La trajectoire est une courbe plane. — En
effet, le plan vertical mené à un instant quelconque du mouvement par la tangente à la trajectoire contient .tous les éléments du mouvement, c'est-à-dire la vitesse^ là résistance de l'air supposée tangentielle et la pesanteur. Le projectile ne peut donc sortir de ce plan.
Comme des deux forces qui agissent sur le projectile, l'une, la résistance de l'air, ne peut avoir d'autre effet que de le retarder suivant la tangente et l'autre la gravité que de l'abaisser suivant une verticale, la trajectoire tournera sa concavité vers le bas, c'est-à-dire vers les y négatifs.
ii3. L'inclinaison de la tangente va toujours en diminuant quand l'abscisse croit. — En effet,
on a (102) dx = c?t, ce qui montre que dx et
d-: sont toujours de signes contraires.
Supposons qu'à l'origine du mouvement, t ait une valeur positive a ; a est V angle de projection. Dans le sens des x croissant, t commence à diminuer jusqu'à atteindre la valeur zéro.
Au point 7=0, correspond le sommet S de la trajection atmosphérique qui, dans l'hypothèse de a positif, comprend ainsi une branche ascendante et une branche descendante .
A partir du sommet, t change de signe, devient par conséquent négatif et augmente en valeur absolue. Mais
cet angle ne peut jamais dépasser la valeur f ^
170 PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES
car pour t =? — • — , la vitesse serait dirigée suivant la
verticale et tous les éléments du mouvement, vitesse, résistance et gravité seraient en ligne droite, de sorte que le projectile ayant atteint cette verticale ne pourrait plus la quitter.
114 La vitesse horizontale diminue quand r abscisse croit. — En éliminant d'z entre les équations (i) et (3) du n** 102 il vient
d(v cos t) = dx.
Le second membre est toujours négatif si dx est positif ; d(v cos t) étant ainsi négatif, la vitesse horizontale u ==v cosT diminue quand l'abscisse croît.
II 5. Comparaison des deux branches de la trajectoire. — Soit une trajectoire d'origine 0 et
. de sommet S. Considérons
^^^-^-T'-^v^^ deux points A, et A^ situés
4f/^ \ /^^ sur une même horizontale />--*/ - ^ -*i -n (mêmes y) .
* Soient v^ la vitesse du pro-
Fig. 52. jectile en A^, v.^ la vitesse du
projectile en A^; Soient t^ Tinclinalson de la tangente en A^, t^ l'inclinaison de la tangente en A^ ; Xj la distance horizontale de A^ à S, a?^ la distance horizontale de A^ à S ; s^ l'arc de trajectoire A^S, s., l'arc de trajectoire A^S.
On a les théorèmes suivants :
I** sur les vitesses v^ > v^
a° sur les inclinaisons 3** sur les abscisses 4° sur les arcs
Cette propriété résulte immédiatement de Tapplication du théorème des forces vives; pour deux points situés à la même hauteur au-dessus du sol, le travail de la pesanteur est nul, et celui de la résistance de Tair est négatif. Ainsi on écrira :
ds étant Télément d'arc do trajectoire. Le second membre étant négatif, on aura i\>v^. c.q.f.d.
L'équation (4) du n^ 102 peut s'écrire :
dy I d'z
v^ cos'' w g ^ cos'' T
Intégrons sur la branche ascendante depuis y jusqu'au sommet où y = Y,. On aura :
/ N r^' dy i [^ di 1^2
(0 ; z 1 = ; tgT — — = — tg^T,.
