Disposition des tables d'Otto primitives

— Telle était, à l'exception de la dernière colonne, la disposition donnée par Otto aux tables qu'il a publiées (1840).

Mais une difliculté se présentait dans l'application : à l'époque où le G'^^ Otto calculait ses tables balistiques, on ne savait pas déterminer couramment la vitesse initiale des projectiles. Cette vitesse, qui maintenant sert de point de départ aux calculs balistiques et est un élément que Ton connaît avec une approximation comparable à celle de la portée, ne pouvait donc être employée dans les calculs a priori^ et devait être considérée comme une inconnue du problème. Il était par suite impossible de calculer, par exemple, la valeur de O (qui dépend de V^ et de 6^), c'est-à-dire de reconnaître à quelle trajectoire on avait affaire, car 6^ était aussi inconnu a priori.

Il fallait, par suite, deux données expérimentales pour calculer les valeurs de 6^ et de 0 d'une trajectoire déterminée. La seconde donnée expérimentale à adjoindre à la portée X est la durée du trajet T et Otto a

ajouté à ses tables une colonne supplémentaire don-

nant le rapport — ^^ — 7===^ = , qui est inde-

TV^M T\/5f ♦

pendant de 6^ .

Par une seule expérience faisant connaître X et T, c'est-à-dire le rapport précédent, on pouvait donc déterminer 6.^ par la deuxième colonne 2è^X et 0 par la première. V^ se déterminait alors par l'équation de TIiot dographe.

178. Modifications de Siacci. — A l'heure actuelle Vq ^^ ^2 ^^^^ connus expérimentalement avec précision et sont devenus les véritables données. pour l'établissement des tables de tir. Mais le calcul de 0 par l'équation de Thodographe

^^ ' ^^ ^ 26.,VJcos^a

exige l'emploi de tables auxiliaires de la fonction Ç2('^)' Pour éviter cette sujétion, on change Targument des tables d'Otto, en remarquant que pour une table déterminée, d'en-tête a, la valeur de %.i{^^ ne dépend que

du paramètre ^ ^ . C'est ce paramètre qui remplacera 6. D'autre part, on peut changer l'ordre des colonnes et prendre pour première aè^X, qui variera alors en progression arithmétique.

Enfin, on peut généraliser l'emploi des rapports des quantités entre elles, de manière à éliminer 6^ de toutes les colonnes moins deux.

Siacci, qui a adopté ces modifications et dont les

LA THÉORIE D^EULER

tables^ sont très employées, les met donc sous la forme

La colonne — 4- joue le même rôle que celle — \=r ^9^\ ^ V/X

d'Otto. Elle permet, d'après T observation de la portée seule, de déterminer le coefficient 6^, connaissant, par hypothèse, la vitesse initiale V^^.

1 79. Sur le calcul des éléments x, y, t de Tare s.

— On a vu que, pour déduire les éléments x, j, t de l'extrémité T de Tare s, dont la longueur est connue exactement (172), Euler et Otto employaient une méthode d'approximation très simple posant

s cos

— — -; j = ssm — -— ;

Vo + V

Mais le degré d'exactitude d'un tel procédé est inconnu et variable avec les conditions de la trajectoire étudiée ; pour l'employer avec sûreté, on est donc obligé de réduire à l'extrême l'amplitude (t^, — t) de l'arc considéré. Aussi les balisticicns ont-ils souvent proposé de substituer à ces formules simples quelques autres plus précises.

* Les tables publiées par Siacci pour une résistance quadratique sont, pour une partie, déduites des tables dOtto. Leur prolongement, pour les fortes valeurs de 262X, a été calculé par Siacci dans l'hypothèse du tir de plein fouet. Cette seconde partie ne présente donc pas le même caractère de généralité que la première, à l'emploi de laquelle il faut se borner pour l'établissement des tables de tir des mortiers.

RESISTAÎîCE MONOME

a) Leoe/K/re substitue à la trajectoire son cercle osculateur, c'est-à-dire une circonférence ayant mêmes tangentes aux extrémités t^, et t de Tare. Il établit alors facilement les formules

cos

To — T

y = 'is

qui, (tq — t) étant un petit arc, se réduisent à :

b) Didion, adopte pour évaluer les rapports — et — , les

valeurs que ces rapports auraient dans le vide, pour la parabole de la vitesse, osculatrice à l'arc. D'après les formules données au n° 1 8 pour la longueur de l'arc s de trajectoire dans le vide, et pour l'expression de x et de j, on trouve

tgTp — tgT

tg'^O + tgT

Dans le cas d'un arc (tj — x) petit ces formules, réduites à leurs deux premiers termes, coïncident avec celles de Legendre.

i8o. Formules exactes pour le calcul des éléments X, y, t de Tare s. — Les trois formules données ci-dessus, — Euler, Legendre et Didion — présentent toutes le même défaut, c'est de faire appel uniquement à des considérations géométriques, de sorte qu'elles restent les mêmes quelle que soit la trajectoire, et quelle que soit la résistance de l'air. Ainsi la formule de Didion pourra s'appliquer légitimement si la résistance de l'air est très petite, parce que la trajectoire atmosphérique sera très voisine de celle du vide ; mais son approximation cessera d'être légitime si la résis-

LA THEORIE D EULER

tance de l'air devient considérable, écartant beaucoup la trajectoire réelle de la parabole de la vitesse.

