TRE

p—m—p S—o. p—m—p—1 S—-o 1 S— & mMm—6+lp—S—p m—0+2 p—S—p "u—p—0oum—S—pf°

Voilà l’expression qui, en conséquence du théorème précédent, pour certains nombres entiers positifs 9 et o, sera la limite supérieure de toutes les valeurs de P,,, dans le cas, où p, +p,+p, +... + P, = S.

En remarquant que la valeur de l’expression

RE en de S— G u—m—p S—o p—m—p—1 S—5c Mm—6+1lpm—S—p Mm—o+lp—S—p m—oc+2 Me.

—mMm—p Sc p—m—p—1 S—5c 1 D à

M—6c+lu—S—-p m—0c+2 u—S—-p h—p—0oum—S—Pp

est plus petite que celle de

D eme De ++

M—s p—S—-p Mm—s m—S—-p

qui est le développement de

(tte S— 6 St er M—S U—S—Pp u—m—p S—c ?

M—S WM—S—Pp

ou de

mL M—S—0) —mMm—p S—o \u—m—p+l (m — S)(u — 0 — 0) FE et |] | .

nous parvenons à ce théorème:

Théorème. «Pour certains nombres entiers et positifs o et o« la valeur «de l'expression

1.2...(u—p—0) S— 6 Ve a Mm—c s[1- (ee, S—c He 1.2...(m—06)1.2...(u—m—p) \u—-p—0 U—p—c m—S — 6 u—S—

«surpasse la valeur P,, de la probabilité que dans p épreuves l’évenement «Æ, ayant les er Pis Par Pas + +: Pus arrivera au moins # fois, où S «est la SOMME p, + pP,+pP; +... + pr.

$ 4. Arrêtons-nous au cas, où # surpasse S +1. Suivant le dernier théorème nous avons

D D ee]

et à plus forte raison

1.2...(U—p — 0) S— o \m—o/p — S— p\u—m—p+1l m — 0 (1) P,< — ( (ET) m— $S"°

Mais » étant plus grand que S+-1, la valeur de l’expression

1.2...(m— 0 — 0) ( S—c JT U—Mm—p+1 mm — © 2...(m— 0).1.2...(u — m—p) \u—p—0 +) m—S

augmentera par la diminution des nombres entiers positifs 9 et o.

En effet, si nous divisons par cette expression la valeur qu’elle prend après le changement de o& en 5 —1, nous trouvons pour leur rapport

n—p—0+1 (8-01) (ue — p — 5) shine (Br Quiepse à LP PTS ;

RSS 7 es

ou bien

(EE) M—p—06 ir

ce qui, étant mis sous la forme

1 1 ES | ist se réduit à MW 01". 4 {M0 È }+1 { — :

1 Qi 2 G— ppoil 5 So poil Ÿ sa m— S—1 S—c+l

Or, cette valeur est évidement plus grande que 1; car

m—sS—1 1 S—o+-1 14"=S—1 S— c—+1 est égale à PE eh ur 1 /m—S—1\2 1 /m—S—]1\8 S— c+1 2 \S—oc+1 2.8 \S—c—+-1 14.01 ?

S—c+]il

et ceci surpasse l’unité, parceque, » étant, par supposition, plus grand que S+1,m— S—1 aura une valeur positive.

Quant aux valeurs de

m—0o | mMm— 6 1 (S—6c+1} u—p—oc+1? (S—0o+1) (M—p—0c+1? " " "0?

elles sont positives, vu que, par supposition, m— a surpasse S— © + 1, et : È S— © ; S— © +1 ne peut surpasser m—p—0o+1; car autrement Det) qui

est la valeur d’une certaine probabilité (voyez $ 2), serait plus grande que l’unité.

Nous nous sommes donc convaincu qu'avec la diminution de o la valeur de l’expression

ts bre ( pe D 1.2...(m—0).1.2...(u— m—p) \nm—p—0 B—p—0 m—$S

augmente. Le même a lieu par rapport à 0.

Nous concluons de là que pour »m> S+-1 la valeur de l'expression

1.2...(u — p — 0) ( S— ç Re — 1.2...(m— 0).1.2...(u—m—p) \u—p—0 U—p—0 m— $S

MIARART LS de

MP è és

NT. ee

dans l'inégalité (1) ne peut surpasser celle qui correspond à p—0, 5 = 0 et qui est égale à |

18,.p Pre