I . Gii
21 î LE PIIOJECTILE
calcul mimériquc ot les applications on clomcnreraiojil impossibles mais même, que Tesprit n'en pourrait conce>oir ([uc très (Unicilement la représentation et la signification.
Vussi les hommes, lorscpi'ils utilisent soit pour l'art dv la guerre, soit pour leiu's jeux et cliverlisscments, les propriétés balistiques des corps solides, ont-ils soin de choisir tles lormes simples pour ceux-ci et de leur imprimer des mcnnements réglés de telle sorte que les trajectoires décrites soient régulières, obéissent à des lois relativement simples, et puissent être déterminées, pré>ues ou de>inées à l'avance.
(les conditions pratiques, très variables d'ailleurs avec ( hacpie cas particulier, apportent donc au problème général des simplifications dont le théoricien profitera quand, avec ses équations, il voudra pénétrer plus a\ant dans la connaissance du pbénomènc que ne fait rarlilleur qui règle son tir sui^anl les méthodes réglementaires ou le joueur de tennis (|ui, empiriquement, sait faire décrire dans Tair à sa balle une trajectoire déroutante pour son adversaire.
Si nous a\oiis actuellement pour objet principal de nos théories l'explication et le calcul des ell'ets d'une résistance (le l'air obli(pie sur les projectiles ohlomjs, animés d'un rapide mou\emenl de rotation autour de leur axe de figure, tels (jue ceux que lance Tartillerie actuelle, nous ne devrons pas nous borner à l'examen de ce seul cas particulier. Les anciens artilleurs avaient déjà obserNé avec leurs projectiles sphériqiies de notables déviations ; les théoriciens avaient entrepris d'en rechercher la cause, les praticiens de rendre ces dc>iations systématiquement régulières et favorables au tir, lorsque l'abandon de l'artillerie lisse porta l'attention exclusive des artilleurs vers un autre problème.
Cependant, bien d'autres systèmes de projectiles ont été proposés, expérimentés et même mis en service à diverses époc|ues et il n'est pas certain que les projectiles oblongs à rapide mouvement de rotation autour de leur axe soient loujours les seuls ([uc l'artillerie utilisera. En tout cas. l'oljserNalion de la nature nous offre une variété assez grande de mouvements balistiques simples et lorsque nous les rencontrerons, nous en donnerons l'explication ou le calcul.
LA ROTATIO?î DES SOLIDES 2 1 )
coiiiiiie illuslialion des chapitres consacres à rétude du problème balistique du solide invariable.
Mais avant de faire l'application des théories de la Mécanique Rationnelle aux faits balistiques, il est nécessaire de résumer en quelques pages les théories qui nous seront utiles ])0ur la solution des divers problèmes abordés par la suite.
1*20. Corps libre dans l'espace. — On sait que le problème de la détermination du mouvement dans l'espace d'un corps complètement libre, tel un projectile de l'artillerie, se décompose en deux autres, conformément aux deux théorèmes suivants :
1° Le centre de gravité d'un solide se meut comme si toute la masse du solide était concentrée en ce point et si toutes les forces extérieures jetaient^ à chaque instant, transportées parallèlement à elles-mêmes,
'1^ Un corps solide tourne autour de son centre de gravité comme si ce point était fixe .
S'il arrive que les causes déterminantes de chacun de ces deux mou>enients sont indépendantes entre elles, les deux problèmes sont distincts et peuvent être traités et résolus séparément. C'est ce qui a lieu pour les mou>ements de la Terre et de la l^une, d'abord de translation autour de l'astre principal (i^"^ problème), puis de rotation autour de leurs centres de gravité (îa® problème). Nous trou\erons en Halistique des cas analogues.
D'autres fois, il peut arri>er ([ue l'un des mou\enients ne soit pas sensiblement influencé par l'autre, mais que l'in- ^erse n'ait pas lieu; la séparation des deux problèmes sera moins complète : nous donnerons un exenq)le de ce cas dans l'étude du mou>ement des projectiles oblongs dans l'air.
i '2 1 . Des moments d'inertie. — Le moment d'inertie d'un solide relativement à une droite quelconque est la quantité Y^mr', somme, étendue' à tous les points du corps de la masse particulière de chacun multiplié par le carré /*de sa distance à la droite.
On pose sou>ent : MK^ = 'ï.mr-.
2l6 LE PROJECTILE
M étant la masse totale du coup ; K est dit alors le rayon de giration du corps.
hû moment d'inertie peut être représenté par une certaine longueur portée sur la droite à laquelle se rapporte le moment calculé.
