COS T/ . COS" T COS" ^ ^ T ^ COS'* T

d'où

Ç(t) == A, a^ Çn(T) + A„ ^ 1 «J ^ ^. Ç„ ^ 1 (x) ... + A, «»> Çp (x)

X(x; = An«J Xn(^) + An + 1 «r ' Xa + 1 W- • • + ^P «J Xp W Ç(x) = An«S Ç„(x) + An + 1 «r ' Çn + 1 (-) . . . + A , M? Çp (x)

Les nolalions Çi(x), XiW ^^ ÇiW indiquent ce que deviennent les fonctions Ç(x), y^{z) et Ç(x) dans le cas a une résistance Bn l'n ; ce sont ces valeurs qu'il faut niainlenanl calculer.

1° Çnf"^)- — »^i oï^ ^ 1^(^) = i^n t'", il viendra

Ml)

xosx-

cos

et par suite

t/o \cosx/cosx jo cos'^+^x

Ç,i(x) étant la l'onction déjà considérée sous cette notation dans la théorie d'Euler. On sait connnent on peut en dresser des tables (i h)).

^/o COS »

Intégrant par parties, il vient

COS

La fonction Xn W ^^t donc ramenée à des fonctions connues.

VXJ-zy-Ona Ç„(t)

IgT

cos- T

Intégrant par parties, il vient

Ç^^t) est donc connu et calculable.

Exercices. — Trouver les développemenls en série suivant les puissances de t des fonctions ç('^), x(") ^^ ?(')» ^^^^ le cas général.

Sommet et point de chute

319. Sommet. — En faisant t == o dans les équations du n** 3 1 5, elles deviennent les formules du sommet sous la forme suivante :

Vs = «„

u,, Çf a)

tg^aH ^-

Ç(a) ç(a)tg^a

3i>.o. Point de chute. — Si dans la dernière des équations du n° 3 1 5 , on fait j = o, on devra reiriplacer t par Tangle de chute co et on obtiendra une relation entre a eto), qui est la suivante.

o=tg'-a — tg"^co + 4 —

Ç(«)-ÇH--Ç(a)(tg-^a-tg-^a.)

Mais (0 diffère infiniment peu de — a et est un peu plus grand ; posons donc co = — (a + s), £ étant une très petite quantité à déterminer.

En se reportant à la définition des fonctions Ç(t), xW? Ç(t), on voit immédiatement que Ç( — t) = — §(")'/

X(— t) = x('^) ' Ç(— ^) = — ÇW'- ^^^^ 1 ^t Ç sont des fonctions impaires, comme tg t ; x est une fonction paire, comme cos t.

Dans la relation entre a et w ci-dessus, on pourra

remplacer, dans le terme où — > est facteur, w par — a,

car on ne négligera ainsi, dans l'expression de tg w,

qu'un infiniment petit du deuxième ordre en — .

On aura ainsi :

OU, d'après la parité de Ç,

' tg-^ a> = tg^ a + 8 ^ ?(») .

ou bien, en extrayant la racine

Igw^

tga + 4

0 gW 9 tgaj.

Si .o>n porte la valeur ainsi trouvée en remplacement de tg T dans les formules du n'* 3i5 et si on fait les réductions nécessaires, on a

rl==--^ 2tga + 4— 7^— 9 l 9 tgaj

2 ii-ÎÇ(a)tga 9 9

2tga + 4

9 tg^J

ws c

-4-y^Ç(a)lga,

LES THOIS SERIES BALISTIQUES

LVnsenible des formules du point de chute sera donc

tg oj = — tg a ï + 4 - Ç >.; cotg^ a

1 = — - tff a

• - 7 (5(«) - 2 Ç(a) cotg-^ a)

-tga

> — 2 - iÇ» — Ç(a) cotg- a)

Les expressions des quantités correspondantes dans le vide ont été mises en facteur.

^2l, Résumé- — î^es fornmles du Tir courbe à faible

vitesse, bornées au terme en —, en posant :

A^^ = 2 Çi a , (0, = 2 Ç(a) — 2 Ç(a) cotg-^a

fB, = 4 Ç(a) cotg- a ^L\ = Ç(a) — x(a) cotg a

^1 =Ç» — 2Ç(a)cotg-a

sont donc les suivantes,

Sommet.

