CHAPITRE PREMIER

§ I. — Équations du mouvement dans le vide

i5. Équations différentielles du second ordre.

— Dans le vide, une seule force agit sur le projectile, le poids qui est appliqué au centre de gravité. Le problème balistique principal suppose cette force constante en grandeur et en direction (3) . Le centre de gravité ne sortira donc jamais du plan qui contient, à un instant quelconque, la direction de la pesanteur et celle de la vitesse acquise. La trajectoire est, par suite, une courbe plane contenue dans le plan vertical du premier élément de la trajectoire. Ce plan est le plan de projection.

Soit 0 la bouche de la pièce que nous prendrons comme origine de la trajectoire. Le mouvement du centre de gravité M du projectile sera rapporté à deux axes rectangulaires situés dans le plan de projection, Ox horizontal, Oy vertical.

l8 LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE

Soient/) le poids du projectile, (/ la gravité, t le temps compté à partir de l'origine O de la trajectoire.

Puisque la seule force appliquée au centre de gravité agit suivant la verticale, la projection de l'accélération suivant l'axe des x est nulle M^^ et suivant Taxe des y, elle est égale à — g. On a donc les deux équations du mouvement suivantes :

Fis- 4. dt'~'' 'dê~~^'

Ces équations sïntègrent facilement sous cette forme. Ainsi, une première intégration donne

On voit que les deux mouvements suivant les axes des X et des y sont indépendants l'un de l'autre : le premier, suivant l'axe des x est uniforme et de vitesse constamment égale à G. Le second, suivant l'axe des j, est uniformément retardé; ce mouvement est celui d'un projectile lancé verticalement avec une vitesse C.

On a d'ailleurs, en faisant t == o

G = Vo cos a G = Vq sin a.

Vq est la vitesse initiale.

Cf. est Vangle de projection.

i6. Les quatre équations différentielles du premier ordre. — Afin de rapprocher la forme des

expressions des éléments de la trajectoire dans le vide de celle que Ton adopte en général pour la solution du problème balistique dans Tair, on transformera les deux équations diflFérentielles du second ordre en quatre équations du premier ordre de la manière suivante :

Soient v la vitesse du projectile au point M et t /'mclinaison sur l'horizontale de la tangente à la trajectoire au même point.

On a les deux relations

dx dv

—j- = V cos 1 -f- = V sm T.

dt dt

Les deux équations diflFérentielles du second ordre deviennent alors

d{v cos t) div sin i)

dt dt ^

ou, en développant les numérateurs :

dv . d'z

cos 1 —j V sin T -7- == o

dt dt

dv d-z

sm T —, — h V cos T -7- = — q.

dt dt "^

Multipliant la première par sin t dt^ et la seconde par cos T dt et retranchant, il viendra :

COS T

Remplaçant alors dt par sa valeur en fonction de

ao LES CAS LIMITES DU PROBLÈME BALISTIQUE

V et T dans les expressions de dx et de dy et posant u = V cos T on obtiendra le système des quatre équations diflFérentielles suivantes qui sont celles qu'on se proposait d'établir :

du = o dx = 5—

g cos T

, u dx j u^ dx

«^ = — — Tzn: «J = — T- *? '^

COS'' T ^ g COS^ T

17. Intégration avec la variable t. — La première équation, cfu = o, donne u = const. Comme, à Torigine, on a «^ = V^ cos a, la constante est égale à Vq cos a, d'où ce théorème : La vitesse horizontale se conserve constante dans le vide et on a, en chaque point de la trajectoire^ u = V^, cos a.

Remplaçant alors, dans les trois autres équations différentielles u par u^ et intégrant, il viendra le système suivant qui résoud le problème du mouvement dans le vide, avec la variable t ;

u^ u = u^ a; = y (tg a — tg t)

18. Expression de l'arc s. — On remarquera, en outre, l'expression de l'arc s de la trajectoire, en fonction de l'inclinaison t.

On a : ds = sjdx^ + d'f =

g cos^ X

» - ■ -*— il-»

MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE îl

et cette équation s'intégrera par la formule :

en posant

Cette intégrale s'obtient facilement par une intégration par parties, développée ainsi qu'il suit :

^ ^ Jo COS^ T Jo COS

COS T COS'^ T