I -\ sm T

dx COS T

le point (Dn,Tn) sera défini par la relation :

cF(f„) .

^ ^ - cin (^ — —

sinr.

Exercice. — Démontrer qu'un tel point ne peut exister sur la branche i2, mais existe toujours sur la branche ^'.

Deuxième forme . — Onan< i sur toute la trajectoire. — On établira par le même raisonnement les propriétés de l'hodographe dans le cas de n < i qui sont inverses de celles du cas précédent.

a) La concavité au sommet est tournée vers l'origine.

b) Pas d'asymptote, mais une direction parabolique 0.

c) Tangente verticale au point

Forme II

Fig. 46.

d) Inflexion en ce point.

e) Pas de point de vitesse minimum ni de point de vitesse verticale minimum sur la branche iï.

f) Le projectile sur la branche £l! arrive à la vitesse u' par des vitesses qui vont sans cesse en diminuant.

La forme de l'hodographe qui correspond à l'hypothèse /i < I est représentée ci-dessus. (Forme II.)

Forme composite. — n passe par la valeur i. — Si

l64 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES

du point O comme centre, on décrit des cercles ayant comme rayons les valeurs des vitesses critiques pour lesquelles la fonction F (y) admet comme exposant représentatif la valeur i, Tintersection de ces courbes avec les différents hodographes de tous les projectiles pos^ sibles sera un point d'inflexion de ces hodographes.

Fig. 47.

Fig. 48.

Les deux figures ci-dessus représentent le cas, la première (i) de une variation de courbure, la deuxième (2) de deux variations dues au passage de F(r;) par l'exposant I.

III. Ensemble des hodographes d'un projectile. — Etant fixée une fois pour toutes la fonction F(v) de la résistance de l'air, commune à tous les projectiles, un projectile particulier sera complètement^ déterminé au point de vue balistique : 1® par la connaissance de la vitesse terminale v', telle que — ^—^ = i ,

c'est-à-dire par la connaissance de son coefficient balistique ; 2° par l'angle S correspondant à la vitesse t; = oo

THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l65

et qui est déterminable à l'aide des 3 données initiales (c, a, Vq) du tir (io4).

La courbe des points d'inflexion et de la vitesse mini-

mum h sin T = o

est commune à tous les angles 0, c'est-a-dire à tous les projectiles de même coefiicient balistique.

Les angles 0 variant, donnent naissance à une infinité d'hodographes, qui pour 0 > o, ^

correspondront à la branche li des yV^i^tif

courbes du n° 1 1 o et pour 0 < o .-■" /

correspondront à la branche û' des mêmes courbes.

C'est cet ensemble qu'indique la figure ci-contre où on a supposé " j... . , que sur tout le cours de la fonction F(u), l'exposant n é,tait supérieur à l'unité.

Le tracé de tous ces hodographes sera d'ailleurs facilité par le théorème suivant.

1 1 1 his. Théorème du G Jacob sur les trajectoires orthogonales de l'hodographe. — On

peut obtenir l équation finie des trajectoires orthogonales de rhodographe^ quelle que soit la fonction F (y) de la résistance, — Au point (1^,7) de l'hodographe, la tangente à cette courbe a pour expression (io3)

a cos T

tgl = -û-^^ • — •

cr -i- g sinr

La trajectoire orthogonale au point (i^,t) a une tangente F telle que tg I tg F = — i .

l66 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES

cF -\- g sin t

Donc

tg I' = -

g cos

Mais on a toujours dans une courbe polaire

^ dv

et par suite dans le cas actuel

vd-: c¥ "{- g sin t

dv

g cos

On en déduit :

dv 4- sin T c?y + V cos t c/t = o

ou encore :

dv -+- d[v sin t) = o

et cette équation s'intégrera sous la forme :

V sin T H / Fc?i' -|- K = G

g Jv

avec deux constantes V et K réductibles à une seule. Soit V la constante qui correspond 3 7 =

dans l'intégrale ; on aura K = V et par suite la formule devient :

Fig. 5o.

î; sin T H / Ydv + V = o.

gjy

Cette formule, en faisant varier le paramètre V, donne une série de courbes Vj, ^ 2, Vg. . . qui sont les trajectoires

Vf 'A I

orthogonales de tous. les hodographes d*un même projectile^ c = constante.

Exercices. — i^ Discuter la forme de ces trajectoires orthogonales.

'1^ Lieu des points de ces trajectoires où les tangentes sont verticales :

sin T -[- I = o.

30 Cas de F(u) = B^v^.

I 11 ter. Théorèmes du C^ Henry. — Les intégrales du mouvement et leur dépendance avec Thodograplic Seuvent s'interpréter géométriquement e la manière suivante.

Soient :

V dx

dl =

COST

dx = dz

dy = -' — tg'^dx

,. li; y^

Fig. 5i.

les équations du mouvement et soit tracé l'hodographe H dans le plan y,o%.

i^ Soient deux points de l'hodographe infiniment voisins

m et m'. L'aire élémentaire omm' est égale à — v-d-: ; gdx est donc le double de cette aire élémentaire. ^

'1^ Soit oz une normale au plan xo; de l'hodographe ; en chaque point m de cette courbe, menons une droite mM parallèle à oz et égale à tg t ; comme oHj = do? tg x, on aura gdy = aMm aire omm! . Si on mène alors MA parallèle à om^ cette droite aura pour équation z = tg t et ^ = x tg t ; elle

engendre donc le paraboloïde z = — et on peut dire :

l68 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES

gdy est le double du volume élémentaire compris dans le cylindre droit qui a pour base Vhodographe, entre cet hodo-

graphe et le paraboloîde z = — >

i^ Projetons en Afjiet A'fx' sur le plan zx les 'i génératrices

consécutives AM et A'M' du paraboloîde. Gomme A|jl = x

d'z et AA' = dz = dtsz = 3 — , Taire AA'ulu.' sera

. dz vd-z

■mz = V cos T : — =

cos- T cos X

Donc gdt est la projection sur le plan zy. de Vaire paraboï" dale qui limite le volume élémentaire précédemment défini.

En passant aux équations finies, on aura les 3 théorèmes suivants :

I** L'aire balayée par le rayon vecteur de Ikodographe entre

deux positions quelconques de ce rayon est égale à-^ gx.

'1^ Le cylindre droit qui a pour base Vaire balayée et est limité d'un côté par cette aire et de Vautre par le paraboloîde

z =^ — a un volume égal à — gy (ce volume doit être compté

positivement pour des valeurs de x positives, négativement pour des valeurs de x négatives).

3° La fraction du paraboloîde qui limite le volume précédent se projette sur le plan de xz suivant une aire trapézoïdale égale àgt.

On peut remarquer que le paraboloîde 2: = — est la sur-

face décrite par une droite parallèle au plan des x$ s'appuyant sur fa normale oz à ce plan et sur la diagonale d'une face opposée d'un cube construit sur xo$.

Les théorèmes précédents montrent comment la connaissance de rhodographe permettrait par des quadratures graphiques de déterminer les autres éléments du mouvement : c'est l'interprétation géométrique des équations du n^ 90.

I 2. — Forme générale de la trajectoire