U^tg^/ ^C^^

Po//2^ de cluile.

= — iitga I CJ

tgw

-tga (H--3i,

Le problème sera résolu si on possède des tables des fonctions eilo^, 63^, etc., calculées avec la fonction F(îj) expérimentale.

3 22, Formules différentielles du point de chute.

— On se propose de rechercher quelles sont les petites variations occasionnées aux éléments du point de chute par les petites variations ôc, ÔV^,, ôa des données à l'orif<ine c, V^ et a.

Soient X^ et T' la portée et la durée du trajet dans le vide ; les équations du point de chute s'écriront :

tg(o = -lga(i+-Î35.); X=X' (i — î (0.) .

Si on difi'érentie ces équations, on obtient les formules suivantes :

Oo) da . I ^ / ^ \ dX ôX' I ^ , .

sin(ocoscL) sinotcosa 9 ^ ^' .7

Démontrons par exemple la dernière. Difterentîant logarithmiquement, Téquation qui donne

on aura

dX ôX' I 0(c(î),) OX' I ^, , X

4ï6 LES TROIS SÉRIES BALISTIQUES

et comme X= X' à. un terme en — près, la démonstration est établie. ^

ï" Variation ôc. — Les variations dues à de étant nulles dans le vide, on aura immédiatement les formules :

= -^ri^c ou ôa,. = — (Uy — u,)

d^'^ ï ^ A ^<*> / ^ de

— r- = - ^4 tg a Oc ^=:— (tga+tgto) —

-7^ = — — efic ÔT =(T T) —

<^X I ^\ ^,, ,, , de

= a\dc ÔX =.— (X'— X)

2" Différentiation des fonctions Ç(t) e/ Ç(t). — Pour obtenir les variations des autres éléments il fau^t calculer

les dérivées telles que -^^ , -^ , etc. Mais les fonctions distinctes qui entrent dans les formules tant du point de chute que du sommet sont seulement §(':), y(':)

et Ç(t) et il suffit de savoir former -rrr^, \^ ^ , etc a) On a : Ç(a) = " Tf f-^^ -^ .

^ ^ Ju VCOST/ COST

L'intégration sous le signe / donne immédiatement

du^ Jq VCOST/ cos-T '

D'autre part :

ôa \ cos a y cos a '

LE TIll COURBE A FAIBLE VITESSE /\i']

h) On a : x(*) = /' ? (') -^ •

Intégrant par parties, il viendra :

x(a)=ç(a)tg«-;/;F(^)„.-;^.

On aura alors :

OS a fV/ / '*. \ fi"tg a -^ — ; F — - «K-^ ^,

ou. Jy \COST/ COS-T

cl craiitre pari :

Oa ^ COS" a

f" / V dz

Intégrant par parties, il vient :

On aura ainsi :

Ofi^j 2 OW^, 2 Jo VCOST/ COS-T

Puis :

323. Variation dX. — Nous calculerons seulement ici la variation OX.

lULISÏIJlK. -xo

• ■ rr' ■

On a d'après les formules du n° 3x8.

i)X dX' c /d(0, , dcô, ,

avec CO^ = 2Ç(a} — aÇfa) cotg^ a.

D'après les valeurs trouvées pour

OÇ(a) ^^ rfl;(«)

rfa^ cIuq '

on aura :

0^, Jy \COST/ COS'^T ^ ,,'0 \COST/ ^ ' ^/t *^

et d'après les valeurs trouvées pour on a :

Oa cos a V cos a / sm a cos a

D'autre part, on a :

OiZy = cos a ôVq — V(, sin a da.

1° Variation OY^. — On aura :

OX i)\' c

TT- = -rn ^i f ^^ cos a dV,

Mais comme X' =

Vq sin 2 a

LE TIR COURDE A FAIBLE IITESSE

il viendra

^ ~. V„ + tg 2a el par siiile

a" Varialion ùa. — On aura :

A X' y L cosa \cosa/ su

l'osant :

t,,,) = -,,.,W,g,+^[F(^)il viendra :

-«,Wfc.