On peut, en un point du corps, considérer tous les moments d'inertie pris par rapport à l'infinité dé droites menées par ce point : la surface déterminée par les extrémités de ces droites est du 4^ ordre et de iorme généralement hès compliquée. Mais, si, au lieu de prendre, à partir du point, des longueurs proportionnelles aux moments
d'inertie I.mr-, on les prend proportionnelles à ■ , la sur-
ylmr-
face, lieu des extrémités de ces vecteurs, devient très simple. Cette surface, qui est du second ordre, est un ellipsoïde dont le centre est au point considéré, dit origine des axes d'inertie. Elle met très simplement en évidence les rapports de grandeur qui existent entre les moments d'inertie du solide, relatifs aux diverses droites menées par le même point de l'espace. Ils sont d'autant plus petits que les axes représentatifs sont plus grands ; le moment minimum a lieu autour du grand axe de l'ellipsoïde.
L'ellipsoïde qui a, comme origine des axes d'inertie, le centre de gravité du solide est dit V ellipsoïde central des moments d'inertie. Les axes de cet ellipsoïde sont les axes principaux d inertie du corps.
Si on prend un diamètre quelconque de l'ellipsoïde d'inertie pour axe initial de rotation, la rotation sera iVistantanée autour de cet axe, puis à l'instant suivant, elle s'exécutera autour d'un autre, etc. Mais si l'axe initial de rotation est un des axes principaux, elle continuera indéfiniment autour de lui, pourvu que le corps ne soit soumis à aucune force extérieure ou que les forces extérieures passent par le centre de gravité.
Cette propriété remarquable des axes principaux leur a fait aussi donner le nom (Taxes permanents de rotation.
Dans la théorie qui va suivre, le moment d'inertie autour de Taxe de révolution du projectile sera désigné par la lettre G. Les deux autres moments a inertie principaux autour d'un axe équatorial sont désignés par les lettres B et A et on aB = A.
Le moment d'inertie G est plus petit que B et, pour des projectiles tels que ceux qu'emploie l'artillerie, le rapport -p varie de 5 à 10 environ.
ii'i. Équations du mouvement du corps autour de son centre de gravité. — Pour étudier le deuxième mouvement d'un corps libre ( 1 20), c'est à dire celui qui s'exécute autour de son centre de gravité, on prendra le centre de gravité du solide pour origine des coordonnées et on adoptera un système d'axes rectangulaires (G, x y z), fixes dans l'espace et servant de repères invariables au mouvement du solide;
On considérera, d'autre part, comme invariablement lié au corps solide, un autre système trirectangulaire (G^x'y'z') dont il suffira de connaître, à chaque instant, la position relativement au système fixe pour avoir la loi du mouvement du corps.
Le système mobile (G,xy'z') est choisi de manière à coïncider avec les trois axes d'inertie principaux du corps. Le corps est ainsi remplacé par
son ellipsoïde central; on peut, par suite, faire complètement abstraction de la forme quelconque et aussi tourmentée qu'on voudra du solide pour n'étudier que le mouvement de la surface régiilière que les propriétés de Tellipsoïde d'inertie permettent de lui substituer.
On sait que le mouvement élémentaire du solide autour du point G est une rotation instantanée o) autour d'un certain axe, actuellement en GI ; or, cette rotation peut être considérée comme se faisant soit dans le système fixe, soit dans le système mobile.
Fis. 6i
ai8 LE PROJECTILE
I** Equations différentielles d'Euler pour le mouvement relatif. — Soient A, B, G, les moments d'inertie principaux autour des axes Gx\ Gy\ Gz' eip, q, r, les rotations composantes de la rotation instantanée <i), autour des mêmes axes.
Soient, d'autre part, à l'instant /, L, M, N les couples composants des forces extérieures autour des mêmes axes Gx', Gy, Gz',
Les équations d'Euler sont les suivantes :
B-J = (C-A)ri,+M.
L'intégration de ces équations fera connaître les composantes p, q, r k un instant quelconque du mouvement dans le système (G, x' y' z').
La rotation instantanée w sera donc connue puisqu'on a
CJ-
D'autre part, si a, p, y sont les angles de la direction GI de la rotation instantanée avec Gx', Gy' et Gz', ces angles ont pour cosinus les valeurs suivantes :
cos a = — : cos S = — : cos y = — .
W ■ (xi ' 0)
1^ Equations différentielles du mouvement absolu. — Pour achever le problème, il faudra connaître la position des axes mobiles (G,x'y'z') relativement aux axes lixes (G,xyz).
