Branche descendante

122. Variations de la vitesse. — En fonction de dt^ on a (87) :

dv fcF

et cette équation donne les mêmes zéros que la dérivée

dv

-j- dont Tétude a fait Tobjet du | idu présent cha-

pitre.

Donc, à partir du sommet (t = 0 et v = V^), la vitesse v décroît ; elle passe par un minimum pour un

point (t;,„,T;„j tel que : — ^^ — - -\- sin t„, = o,

La vitesse croît ensuite pour atteindre la valeur v'

de la vitesse terminale, lorsque t = .

On a vu le cas d'exception (io5) qui correspond à rhypothèse cF(o) ^ g.

123. Théorème. — Le temps nécessaire au projectile pour atteindre la vitesse terminale v' est^ en général^ infini.

On a, eh efifet (102) :

, V dz

g cosT '

et le temps t jusqu'à la vitesse v^ sera donné, à partir de la vitesse minimum (f„i,T^), par la formule :

gt= — f V

COS T », ^t, ». *•

THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l8l

Or V est toujours différent de zéro et de rinfini dans les limites de Tintégration ; on a donc :

gt > t)'jf

Mais on a / — — = cx) , car Tintéffrale en est

J, COST

Log tg(-T- -|- ~j . Le théorème est donc démontré.

La démonstration tombe en défaut si & peut tendre vers zéro.

a) Si ^ ■ > I , le temps employé pour éteindre la

vitesse, à partir d une vitesse initiale Vj, sera

\- sm T

et comme le dénominateur ne devient jamais nul, le temps sera fini. Le projectile s'arrêtera et restera immobile dans la même position.

b) Si — ^^ = I , la vitesse tend également vers zéro.

Soit m un exposant capable de rendre finie la fraction

cV(v) \ I

— ^— ïj -^Poury =o.

Si l'on donne à l'intégrale la forme :

dv gt =