Temps. — Dans l'équation

, Il rfT (Tcosa r/T

y cos" T (f/ COS" T

ck portons la valeur de ] — avec deux termes : on aura

COS" T (It 2

(Il = =r r sin a ( J^^ — j) o-MV/o".

Cl. o

Les définitions du n''278 donnent pour les deux fonctions S^ et s" :

FONCTIONS BALISTIQUES DE SIACCI

Il viendra

iioo. Abscisse. — Pour Tabscisse on aura :

COS"T

Tao"

(Ix = ^ cos a ~ sin a cos a ( J^ — j) 7'Wch

CL (y

d'où on tire

.r=cosa

D — Dn sm a cos a

F^L2J„(D'-Di)-(D"-Di')

avec (279)

iioï. Ordonnée. — On a :

^ (/ ^ COS^T

en remplaçant tg t par tg a — , il vient

dy =

ck

(J cos- T

tga —

cos'^ a

ou

(/y = te; a ax H 1 5 —

•^ ^ (J COS^T

et dans le second membre, il suffira de remplacer 0 et

— Ty — par leurs valeurs principales. On a ainsi :

- , I . , o-rfo-

«J = ^ë ^' ^^^ r ( Jo — JJ

Intégrant, il viendra :

= ^- ^ë^—-^ [jo(Do — D) — (Ao — A)]

En remplaçant x par sa valeur, on aura l'expression totale de y en fonction de u.

3o2. Résumé des formules. —

Inclinaison ; te: t = tir a -| ( J,, — j)

ccosa ^ ^

+ -^ tga[2j„(j' — Ji) — (j" — Ji')]

— -^ sina [2J0 (S' -^ Si) — (S^' — SÏ)]

H osasse : x = cos a ^

Y sin a cos a [2 J,(d' — Di) — (d" — Do)]

r. 7 ' D — Do

Ordonnée : y = sin a

^sin^a[2j„(D'— Di)— (D"— Di')]— ;^[Jo(Do— D)— (Ao— A)]

Le second lernic de la série, dans le cas d'un arc quelconque de trajectoire, s'obtient donc par des formules

FONCTIONS BALISTIQUES DE SIACCl

OÙ entrent les six fonctions j\ j", s\ S", D', D" déjà rencontrées dans le tir de plein fouet ; mais ce terme nVsl que du second ordre par rapport au premier, au lieu d'être du 3^ comme dans le cas du tir de plein fouet.

On remarquera que toutes les expressions entre crochets tels que -j [2 Jo(j' — j\) — (j" — j")] sont du

second ordre en (j = a — t. Cela résulte par exemple pour celle-ci de la formule

^ il ^ cos" T c cos a fjV

sin a cos^ a

qui peut s écrire

cos-'T

et

c cos a

(Il

sin a U' . „

COS'* a <P

On voit que quand a devient petit (tir de plein fouet) le i*''' et le 3^ terme du second membre de y deviennent de grandeur comparable et du 2® ordre par rapport à x. Le second terme au contraire est du 4^ ; y se réduit donc bien à la forme du tir de plein fouet.

Si on prend le développement de Thodographe (292) en Y faisant a = o, il reste

Si on multiplie par y~z = i H- '^^ et qu'on rem-

place S^ par T% il vient (h (J

cos

cos" T r c

'z^da.

Ci' qui est bien Téquation de l'hodographe du tir de plein fouet (214).

3o3. Théorème. — Quand on prend pour variable

, avec \k = — et que F (y) peut étre^ sur

COS [JL '2

la longueur de Varc^ remplacé par B^d^, n étant un exposant quelconque^ le terme du second ordre de tg t est nul. .

En effet, en posant t = ^ — (jjl — t) = [ji — 6 on écrira Téqualion de l'hodographe avec deux termes (296) :

^fc ^ y d^r 2g smjL ^ I / aF\ ^^

COS^T CCOS[JL tF C COS'-^ [JL o.tF \ F /

ou

r/T f/ di a sin a , n r, ofo*

7—= ^ "nr— r-(* ^ ^)^~P"

cos" T C COS {ji db C COS [JL ^ o-r

ce qui peut s^ écrire

dr: g c/t

COS" T c COS [JL

-p +(i-/i)tg[x6rf9.

Intégrant, il viendra :

f g M = tg '« + 73^ ( J«- jO +-^ tg ;. (9f - e?) ,

■nais

et par suite Qi — 9^ = o.

Ainsi donc, quand on adopte la valeur [jl = —

FONCTIO^'S. BALISTIQUES DE SIAGCI îtA9

avec la variable o", les formules du premier terme du n*^ 2^6 font connaître J^, c'est-à-dire la vitesse i\ à l'extrémité de Tare avec une précision supérieure à celle fournie par les trois autres équations, puisqu'elles ne négligent qu'un terme en 9'^, si les variations de l'exposant n sur l'arc sont peu rapides.

3o4. Exercices. — i° La série générale qui vient d'être développée admet trois cas particuliers (5i) :

1° t: voisin de zéro (tir de plein fouet) ;

2° T voisin de — sur la branche ascendante (tir vertical de

bas en haut) ;

3° T voisin de — sur la branche descendante (tir vertical de haut en bas).

Dans ces deux derniers tirs on suppose qu'on n'est dans le voisinage ni du point Q de vitesse infinie, ni du point v' de vitesse terminale.

On prendra pour variable la vitesse verticale Vy = v sin t. Les équations du mouvement s'écrivent :

ch dvy

COST

n--Fr^^

g \sin T^

t'v i dr II dvy

dt — ^ '

dy

q sm T cos t q sm t . c , / u,.

g VsmT

l'y \ du II Vy dVy

g SUIT cosT g sin t ^ ^ i;i/ ^y

g vsin T,

dx =

v\. dx I I v.ydv.

COST

q sin^T q sin-T c „/ i».^

sinT.

43o LES TROIS SÉRIES BALISTIQUES

On posera - = 8, d'où sin x = 1 et on déve-

loppera F I ^- J par la formule de Taylor.

I^es premiers termes de la série seront donnés par les formules suivantes :

cosT = cos a ly, avec Loer I^'y =

X = — cos a X y,

Les fonctions S et A sont celles du n° Go.

Des formules analogues existent pour le mouvement descendant, en changeant ^ en — g dans les intégrales.

'1^ Ces intégrales peuvent s'obtenir sous forme finie dans les hypothèses F(i>) = B^v- et F(i') = B.u' *.

io Au voisinage du point ( ^^ v'j on peut traiter le-

problème en faisant usage du développement indiqué au n'' 108.

Posant T = [-6 et v =: v' — s, on a obtenu

rhodographc sous la forme

* M. de Sparre, Mémorial de l'Artillerie de la marine, t. XXIII, i8q5,

p. on.

FONCTIONS BALISTIQUES DE SIACCI 43 1

On aura donc :

V =:v' — ab^ avec a =

On obtiendra lalors les autres éléments du mouvement par l'intégration des équations

gdt =--{v^ — ab-)j

gdx = — {& — 1 a6") db

gdy = — (u' — '2 aO») y