Le repérage des premiers par rapport aux seconds peut se faire (entre autres manières) comme il suit :
Le plan mobile (y'Gx) coupe le plan fixe (yGx) suivant la droite GN, qui forme avec Gx l'angle ^ et avec G.x' l'angle 3>. Ce môme plan (y'Gz'} forme avec le plan fixe (yGx) un angle dièdre mesuré par l'angle 6 des deux normales Gz' et Gz à ces deux plans.
Le mouvement sera entièrement défini si on connaît, à chaque instant, les trois angles J^, cp et 6 en fonction du temps t.
Les trois directions Gz, GN et Gz' peuvent être considérées comme les axes de trois rotations composantes de la rotation instantanée du corps autour de GI, et ces trois rotations influent chacune sur une seule des variables «j', <f et 6 ; car, une variation de ^ suppose une rotation autour de Gz ; une variation de cp est produite par une rotation autour de Gz' et enfin une variation de ô est une rotation autour de l'arête GN du dièdre des deux plans xy et x'y'.
Par analogie avec les mouvements de rotation de la Terre et de la Lune, on appelle : i** rotation propre du solide celle qui s'efi*ectue autour de son axe principal d'inertie Gz' ; la
vitesse angulaire de ce mouvement sera --tt- ; 2° précession,
la rotation du solide qui s'eflectue autour de Taxe Gz : elle produit le déplacement de la ligne GN, dite ligne des nœuds ;
ddf
la vitesse angulaire de la procession est —rr ; 3° enfin la natation est la rotation qui fait varier l'angle zOz' des deux nor-
maies ; sa vitesse est -77-.
Ceci posé, et la solution du mouvement relatif ayant permis, comme on l'a vu, de déterminer les composantesp, q, r, de la rotation instantanée rapportée aux axes d'inertie principaux du solide, il s'agit d'avoir les relations qui existent entre les composantes/), q, r du mouvement relatif données
en fonction du temps et les composantes -y- ^ -y- ^ -jdu mouvement absolu. ^^ ^^ ^^
Ces relations sont fournies par trois équations difl'érentielles qui sont les suivantes :
p = --T- sin cp sm U -| — -7- cos cp,
^= ^coscpsmO-^smcp,
d'il ^ . do r=-^cos9+-^.
L'intégration fournira donc, en fonction du temps, Texprcssion des trois angles ^^ 9 et 0, dont la connaissance achèvera la solution du problème.
i'23. Image géométrique du mouvement du solide autour d'un point fixe. — La décomposition du mouvement du solide autour de son centre de gravité en deux autres, relatif et absolu, qui a conduit aux formules générales du problème, s'interprétera géométriquement comme il suit.
Considérons l'axe instantané GI de rotation du solide ; il change de position et dans le corps et dans l'espace tout à la fois. Donc, puisqu'il passe toujours par le pomt fixe G, il décrira dans l'espace une certaine surface conique dont le sommet est en G, et de même, dans le corps^ il décrira une seconde surface conique.
Or, puisque les génératrices de ces deux cônes deviennent successivement les axes instantanés de rotation, et que la rotation élémentaire se fait autour de la génératrice qui est actuellement en contact, il est bien clair que le cône lié au corps roule sans glisser sur le cône fixe dans l'espace.
« Tel est, je crois, le plus haut point de clarté où Ton puisse porter l'idée si complexe et si obscure du mouvement d'un coi*ps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. Il n'y a pas de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de Fig. 62. même sommet ; de sorte que si l'on
imagine tous les cônes possibles qu'on ferait ainsi rouler l'un sur 1 autre, on a l'image fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d'un point sur lequel il a liberté de pirouetter en tous sens^ »
Supposons que les deux courbes œ (fixe dans l'espace absolu) et 5 (monile dans l'espace, mais fixe dans le corps) qui
* De Brettes, p. 45.
servent de bases aux deux cônes soient tracées sur une surface sphérique de centre G, et de rayon égal à Funité ; elles rouleront Tune sur l'autre sans glisser.
Soit 0) la vitesse angulaire de rotation autour de Taxe instantané GI.
Cette rotation va amener le côté ds = lA de la courbe s en coïncidence avec le côté di = 1 A' de la courbe i. L'angle Al A '
Courbe df
Courbes y'-^
Courbe
Fig. 63,
Courbe (T
ôst égal à la différence ou à la somme des angles de contingence gg et £^ des deux courbes s et ^ suivant qu'elles ont leurs convexités tournées dans le même sens ou non. Donc, la vitesse angulaire w est exprimée par la formule
ai
Mais, si p^ est le rayon de courbure de la courbe s, on a par définition :
as = ps £s
et, de même, pour le rayon de courbure de la courbe ^ : Donc
cfor = o„ £-.
