DE LA THÉORIE DES PROPBABILITÉS
(Crelle, Journal für die reine und angewandte Mathematik, B. 38, 1846, p. 259—267.)
ar" a | A TUNER
Démonstration élémentaire d’une proposition générale de la théorie des probabilités.
$ 1. La proposition, dont la démonstration sera l’objet de cette note, est la suivante:
«On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel, que la probabilité «de ce que le rapport du nombre des répétitions de l’événement Æ à celui «des épreuves ne s’ecartera pas de la moyenne des chances de Æ au delà «des limites données, quelques resserrées que soient ces limites, s’approchera «autant qu’on le voudra de la certitude».
… Cette proposition fondamentale de la théorie des probabilités, contenant comme cas particulier la loi de Jacques Bernoulli, est déduite par Mr. Poisson d’une formule, qu’il obtient en calculant approximativement la valeur d’une intégrale définie assez compliquée (V. Recherches sur les probabilités des jugements, chap. IV).
Toute ingénieuse que soit la méthode employée par le celèbre Géo- metre, elle ne fournit pas la limite de l’erreur que comporte son analyse approximative, et par cette incertitude sur la valeur de l’erreur la démonstration de la proposition manque de rigueur.
Je vais montrer ici comment on peut démontrer rigoureusement cette proposition par des considérations tout à fait élémentaires.
$ 2. Supposons que p,, Pay Pas» » « P, soient les chances de l’événement Æ dans w épreuves consécutives, P,, la probabilité que Æ arrivera au moins » fois dans ces 4 épreuves.
On parviendra, comme on sait, à l'expression de P,, en développant le produit
(Dé 1— p,) (nt + 1—p,) (pat + 1 — ps)... (pit + 1 —2,)
suivant les puissances de # et prenant la somme des coefficients de #”, #7,...4#.
FU © ‘VRRN
De là résultent évidemment ces deux propriétés de P,,:
1) Cette quantité ne contient p,, Ps, Ps; + . : Py qu'aux degrés non supérieurs à l’unité; 2) elle est une fonction symétrique par rapport à p,, D», Pas +» + Pi
En vertu de la première propriété P,, pourra être mise sous la forme U+-Vp,+ Vip: + Wp:p,
où U, V, V,, W sont independantes de p, et p,; en vertu de la seconde, V et V, sont égales. Donc la forme de l’expression P,, est
DFE) TND.
où U, V, W ne contiennent ni p, ni p,. D’après cela il est facile de prouver sur l'expression P,, le théorème suivant:
Théorème. «Si p,, », ne sont pas égales, on peut, sans changer les vadeurs de p,+-P,, Ps; -.. P,, augmenter celle de P,, en prenant p,—p,; ou «on peut parvenir à une des équations suivantes:
«sans diminuer la valeur de P,,».
Démonstration. Nous avons vu que l’expression de P,, peut être mise sous la forme U+V(p, +») + Wp,p,, où U, V, W sont independantes
den, et.p,.
Or la formule U+V(p, + p,) + Wp, p, présente toujours un des trois cos WW WW 0.
Dans le premier cas la somme p,+ », reste la même, et la valeur de
P,, augmente de EW(n— P,), quand on change p,, p, en (+ P);
07 + P,); Car la différence
U + 4e (D, + P3) + (2 +2) | fe W+ (P,+ 22) 5 (Di +P)) A0 VD) W pp;
se réduit à + W(p, — p,).
Dans les deux autres cas on ne changera pas la valeur de la somme ?, +», et on ne diminuera pas celle de U+ V(p,+-p,) + Wp, p,, en changeant p,, p, en 0, p, +, Ou en 1, p,+p,— 1; car U+V[0+p,+p]+W.0.(p,+p)—{U+V(p, +2) + Wp,p.} = — Wp,p;; U+-V[1+p,+p—1]+W.1.(p,+p—1) —{U+ V(p,+p,) + Wp, p;} = —W(1—p,)(1—p,).
en: |. EUR
Mais les valeurs 0, p, +», pourront être admises pour p,, p, toutes les fois que p,+p, ne surpasse pas 1; car elles sont alors positives et ne surpassent point l’anité; dans le cas contraire où p,+p, > 1, on pourra changer p, en 1, p, en p,+?,—1, ce qui prouve le théorème énoncé. Ce théorème nous conduit encore au suivant:
Théorème. «La plus grande valeur que P,, peut avoir dans le cas où DH Pat Pat... Hp, =S, correspond aux Lee de p,,2,, 1, P, «données par les un
Pi—=0, p;—=0,...p—0, Pui—=l, Pis=1l,...p,,.=1,
Lan me € S—-o ___ S—o
«où p, s désignent certains nombres».
Démonstration. Supposons que t,, T,, Rs, . . . %, soit le système des valeurs de p,, p,, Ps, . - P, Qui, vérifiant l'équation
Pi Pat Ps + ee HP,=S,
donnent la plus grande valeur à P,, et renferment en même temps le plus grand nombre possible de valeurs A 1 et O sous ces conditions.
Soient d’ailleurs %,, T,,... To celles parmi les quantités tx, t,, t,,...T k qui sont égales à 0; t;1, Toy - . . ©,,, Celles qui sont égales à l’unité; toutes les autres % 41, To4542, + - .,, étant selon la supposition différentes de O et 1, doivent être égales entre elles, comme nous allons le prouver toute à l’heure.
En effet, si ñ,,.,,, n’est pas égale à x,,.,,, il est possible, d’après le théorème précédent, ou de rendre P,, plus grand, sans changer la somme
LR h.. HE Thot Tpto+a + : . HT)
en Prenant T,yor1 = Typoray OU de faire %,,,,, égal à 1 ou 0, sans diminuer la valeur de P,..
Mais ‘ie est contraire à la supposition que le système M To) ms. .T
u donne la plus grande valeur à P,, sous la condition
ME The. HT, =;
l’autre est contraire à la supposition que de tous les systèmes qui ont cette DODGE, 7,7, 1m 7, est celui qui renferme le plus grand nombre de valeurs égales à 1 et 0. Donc il faut nécessairement qu’il soit
ptet — papa + 0 + = Tue
ns D Mais outre ces équations nous avons
R, — 0, To — 0, 1, — 0; Tu = l;, Ty+2 — 1, re Pgo — 1
Ti To + gt ee. +=,
d’où résultent les équations du théorème proposé.
$ 3. Passons maintenant à la recherche des valeurs de l'expression de P,, qui correspondent à
p,= 0, P;= 0, .. p,= 0, Do — 1, PDo+2 — 1,. ; : Pas 1, ___ S—so S—so Ras Pan po Poor or Pen 5
De la remarque que nous avons faite par rapport à l'expression P,,, il suit que la valeur de P,, qui correspond à
P= 0, Pa 0, . -p, = 0, Pa Te 1, Py+2 — PAS. S Pos — L LL S—6 ... $—e __ S—o Petra ES ar Peel LT or nn PE 5
est la somme des coefficients de £”, #71, ...4{" dans le développement du produit
ë S— 6 Re) Rp HS 6
et que, par conséquent, elle est égale à
1 2...(u — p — 6) S — 6 NE D: .0 1.2..(m—06).1.2. (um —m—p) \m—p—-0 m—p—0 m—6+1um—-S—Pp
u—m—p S—o u—m—p—1 S—o Mm—6+lmu—-S—p m—5+2 p—S—p
