CHAPITRE VI

UOÏATION DE LA TERRE

I I. — Généralités sur le problème

85. Historique sommaire. — La question .de « F influence de la rotation de la terre sur le mouvement des projectiles » a depuis longtemps attiré l'attention . des géomètres.

Dans un article consacré aux « Progrès de la Mécanique » et publié en 1864 dans la Revue des Deux Mondes^ M. J. Bertrand en a retracé les origines.

« Varignon, dit-il, paraît avoir signalé le premier, en 1 707, la contradiction géoniétrique des lois de Galilée sur la chute des corps avec rii\pollièse de la rotation de la terre et celle d'une pesanteur constante... Son ouvrage sur la pesanteur le montre fort mal préparé à traiter de telles questions. On voit, sur le frontispice, une petite \ignette fort élégante représentant deux personnages, un militaire et uu religieux, auprès d'un canon braqué vers le zénith : ils regardent en Tair connue pour suivre le boulet qui vient d'être lancé. Sur la gravure nuMue, ou lit ces mots : « Uetombera-t il ? » l-.e religieux est le célèbre père Mersenne ci son compagnon est M. Petit, intendant des fortiiications. Us ont répété plusieurs fois cette dangereuse expérience et connue ds n'ont pas été assez adroits pour faire retomber le boulet sur leur lète, ils crurent pouvoir en conclure qu'il était resté eu l'air où sans doute il demeurerait longtenq)s. A arignon ne

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conteste pas le fait, mais il s'en étonne : « Un boulet sus- « pendu au-dessus de nos têtes, en vérité, dit il, cela doit « surprendre ! » Les deux expérimentateurs, s'il est permis de les nommer ainsi, firent part à Descartes de leurs essais et du résultat obtenu ; on sait que Tin trépide philosophe ne demeurait jamais court : c'était un oracle toujours prêt qui répondait à tous et à tout. Il ne vit dans le fait supposé exact qu'une confirmation de ses subtiles rêveries sur la pesanteur.

« Quelque troublante que fut cette première opinion, il fallut attendre jusqu'à d'Alembcrt pour avoir une plus judicieuse analyse du phénomène.

« Gauss, Laplace et Poisson ont ensuite successivement apporté à cette étude l'appoint de leur magistrale compétence. »

86. Méthode suivie. — Aujourd'hui, le problème est devenu classique ; on en trouve la solution générale indiquée et, tout au moins, le cas particulier du mouvement vertical dans le vide exposé, dans la plupart des Traités de Mécanique Rationnelle, comme illustration de la théorie du mouvement relatif.

iNous avons dit, dans l'Introduction (3), les discussions récentes auxquelles celte théorie avait donné lieu.

Les problèmes du mouvement relatif, ramenés au mouvement absolu par l'introduction de forces fictives, sont toujours extrêmement délicats. « Dans le cas où par la nature des données, le mouvement absolu du point pourrait être complètement déterminé, il ne faudrait pas employer la force relative mais déterminer le mouvement absolu, et on serait alors ramené à une combinaison de mouvements connus, ce qui rentrerait dans les questions traitées ^.. ))

* Délai NAT. ï. I^ p. 470-

ROTATIO DE LA TEUUE l3l

C'est la voie directe suivie par le colonel, de Saint- Robert, qui préière une explication géométrique à une <c méthode où on perd de vue le phénomène mécanique ».

« En 18 '^7, Poisson s'est occupé de la question et en a étendu la solution au cas général où le projectile est kincé dans l'air avec une vitesse et suivant une direction quelconque. Mais l'analyse employée par ce savant géomètre est assez laborieuse et n'explique pas aux sens les effets divers produits par le mouvement diurne.

« Il m'a semblé qu'on pourrait, par de simples considérations géométriques, rendre compte des effets qui résultent de la rotation du globe sur le tir des projectiles et même calculer ces effets. Je ne fais en cela que suivre les idées émises par MM. Poinsot et Liouville relativement à l'explication d'un phénomène analogue : je veux dire le déplacement du plan des oscillations^ du pendule qui a lieu dans la belle expérience de Léon Foucault. ^ »

Nous suivrons, dans l'exposé qui va être foil de la question, la méthode générale indiquée par l'éminenl balisticien italien, procédant des cas les plus slm])lcs au cas le plus général et cherchant toujours l'explication mécanique des phénomènes.

Nous nous en séparerons seulement à la fin, au moment 011 il prétend ramener aux équations de Poisson les résultats qu'il a trouvés, et qui sont incompatibles avec elles. Il existe, en effet, dans la solution exacte, un terme que la théorie classique ne calcule pas et qui est du même ordre de grandeur que ceux qu'elle conserve .

Nous montrerons enfin, en reprenant le raisonne-

* De Saim-Rodert^ p. 3')8.

1 i'I LA TERRE

mont classique comment celui-ci doit être complété, pour être rendu absolument correct.

87. Hypothèses. — Soient a Xàvitesse ancjulaire àv\ mouvement diurne de la terre, R le rayon de la terre et <i la gravité.

