en posant ! — 57°36/, n — 1,7, pour l’exposant de la carte la valeur 1,0675. Nous trouvons, en calculant les corrections, qu’il faut, ajouter 0,0113 à cette valeur; pour la latitude du centre de la projection on trouve 57°36’ + 6'30/ — 57°42/80”. Sa longitude reste égale à 57°.

SUR