da? 2.8... n da

et l’on voit que le terme complémentaire a pour valeur

mi plan (x — a— n(x")}" F'(x") ss | (dx”}" dx

où on supprimera les accents de æ et x” après avoir fait les différentiations par rapport à +”. Cette valeur peut être, évidemment, présentée sous cette autre forme:

1 pisser er) 71... din ?

en faisant ? — 0 après les différentiations.

D’après ce que nous venons de voir la formule

ndF'(a)q?(a) n° d? F”(a)g*(a)

FX)= F0) +3 Fa) + 5 a

n n—1 77/ n CAN ex 2 (4 INF" (x/!

“. no. tn) [ d" (&'—a 19 DEC) 7 RC RE dant 2.5;,,.in (dx//}"

subsiste également pour toutes les valeurs de X qui vérifient l’équation X—a—= 1 (À).

Mais les premiers termes

; 2 4F' 2 (a) 3 d2 F'(a)@3(a Fos nr (other or, rer0r0 ne : di F(a)g" (a) De NON ESTOTS dan—1

de cette expression, qui constituent le développement de F(X) d’après la série de Lagrange jusqu’à la (n + 1)° puissance de n, ne donnent effectivement sa valeur, exacte aux quantités près du même ordre, que si le terme complémentaire

(—1) (3 a (x'— a — ap(x”))" FE’ (x) FE. (ax

di —

2,8... :n din

1 f M(n+ita— a)" Fri) y,

devient, pour n petit, de l’ordre »"** ou d’un ordre supérieur. Or, il est facile de remarquer, que cela a lieu nécessairement, tant que X est celle des racines de l’équation

X— a— np(X),

qui se réduit à & pour n — 0; car dans ce cas, en vertu de l’équation

X— a = np (X),

la différence X— a est une quantité de l’ordre n, et par conséquent, l’intégrale

X an (no (x + à) + a — x)" F'(x + i) [. ai dx,

où æ — a reste compris entre O0 et X — a, a tout au plus une valeur de l’ordre n°”

$ 3. Le terme complémentaire, que l’on vient de trouver, permet d’assigner la limite du reste dans les développements construits d’après la formule de Lagrange et arrêtés à un terme de rang quelconque. Nous allons en donner des exemples sur les développements bien connus de /’anomalie excentrique et du rayon vecteur selon les puissances croissantes de l’excentricité.

Pour le développement de l’anomalie excentrique il faut poser dans nos formules

F(x) = x, p(x) —=sinx,

en supposant que X désigne l’anomalie excentrique, a l’anomalie moyenne et n l’excentricité.

Dans ce cas l’équation X —a— 1 (X) devient X—a—n sin X

et le terme complémentaire du développement de F(X) = X, prolongé jusqu’à »”, s’exprime ainsi:

1 [ a" (n sin (x +) + a—x)" dé 2.8...:n), din ?

en prenant à — 0.

Or, comme l’expression

1 da" (nsin(æ +1) + a — x)" DT PE din 4

pour à — 0, n’est que la valeur de l'intégrale définie

Le fe ( sin (x + rePV —1) +a— e) eme = dp,

r étant une quantité quelconque, ce terme complémentaire peut être mis sous cette forme:

> 1 f [ee &@+reV— he. eme 1 dp dx.

Pour assigner la limite que cette expression ne peut surpasser, nous allons chercher la plus grande valeur que peut avoir le module de

[n sin (œ + re 1) + a — x} pour æ compris entre a et X, racine de l’équation X—a—= sin X,

ou, ce qui revient au même, pour & compris entre æ — n sin æ et x. En dénotant par À le module de cette expression, l’on trouve

R=[nsin(c + re) + a—x] [nsin(x + re V1) + a—x],

: &R d’où, en cherchant la valeur de =, on a

ŒR , a La valeur de étant positive, on conclut que le maximum de R ne

peut avoir lieu que pour les valeurs extrêmes de a, savoir: G—=%, a—=t—VNSsiNnx.

Or pour a = x la valeur de R dut n sin (x +- reV—1),nsin (x + re" 1),

ce qui se réduit à

- [cos (2r V—1 sin p) — cos (2x + 2r cos p)] —

2 Mer sinp-p e—2rsinp ; =+ — côs (2x + 2r cos p)| À

et la plus grande valeur de cette expression a lieu, évidemment, pour sin p — 1, cos (2% + 2r cos p) — — 1, ce qui donne pour le maximum de R cette valeur:

Li e2r + e—2r Les CE € +e-r 2 5 +1]=n 3 ‘

En prenant pour a son autre valeur extrême æ—" sin zx, on trouve que À devient

[sin (x + re—1)— sin] [sin(æ+re"V—1) — sinx],

ce qui se réduit à An? cos (x ++ er) sin (& Se . COS (x + +e à sin (5 eV re et comme

2 cos(x + . eV —1) cos (x + . e?V=1) — cos(r V—1 sin p) + cos(22 +7 c08 p)

i —r sin p = = + cos (2x + 7 cos D),

2 sin (5 er) sin (£ Eee — cos (r V—1 sin p) — cos (r cos p)

r sin p —rsinp = — cos (r cos D),

on trouve pour À cette valeur:

H=1ms8s,;

r sinp —rsinp à S = ——" — cos (r cos p),

S ersinp pe-rsinp

Fe + COS (2x +- r COS D).

On parvient facilement à reconnaître que cette valeur reste toujours au dessous du maximum de À que nous venons de trouver pour x — 4.

En effet, en cherchant les valeurs de p, pour lesquelles l’expression

S ersinp-p e—rsiup

= 5 — COS (r COS p)

peut devenir maximum où minimum, on trouve l’équation

Cette équation se vérifie évidemment quand on fait snp—0 ou cosp—=0,

et hors ces cas, elle ne peut être satisfaite; car, tant que sin p est différent de zéro, on a

(£ sinp— e—rsinp

D] Æ 2 «in?

à ) > r”Sin* p, et comme sin? (r cos p) < r” cos? p,

cela suppose

(= sin p —e—rsinp

2 sin (r cos p) | à tang”p,

tandis que l’équation (2), pour cos p différent de 0, donne

ersinp — p—rsinp 2 sin (r cos p)

— {ang p.

Done, les maxima et les minima de l'expression

S er sinp 5 e—r sin