I da
di
I ds
Ps
dt
Si on désigne alors par 2» Ifi vitesse linéaire avec laquelle l'axe instantané trace à la fois les deux courbes s et rs, on aura
d<3 ds
It "^ ~dt^^'
comme condition du roulement.
Donc
Telles sont les propriétés géométriques les plus générales du mouvement d'un solide autour d'un point fixe.
ii\. La théorie de Poinsot. — La théorie de Poinsot n'est pas seulement, comme la précédente, une simple image cinématique du mouvement ; elle permet de donner la signification géométrique des équations différentielles du mouvement autour du point fixe, rappelées au n° iii.
1° Couple acquis. — Un couple se représente par un axe perpendiculaire à son plan d'action, proportionnel à son moment et mené dans un sens qui correspond au mouvement du plan d'action de gauche à droite pour un observateur debout sur le plan du couple.
Dans le mouvement d'un point matériel, la -xiuantité de mouvement mv resterait constante, s'il n'intervenait pas de forces extérieures. De môme, dans le mouvement d'un solide autour d'un point fixe, le couple résultant des quanti^ tés de mouvement ou couple acquis sera représenté par un axe dont la grandeur et la direction resteront invariables dans l'espace, si le corps est abandonné à lui-même.
La valeur k du couple acquis a pour expression, dans le mouvement autour d'un point
/f2 = xy 4- BV/« -h C'rK
La force vive du corps, représentée par h, est donnée par la formule
h = kp'^ + B72 -f Cr\
2® Supposons alors que des forces extérieures viennent à agir .sur le corps. Elles donneront naissance, au point fixe, à un couple accélérateur qui interviendra à chaque instant pour modifier la grandeur et la direction du couple acquis de la même manière qu'une accélération modifie la grandeur et la direction d'une quantité de mouvement acquise.
Si G-/^ et G;^i sont les axes du couple acquis à deux instants consécutifs du mouvement, le vecteur y/i représentera en grandeur et direction l'axe du couple accélérateur multiplié par dt.
Le lieu du point j^ est une certaine courbe analogue à certains égards à Thodographe du mouvement principal^ et qui joue ^,^^^
dans la solution du problème actuel ^ ^^^-^^"""^ / ^ un rôle analogue. Nous Tappelle- ' ^
rons hodographe des couples. Fig. 64.
Le couple accélérateur est ainsi égal à la vitesse de Vextrémité / du vecteur qui représente le couple acquis.
Entre le couple accélérateur et le couple acquis, il y a une différence de même espèce qu'entre l'accélération et la vitesse dans l'hodographe du mouvement principal.
3° Grandeur et direction du couple acquis. — Supposons qu'au moment actuel, les couples accélérateurs L, M, N, qui figurent dans les formules d'Èuler (121) deviennent subitement nuls. Le solide continuera son mouvement, sans être sollicité par aucune force extérieure sous l'action de son couple acquis qui restera constant.
Le solide tournera, à chaque instant, autour d'un certain
axe instantané de rotation avec une vitesse angulaire w et on a les théorèmes suivants :
L Le plan d'action du couple acquis est le plan conjugué de l'axe instantané de rotation par rapport à l'ellipsoïde . d'inertie qui a son centre au point fixe.
IL L'axe du couple acquis a la direc- ' Fig. 65. tion de la perpendiculaire Gy abaissée du
centre sur un plan tangent à l'ellipsoïde mené parallèlement au plan du couple.
IIL Ce plan est tangent à l'ellipsoïde au point I où l'axe instantané perce la surface.
* Ce., 6, p. 127.
IV. La distance du plan tangent au centre de l'ellipsoïde est constante et égale à
^ ~" v/Ay + B'g^ + G*r^
V. La vitesse angulaire de rotation est proportionnelle à la longueur du rayon de rellipsoïde autour duquel a lieu la rotation.
Le mouvement ultérieur dit àe Poinsot sera donc une rotation sans glissement de Tellipsoïde central sur un plan fixe perpendiculaire à Taxe du couple acquis.
Dans ce mouvement, deux courbes roulantes, Tune tracée sur rellipsoïde (courbe s dite polhodie), l'autre sur le plan tangent (courbe a dite herpolhodie) roulent Tune sur l'autre sans glisser. Ce sont les bases des deux cônes du numéro précédent, mais qui sont déterminées complètement dans le cas où nous nous sommes placés avec Poinsot, d'un couple accélérateur constamment nul.
