V COS

La variable o- = est égale à la projection MN

C<0!S Ot

parallèlement à la verticale, de la vitesse v sur la tangente à Torigine de la trajectoire.

La variable t est parfois désignée (Siacci) sous le nom de pseiido-vilesse

(255). /"^ :vcQa r

Fi"- -8

296. Formules de Nivens et de Siacci. — Il est nécessaire de s'arrêter sur la formide de l'ordonnée. En efï'ct le problème qui vient d'être traité du calcul d'un arc quelconque de trajectoire (où t n'est pas voisin de zéro) a été résolu par les auteurs de deuv manières différentes.

Sous le nom de « formules de Nivens » on trouve, en effet, tout d'abord, à quelques détails près, les formules qui viennent d'être établies (298, 5°) et qui se distinguent des formides du tir de plein fouet par l'expression de l'ordonnée qui est simplement y = x tg a.

Siacci, dans sa Balistique (p. 54), résout le même problème en donnant à y la même forme que dans le cas du tir de plein fouet (219), c'est-à-dire

y = X tg a — -^ [ A — Ao — Jo (D — Do) 1 .

Cette dernière expression est fautive, car x tg a est ici du premier ordre, et le terme du second ordre de y ne peut être introduit que si dans x\ on conserve également le terme du second ordre.

297. Calcul d'une trajectoire par are& soecessifs- — On peut se servir des formules du n" 293 pour le calcul d'une trajectoire ])ar an^s successifs : cette

nxMSTiQc r:.

4*2 li LES TROIS SÉRIES BALISTIQUES

méthode aura même, sur les méthodes exposées aux n"^ i83 et suivants, de nombreux avantages de générahté d'appHcation et de facihté des calculs.

En y joignant, dans le voisinage du sommet, par exemple pour le calcul de Tare de + 5^ à — 5"", l'application des formules du tir de plein fouet, on aura un procédé très rapide de calcul d'une trajectoire par arcs.

Mais il ne faudra pas oublier, si on n'emploie pas le second terme de la série qui sera donnée au paragraphe suivant, qu'on doit prendre l'amplitude (to — .tJ de l'arc choisi pour le calcul avec les formules du n" 298 moins grand qu'a\ec les formules du tir de plein fouet.

En plus, il est aisé de voir que, si au lieu de développer les lignes Irigonomé triques (291) par rapport à l'inclinaison initiale a ou r^de l'arc, on les développe par rap-

port à l'inclinaison moyenne — = ijl, les formules

restent les mêmes, mais que la \ariable t est alors égale

U l'COST ^ ,. . ,

a ff = = . Dans ces conditions, les lor-

COS [JL COS [JL

mules donneront une bien meilleure approximation, l'erreur commise étant positive sur une moitié de l'arc et négative sur l'autre moitié.

On écrira donc, comme formules pratiques du calcul d'un arc quelconque de trajectoire avec le premier terme de la série seul :

/ = — ; y =^ sin a — 2.

avec UL = -^ ^, et t = .

' 2 COS ]X

fo:nctio>îs balistiques de siacci

Second terme de la série

298. Équation de Thodographe. — Conservons maintenant, dans Téquation différentielle de l'hodographe le terme en 9^ qui avait été négligé en première approximation. L'équation du n" 292 devient :

— r/9 = — cos a ^c/t — — sin a T^J^'dfT. c c

Rétablissons dans le premier membre la variable (h =^' — rf9 et multiplions de part et d'autre par

COS'T

I f. sin a

COS" a cos^ a '

il viendra :

COS'T

^<ï>cosa

^ T<Ï>'S sin a

COS" a

sin a cos'^ a

ou, aux termes en 9^ près