334- Première application. — Innoiio/i dV„ rfaii: cns</eF(i'i = IV- — '■orstl'i'on iait F(u)==B„un, la foi-mi (J I S) (ini donne la portée \, devient, en lenanL compte i reltitions du n° 'ii6 :

\=\' r,iÎB.«;[Ç.(»J-Ç.(")cois'a]l =\'[,-\\

A ùlaiil une Ibnction de a seulement et non de Vg. On «urn doue

Remplaçant

il \io!ulra

Exercice. — Démontrer dircclemcnt que la fonction O^fa)

est égale à

325. Deuxième application. — Ancjle déportée maximum (cas de F(y) = BnV"). — L'équation du numéro précédent qui donne la portée X s'écrira en mettant a en évidence

SHl '2 a

•ic

' - — ^-K :Çn(a;-Ç,(a)cotg^ a

Le maximum de portée correspond à la condition -r— = o^ ce qui en posant

conduit à l'équation suivante :

ï — '^9 (Çn(a) — Çn(a) cotg^^aj]

ôÇn(a) ô(Çn(a)cotg^a)

cos '2 a

p sm 2a

^in ^a 3^ [Çn(a) — Çn(a) cotg- a

L'angle de portée maximum cherclié est très voisin de -;-. Posons alors a :=: - — [- £ et proposons-nous dedéter-

nuner s.

On a d'abord cos i ( j- s = — '^s.

Dans la première parenthèse, le terme en p disparaît comme devant être multiplié par e et par suite devenant du second ordre.

Dans les deux autres termes où p ou -r— est facteur, on

ôa

pourra remplacer simplement a par -— .

Où ^

Gomme d'ailleurs — ^ = — no tg a, on aura l'cquation de condition suivante :

Or, on peut exprimer Çn('^)cn ibnction de Çn('f) et de Çn+2('^) (3i6), puis Çn+iC'^) en fonction de Çji(t) ( 1 59) . D'autre part

^ÇnW SsWlg-

cos

COS T

On a donc tous les éléments pour faire le calcul ci-dessus qui conduit à la formule,

7r\ îL±i"

Au moyen des tables de la fonction Çq, pour diverses valeurs de n, on peut dresser le tableau suivant qui donne la valeur de l'expression

Hhn 2 -^

cB,Vn

+o,fpo

Ainsi qu'on le voit, e s'annule pour une valeur de n comprise entre 3 et 4. Au-dessus de cette valeur de n, l'angle de

portée maximum est plus grand que 4 5°; au-dessous, au contraire, cet angle est plus petit que 45°.

Cette conclusion, établie pour le cas d'une résistance inlinimcnt petite, est valable même pour une résistance Iinie, à condition que la série dont on étudie le premier terme soit

convergente, c'est-à-dire que le rapport soit ])lus petit

(pie l'unité. ^

3î>.6. Point de vitesse minimum. — On a (:^i >) :

vcos'z = Uo— - Uo [Ç(a) — Ç(t)] = Y , + — V ^'^{-z) .

donc

dv . c dÇ('û)

COS T -1 V Slll T = — V .

Or (il',)

^ ^ \cost/ cost

Faisant -t-= o, et remarquant que t est très voisin de

() (à un terme en — près), on écrira

sin T,„ = — - F(u,)

qui fait connaître l'angle ^n^ de vitesse minimum.

Comme le développement de Ç '^) en série donne pour le premier terme

Ç(t) = 1 F(«o) ou sin T F(mo)

il viendra, pour la vitesse minimum i'^, l'expression

= Vs COS^T,,,,

i',jj ne diflère donc de Vg que d'une quantité infiniment petite du second ordre.

§ 3. — Second terme de la série

ixy. Intégration de Ihodographe. — Nous nous proposons, dans ce ])aragraphe, de poursuivre la solution

du problème jusqu'auv termes en —rr inclusivemenl.

En y conservant ce ternie, Téquation différentielle de rhodoo:raplie a été mise sous la forme (3i3)