La terre faisant un tour sur elle-même en 24 heures ou 86 164 secondes, la vitesse angulaire a a pour valeur :

ou encore a = i5",o4 ^^ degré par seconde sexagésimale de temps :

i^ La théorie amènera à considérer le produit a^, / étant un temps correspondant à la durée de parcours d'une trajectoire au-dessus du sol ; / sera de l'ordre de la minute sexagésimale ; si on prend une valeur très exagérée de t^ t = 1 20^ par exemple, le produit a/ a pour valeur 0,0087 ^^ ^^ produit a'f donne o,oooo56.

Aoiis conviendrons, dans les formules, de négliger a■^' devant f unité. Les termes en Sit conservés entreront dans les formules multipliés par une coordonnée x. y d'un point de la trajectoire ;

2^ D'autre part, la théorie introduira des termes de la forme Ra^/^, avec :

R = 6.37 1. 000'" ; log R = 6,8042.

Le produit Ra, à cause de la grandeur de R, est un nombre assez grand et égal à 4^4'" î ^'^'^^ ^^ vitesse linéaire de la tertre à l'équateur.

ROTATION DE LA TERRE l33

Le produit Raf est donc de grandeur tout à fait comparable à une coordonnée a? ou y de la trajectoire, puisqu'il représenterait le parcours uniforme d'un point lancé avec une vitesse horizontale 8e

Il en résulte que les termes de la forme Ra^/^ = (Rai) ai sont du même ordre de grandeur que les termes en a/ multipliés par une coordonnée de la trajectoire et conservés d'après la première hypothèse. // est donc nécessaire de conserver également dans les formules les termes de la forme Ra"/".

Disons, dès maintenant, que ces termes sont laissés de coté dans la théorie classique des effets de la rotation de la terre.

88. Attraction et gravité- — i° U attraction exercée par la terre, supposée sphérique, est le nombre G, qui varie suivant la distance du point attiré au centre de la terre conformément à la loi new^ Ionienne :

Cette formule s'applique à un point extérieur à la surface du globe.

S'il s'agissait de la cluilo d'un corps dans un puits, la gravité ne suit pUis la même loi ; elle est proportionnelle Cl la distance du centre attiré au centre de la terre suivant la formule

Ces deux formules, qui se raccordent au point y= o,

DAl-ISTigiE. II. 8

sont, pour y très petit, comme toujours en Balistique, réductibles aux deux formes :

(extérieur) Gy == G f i — (intérieur) G y = G ( i ^ J .

'2^ On suppose, dans la théorie actuelle, cpiivise seulement les effets de la rotation de Ja terre, que la trajectoire a été calculée dans le cas de la terre immobile et corrigée des variations de G avec l'altitude d'après les formules du § i (chap. v). Ces corrections sont d'ailleurs extrêmement petites.

On suppose également que la trajectoire du cas de la terre immobile a été corrigée de l'effet de la convergence des verticales ainsi qu'il a été exposé au § 2 (chap. v). Cette correction agit, comme on le sait, en sens inverse de la précédente.

3'^ La gravité (j en un point, est la composante de j^ V attraction terrestre G et de la force

centrifuge due à la rotation de la terre.

En un point 0, dont la latitude -^ est A, le rayon r du parallèle est 1\ cos A et la force centrifuge a pour expres- Fi,r. îo. sionRa'cosÀ.

Ses composantes, suivant le rajon terrestre et une perpendiculaire à ce rayon, sont :

Ra- cos^ \ et Ra- sin A cos k.

ROTATION DE LA TERRE 1^3

On aura donc, en désignant encore par G rattracllon terrestre :

(f = (G — Ra^ cos- \y + R^a'» sin^ A cos- 1

^,2 2Ra^cos-A R^a'cos"A

if"

,, . Ra- I . , n-a*

Mais : = environ ; donc le carre ■ , , , -

sera négligeable devant l'unité et on pourra écrire :

g = G — Ra- cos- À.

D'autre part, si on désigne j)ar Tangle que la direction de g fait avec celle de G, on aura :

. f. Ra'" sin ). cos X . G — Ra-cos'A

sin 1 = ; cos li

ce qui, au degré d'approximative admis! — — négligeable J ,

donne : ^

Ra-

sin = sin 2A, et cos Q = i .

Numériquement, avec les valeurs de R =6 37i()()()"\ et a = o,<)<)()()j2() on aura

^ = G — (),()'3*^8 cos- ). ; sin = 0,0017 > sin 'i\,

La direction de l'attraction et de la gravité coïncident donc au pôle cl à Féquatcur ; elles ont leur maximum de divergence à la latitude A == \^^.

■ 4" ^^^ '^^ formule g = G (i j^— cos" a j , on dé-

l36 LA TERRE

duit que la gravité g deviendrait nulle, si la vitesse do rotation a' était telle que :

a'^ = -:g j^r- ou (à Téquateur, X = o)

R cos^ A

On trouve ainsi a' = 0,00124.

et par suite — = 17 environ.

Ainsi, si la terre tournait 17 fois plus vite sur ellemême, la pesanteur serait nulle à l'équateur. Elle serait encore nulle si le rayon terrestre était 290 fois plus grand, avec la même vitesse angulaire a.

5° Mais la formule qui donne g en fonction de G et de X est encore incomplète, car il faut tenir compte, non seulement de la rotation de la terre, mais encore de l'aplatissement du sphéroïde terrestre, qui vient ajouter ses effets à ceux de la rotation. La formule adoptée (Annuaire du Bureau des Longitudes) est la suivante :

g = 9"\8o6 — 0,025 cos 2)..