CHAPITRE XIV
s^j I . — Formules dl puemier terme
3 14. Énoncé du problème. — Le cas du tir courbe à faible vitesse considère le développement des équations du mouvement suivant les puissances croissantes du coefficient balistique c. Il suppose que, sur toute
cF
rétendue de trajectoire considérée, le rapport de la
résistance de Tair à la gravité reste petit et iniérieur à l'unité.
On conçoit que le développement en série auquel conduisent les calculs comportera, comme terme principal, les formules mêmes du vide, puisque la gravité g subsisterait comme seule force agissante, quand cF(o) déjà supposé très petit, s'annulerait à la limite. Les termes suivants représenteront rinfluencc de la résistance de l'air et, dans la pratique, le nombre des termes à conserver variera avec la grandeur relative de cF et de ry et aussi «ivec la précision numérique que l'on désire atteindre.
Le tir courbe à faible vitesse est applicable au tir des mortiers, où les projectiles sont très lourds [c petit) et la vitesse faible (F(i') petit); on pourra alors traiter
LE Tia, COURBE A FAIBLE VITESSE 447
le problème, avec une loi de résistance quelconque, à condition d'avoir calculé au préalable les tables nécessaires.
Supposons donc que, sur la portion utile de la trajectoire considérée, soit, pour fixer des idées depuis Tangle de projection a jusqu'à l'angle de chute w, le
quotient soit une très petite quantité relativement
à 1 unité. D'ailleurs, dans cette trajectoire limitée que nous examinons, qui va de l'origine au point de chute,
il suffira, puisque Vç, > \^5 que le quotient — ^^— ^ soit
petit, car c'est la plus grande valeur qu'entre ces
. cF
limites puisse prendre le quotient .
3i5. Développement de l'hodographe. — Soit donc l'équation différentielle de l'hodographe
Si est une quantité très petite, tendant a la limite
vers zéro, l'intégrale de cette équation différentielle sera da = o OM u =11^^* C'est la propriété de la conservation de la vitesse horizontale, caractéristique du mouvement dans le vide. En portant cette intégrale dans les autres équations du mouvement, on obtiendrait évidemment les formules du vide. Elles constituent donc, dans le développement suivant les puissances ascendantes du coefficient balistique c, le terme indépendant de cet élément.
Cherchons maintenant le terme en c à la première
puissance et pour cela posons u = u^^ — [u^ ■ — «). Lliodographe peut s'écrire identiquement
ou bien
fia = — «F
COS T / COS T
da = — [ a„ — (il — a) 1 F
(J \ COS T
COST
Développons alors \di fonction F par la formule de Taylor; en négligeant les termes en (u^ — «)", il viendra :
du = — u. F
^COST/ COST
COST/ COST VcOST/
COST
Posons enfin
ff(j^) F i-^] + -^ F' (-^
VcOST/ XCOST/ COST \COS T/
On obtiendra l'équation différentielle de riiodograplie sous la forme
g XCOST/ COST g ^ ' \cost,
Tel est le développement de l'équation différentielle de l'hodographe suivant les puissances ascendantes de c.
du
COST
3x6. Terme en -— de Thodographe. — La fonction
F ( — ^1 ne dépend, puisque u^ est une constante, que de la variable t. Il en sera de même de la fonction F ( — ^1 rfT. Posons donc, comme définition d'une cer-
^ COS T
taine intégrale
Ç(t) sera une fonction de la variable t et de la constante Uq. L'intégration du premier terme de l'hodographc se fera alors sous la forme
On peut encore écrire :
317. Eléments d'un point quelconque. — Portons la valeur de u,
a = u, — -^u, [Ç(a) — Ç(t)] ou celle qui en résulte pour u^ :
u^ = u?-2-^aS[Ç(a)-i(-:)] .
dans les trois autres équations du mouvement
, w d- , li^ d^ j u^ d'z
dt= :dx= :ay--= io^-z
g cosv g cost g cos"t
il =11.
/|5o LES TROIS SÉRIES BALISTIQUES
on obtiendra le système suivant :
'^olÇW-ÇW]
^ (tga-tgT) +A^[x(a)-x(T)-Ç(a)(tga-tgT}]
Un
COS-T
Quand on connaît la l'onction F(i^), on. peut calculer, par une méthode quelconque de quadrature, des tables de ces intégrales ; ces tables, si ¥{v) est cpielconque, seront à double entrée, Uy et t. Elles permettront de résoudre numériquement le problème de la recherche d'un élément quelconque d'un arc de trajectoire.
3i8. Calcul des fonctions Ç(t), j{x) et Ç(t). — Soit par exemple la fonction F(i;) représentéo par un polynôme ordonné suivant les puissances cfc v.
fga-fgT) +2^ [x(a)-x(T)— Ç(a)(tga — tgT)J |(tg^a-tg^T) 4-2^ '- [ç(a)-Ç(T)-iÇ(a) (tg^-tg^'^)'
Les premiers termes du second membre sont les éléments du vide. Dans ces formules, figurent trois fonctions de l'inclinaison t et de la constante a^, ayant les définitions suivantes :
Jq \cost/ cost
¥(v) = A^y" + An + ji^"^*... + Apt'P.
On aura alors