Les formules exactes s'établiront, dans l'hypotbèse où (t^ — t) est petit, par le développement en série de Mac- Laurin des éléments de la trajectoire relativement à l'arc s (139). L'emploi de ces séries sera tout à fait légitime et leur convergence rapide dans le cas actuel où (tq — t) est supposé un petit arc.

Dans le cas général d'une résistance cV quelconque on aura les dérivées successives suivantes :

ds '

COS z

dy ds ~

= sin T

^-7 -^ —5 sm T COS* ds^ u^

d-y q ds^ u'

i T , COS u

dH 20-

j4— —-^ cos«T ds^ u*

4 sin^ T + 2

sinz

2 sin X --1

On a en outre :

dt ds

COST

dH ds'

COS^T

rcF . ; 1

h Slll T

On aura ainsi les formules :

ar = s COS Tq +

^ sm To COS To

cFo

4 sin^ To H- 2 — sin xj — i

«■' 9 y = s sni Xo T75 cos^ Xq

4 sin Xj + 2

cFç

'-Vo^ 1.2 YJ

sin Xq +

cFo- 5^ .

266 résista:xce monôme

Si on fait cFy = o, on obtient les développements dans le vide de — , — et — . On écrira donc

__ tg -Tq — tg T g^ sin Tq cos Tq

S tg'^ Tq — tg - T __ S^ COS- Tq

s g / . cF

' +7 yi" (^sinTo+ —)+•■•

Les deux premières formules introduisent les fonctions de Didion, mais avec l'adjonction d'un terme correctif tenant compte de la valeur de la résistance de l'air.

14- — Tables de Basiiforth (résistance cubique) ET de Zabousri (résistance biquadratique)

1 8 1 . Tables de Bashforth (résistance cubique).

— Les ^tables de Bashforth qui supposent une résistance cubique F (y) = B^v^ sont établies, à peu de chose près, comme les tables que nous avons dénommées « tables de première espèce » (169-174)-

i^ Gomme paramètre de forme ^ Bashforth a choisi celui qui dépend du sommet de la trajectoire. On a ( 1 68) :

Basforth pose :

On a donc :

Yi = -5- Y ^' Ti ^^^ ^^ paramètre de forme de Bashforth.

LA THÉORIE D^EULER 267

Étant données les conditions initiales du tir, a, V^, 63, on obtiendra y^ c'est-à-dire on saura quelle table il y a lieu d'employer, en utilisant l'équation de l'hodographe qui, dans ce cas, s'écrira :

^ ^ 63 Yo cos' a

ou bien, en vertu de l'expression établie au n^ iSg pour la fonction \^^^ :

63 VJ cos'^a

+ 3 tga + tff' a.

2^ Comme paramètre de grandeur^ au lieu de la quantité b.^ analogue à b.y des tables d'Otto, Basbforth a choisi la vitesse au sommet V^ de la mani-ère suivante.

Dans le cas de /i = 3 , les en-têtes des tables de première espèce (160) peuvent s'écrire :

r^^ai

rKi

qui deviennent, en utilisant la relation — ^ = -^ :

rî 9-\r— ^' ^ ^

Mais comme, dans chaque table, y^ est un nombre constant, Basbforth a multiplié les nombres des colonnes correspondantes par les facteurs constants des numérateurs, de sorte que les en- te tes se trouvent réduits à :

gt .

268 RÉSISTA?ïCE MO:sÔmE

L'emploi de ces tables sera le même que celui des tables d'Otto, tel qu'il est indiqué au n® 1^7.

3° Le calcul numérique de ces tables n'offrait pas à Bashforth la même simplicité que le calcul des tables d'Otto, car, dans l'hypothèse d'une résistance cubique, aucune des équations du mouvement n'est intégrable, d'une manière simple tout au moins, comme celle qui donne l'arc s dans le cas de /i = 2 . Si le calcul de ces labiés devait être refait actuellement, on pourrait sans doute utiliser la solution de Greenhill par les fonctions elliptiques (Chap. vm) pour abréger les calculs numériques. Bashforth a fait les calculs directement en évaluant chacune des intégrales, sur un petit arc, par les méthodes ordinaires d'intégration approchée * .

182. Tables de Zabouski (résistance biquadratique) ^. — Ces tables sont analogues comme dispositions générales aux tables d'Otto modifiées par Siacci ; elles se rapportent au cas d'une résistance biquadratique

Elles sont déduites de « tables de première espèce » calculées par un procédé d'approximation spécial des intégrales du mouvement (211, exercices).

Posant : b, = -^,

M . Zabouski donne comme en-têtes des tables de première espèce :

* Voir Mémorial de rArtillerie de la Marine, t. II, 1874, p. 7.)7.

* Revue d'ArliUerie, t. XXXIV, 1889, p. 427.

LA THEORIE D EULER

ou par la multiplication des facteurs numériques constants :

3^. ir. li. JL

La table définitive porte alors les en-têtes suivantes correspondant à une valeur a de Tangle de projection.

La dernière colonne ■:—- renferme le rapport de la

'0 vitesse minimum v^ sur la branche descendante à la vitesse

initiale V^. Ce rapport sert à M. Zabouski pour l'application de ses tables à des calculs de trajectoires par arcs successifs.