Intégrons sur la branche descendante depuis Y,, sommet, jusqu'au point d'ordonnée y. On aura
Jys "0 cos" T 9 *^o ^^^ '^ ^9
En changeant les signes de cette dernière intégrale dans les deux membres, on écrira
r^' dy j^
^ ^ ' f^COsH 2Q ^ '^
Mais, d'après le théorème du n^ 114, la vitesse horizontale V cos T^ est plus petite en tout point de la branche descendante qu'en un autre point quelconque de la
branche ascendante. Donc, chaque élément — ; — '^, — de , xr cos'^ T
l'intégrale (2) est plus grand que le même élément de l'intégrale ( i) et comme les limites y, Y, sont les mêmes, l'intégrale (2) est plus grande que l'intégrale (i). Donc
Comme on a rfjc = — — , on écrira, pour la branche
tgT
ascendante :
dy
et pour la branche descendante
'^'« dy
Mais puisque t^ > Tj et que les limites sont les mêmes, on aura chaque élément de la seconde plus grand que l'élément correspondant de la première : donc x.y<x^^.
On a ds = . ^ .
smT
THECNIEMES GE^OEAACT DE LA BAUSTIQUE EXTCMEURE 173
Le raisonnenient est le même que dans le cas précédent*.
1 16. Origine et point de chute. — Les théorèmes précédents appliqués à Vorigine et au point de chute s'énoncent ainsi :
I* La vitesse restante V. est plus petite que la vitesse initiale V, ;
2? L^angle de chute co est plus grand que Fangle de projection a;
3* L'abscisse X, du point culminant de la trajectoire est plus grand que la moitié de la portée X.
4* L'arc qui va de l'origine au point culminant est plus grand que la moitié de Tare total de l'origine au point de chute.
I 3. — Branche ascendante
117. Point û. — L'origine (a, V^) de la trajectoin? définie par la bouche du canon n'est qu'un point quelconque, analytiquement parlant, et sans propriétés spéciales de cette courbe. On peut donc, en donnant à x des valeurs négatives, suivre le projectile en amont de l'origine et chercher les propriétés de la trajectoire dans cette région, analytiquement définie par la même équation. ç>
L'équation dx = rfx (102) montre que si dx
est négatif, d-z sera toujours positif; l'inclinaison aug-
* On ne peut établii: un théorème analogue sur les temps t^ et (^, parce que dt = — : — — et que pour le même ^, v et sin z varient en sens contraire sur les deux branches.
mente donc en amont de l'origine. D'autre part Téqua-
tion de 1 hodographe -7*- = montre que du est
positif en même temps que gt. La vitesse horizontale u = V cos T croît donc et comme cos t décroît, on voit que V croîtra.
Il a été démontré (104) qu'avant d'arriver a la limite
— de l'angle t, la vitesse v devenait infinie. Le point Ù
de la trajectoire qui correspond à une vitesse infinie est l'extrémité de la branche ascendante et la véritable origine de la trajectoire : ce sont les propriétés de la courbe au point û que nous nous proposons maintenant d'étudier.
Rappelons que, par hypothèse, F ( 00) == 00 .
118. Tangente au point û. — Nous avons déterminé (104) la limite 0 de l'inclinaison t sur l'hodograplie. Cet angle 0 est aussi l'inclinaison de la tangente au point Q de la branche ascendante.
Nous avons vu que la démonstration était basée sur
/'^'* odv l'hypothèse qu'une certaine intégrale I ^ prise entre
une limite finie et 00 , ne devenait jamais infinie : d'ailleurs cette hypothèse est réalisée lorsque, pour les très grandes vitesses, l'exposant n' qui caractérise la fonction F (y) dans ces régions est plus grand que zéro. D'une façon générale, on désigne par j[v) l'intégrale
'" gdv . V ^^
On a donc :
^ ° gdn
et dans le cas actuel j(oo ) est fini. Dans ces conditions^ on énoncera le théorème suivant :
La tangente extrême de la branche ascendante au point (^ co ^Q) est oblique; elle fait avec l'horizontale un angle S.
119. Éléments du point Û. — La forme développée de Thodographe (io4).
q dv dz f , ff .' ^ ^ -=r = I + -^ smT
C Vb COST \ et J
montre que pour des valeurs très grandes de u, dans le
voisinage par suite du point û, le facteur -^ sin t
devient très petit et par suite négligeable devant Tunité.
L'hodographe tendra donc à se réduire à la forme
simple
g dv d'z
c vY COST
Portons cette expression dans les équations du n° 102 :
g COST g g "^
' Il vient :
, i dv j I ycosT , - I i^siuT ,
dt= rpr! ax= ï= — dv: ay= ,^— air.
c F c F ' -^ cl
i ^ Temps. — Du point (VQ,a) où Vy est déjà assez grand pour que l'hodographe simplifié puisse être employé, au point û, on aura :
I Z*^ » dv
On a déjà rencontré la même fonction intégrale qui a été désignée par la notation S(v) ou S par abréviation (48) .
Donc t = iL^îhzSW
Suivant que la fonction S sera finie ou infinie pour v= 00, fe temps mis par le projectile pour aller du point ù à un point quelconque de la trajectoire sera fini ou infini. '
2** Abscisse. — Intégrant entre les mêmes limites, en remarquant que cos t peut sortir du signe / en le remplaçant par une constante voisine de cos0, on aura
vdv
cos(e-s)j -p-.
Il s^ntroduit ici la fonction D(î;) ou D du n** 48 définie par Téquation :
, , r"" vdv
Donc ^^P(°°)-D(V.)eos(e-s).
Suivant que la fonction D sera finie ou infinie pour u = 00 , r abscisse x du point û sera finie ou infinie,
3"* Ordonnée. — On écrit immédiatement
D(oo ) — D(Vo) . ,^ ^
y = — ^^ — ^- ^^— Si. sm (0 — e).
« ** % V te V ^W V »<
V ordonnée est finie ou infinie dans les mêmes conditions que r abscisse,
4** Asymptote de la branche ascendante.
le point û est rejeté à l'infini dans la direction 0, la question se pose de savoir si la trajectoire admet une asymptote ou si elle tend seulement à prendre la direction 0 à la manière d'une parabole qui pour Y oo p- ^tj devient parallèle à son axe.
L'hodographe , au voisinage du point û, prend la
forme (io4) ^
g dv dx
C v¥ COST
qui peut aussi bien s'écrire
(/t g i dv
cos^T c cosT rF Intégrant de a à t et de V^, à f, on aura :
ou tgT = A — kJ(v).
(ly
Comme ->— = tg t, on aura en intégrant une deuxième
I vdv
fois et remplaçant dx par cos (0. — s) ^ ,
y=zhx-\ cos(0 — £) / J^l^j— rr-.
Posons comme définition d'une nouvelle fonction
iv vdv
A{v) = - J(tO^,
on aura
r=A^+-^[A(VJ-A(«)]
C'est Téquation d'une droite qui, à la limite, est tangente à la trajectoire au point Q et qui coupe Taxe des y au point :
Suivant que la fonction A sera finie ou infinie pour V = 00, r asymptote au point û sera à distance finie [branche hyperbolique) ou à distance infinie [branche parabolique) .
1 20. Résumé. — Ainsi, les propriétés de la trajectoire au point û, extrémité amont de la branche ascendante où la vitesse devient infinie, dépendent des valeurs finies ou infinies de certaines intégrales dites fonctions balistiques de Siacci^ prises entre une vitesse finie et une vitesse infinie.
Leur définition est la suivante (V est une vitesse arbitraire) :
/ V r Qdv , . r"" vdv
j( 00) est fini par hypothèse d'après la loi de résistance de Fair admise (n > o).
La tangente au point Û est toujours oblique.
Si 1^(00 ) est fini, le point Û est à distance finie. . • infini, — — infinie.
Si S (00 ) est fini, le temps mis pour venir de ù est fini. — miim — — mtini.
Si A(oo ) est fini, Tasymptote au point Û esta distance finie (branche hyperbolique).
Si A(oo ) est infini, Tasymptote au point ù est à distance infinie (branche parabolique).
