Généralisation du mouvement de Poinsot

— Supposons maintenant qu'un couple accélérateur L, M, N, agisse sur le solide. A l'instant actuel, pendant le temps dt^

le mouvement de Poinsot est déterminé par le roulement de l'ellipsoïde d'inertie sur un certain plan tangent à la direction du couple acquis.

Mais, si on connaît, à chaque instant, les composantes L,M,N, on connaîtra l'hodographe du couple acquis qui sera une courbe telle que HH', pour laquelle on a choisi le pôle (arbitraire) au point G, centre de gravité du solide.

G/ étant en grandeur et en direction Taxe du couple acquis à l'instant t, l'ellipsoïde roule sur le plan tangent Q perpendiculaire à G/, autour de l'axe instantané GI, et avec une vitesse instantanée de rotation également connue.

Pendant le temps dt, l'ellipsoïde aura roulé d'un certain

angle (tidt en suivant l'herpclhodie. Mais, pendant le même temps dt, l'axe du couple acquis est venu en Gj^j. Par suite,

Ï rendant que rellipsoïae roulait sur le plan Q, celui-ci rouait à son tour sur l'ellipsoïde de manière à devenir au temps dt perpendiculaire à l'axe du nouveau couple acquis G^i. Gomme on connaît la vitesse de déplacement de y, qui est égale au couple accélérateur, on voit que tout est connu et qu'on pourrait, par une construction géométrique, déterminer, à la fin du temps dt, la position de rellipsoïae et la vitesse instantanée qu'il possède comme résultant du double mouvement de lui-même et du plan tangent.

126. Cas où Fellipsoïde d'inertie est de révolution. — Le cas où l'ellipsoïde central d'inertie est à trois axes inégaux conduit à des mouvements compliqués ; mais l'emploi, dans tous les problèmes de Balistique pratique, de corps solides de révolution permet heureusement de très notables simplifications théoriques.

L'ellipsoïde central d'inertie d'un projectile oblong est de révolution comme le projectile lui-même, et son grand axe est dirigé suivant l'axe de révolution du projectile.

En effet, la masse du projectile est moyennement plus éloignée de l'axe équatonal que de l'axe de figure. On a donc B>G, B étant le moment d'inertie autour de l'axe équatorial et G le moment d'inertie autour de l'axe du projectile, j j

Mais l'ellipsoïde d'inertie est tel que -j^ = c^- ci -jr = b- ; donc c>6. ^ ^^

Soient GA le grand axe de l'ellipsoïde d'inertie, GB un axe équatorial, GI l'axe instantané de rotation dans le plan de la figure G^ ; le plan tangent en I est perpendiculaire au plan .

de la figure, puisque l'ellipsoïde est de ré- /-^ volution. L'axe du couple acquis G^ étant / perpendiculaire à ce plan tangent se trouve V^ donc également dans le plan de la figure, qui est un plan méridien quelconque. Fig. 67.

Donc les trois axes de figure, instantané de rotation, du couple acquis sont dans un même plan.

Soit menée, en A, la tangente PAP' à l'ellipse méridienne et soit GP perpendiculaire à Gy^ ; une propriété connue de l'ellipse donne AP X AF = bK Mais

AP^ = a tg AI ; AP = a tg AP = a cotg Ay,

Donc ^

tgAÏ ^ C^

Dans le cas d'un solide de révolution, le théorème de Poinsot démontre que le point I décrit, autour du pied Q de la droite Gr^, une circonférence avec une vitesse uniforme (courbe a) ; dans le corps, la courbe s est une circonférence ayant son centre sur l'axe GA de l'ellipsoïde d'inertie. Les deux cônes de roulement considérés au n** 12 3 sont donc tous deux circulaires.

1-27. Corps soumis et une percussion. — Le plan parallèle au plan tangent en I à l'ellipsoïde d'inertie est désigné souvent sous le nom de plan du maximum des aires.

La propriété de ce plan et de l'axe instantané de rotation d'être conjugués dans l'ellipsoïde central d'inertie permet de déterminer immédiatement la direction initiale de l'axe instantané de rotation d'un corps soumis à l'action d'un choc qui ne passe pas par le centre de gravité.

A cet efl'et, on mènera, parle centre de gravité et la direction du choc, un plan qui sera celui du maximum des aires, c'est-à-dire GP ; le diamètre conjugué GI de ce plan dans l'ellipsoïde donnera la direction de la rotation initiale.

I 2. M0UVEME?îT DANS LE VIDE |

d'un SOLIDE DE RÉVOLUTION

1 28. Les équations d'Euler. — Lorsque les forces 1

extérieures sont nulles ou passent par le centre de

LA ROTATION DES SOLIDES aay

gravité, les couples L, M, N sont nuls et les équationa du mouvement se trouvent très simplifiées.

Ce cas se présenterait, en Balistique, dans le tir d^un projectile dans le vide, car la pesanteur, seule force extérieure agissante, passe par le centre de gravité.

Ce problème est entièrement soluble pour un ellipsoïde à trois axes inégaux, soit par Tanalyse qui conduira à des fonctions elliptiques, soit par la considération de la théorie géométrique de Poinsot. Mais, si on suppose le corps de révolution, comme les projectiles ordinaires de Fartillerie, la solution acquiert un haut degré de simplicité, ainsi qu'on. va le voir.

Le corps étant supposé de révolution, les deux motnents d'inertie B et A sont égaux (121).

Les équations d'Euler (122) deviennent alors :

b|-=(B-C),.; B|=(C-B)rp; C^ = o.

On en déduit :

Théorème L — La rotation r autour de taxe de figure est constante.

Cela résulte de l'intégration de la dernière équation.

Théorème IL — La rotation co autour de taxe instantané est aussi une constante.

En effet, la division des deux premières équations membre à membre donne :

^ = —L. ou qdq-hpdp^o

c'est-à-dire

-ir«n

et comme r est constant d'après le premier théorème, on aura :

w^ = p^ + gr^ 4~ ^^ = const.

129. Figuration du mouvement. — i* Si {G.x'yz') sont les directions des trois axes principaux d'inertie du corps, G/ étant celle de l'axe de figure, la rotation

instantanée GI sera la diagonale du parallélipipède construit sur les trois rotations composantes p,5f,r autour des trois axes principaux.

GI ou (0 étant constant et d'autre part, Ar =1 q^ -\- p^ étant égal à la constante a^, il en résulte que l'extrémité I de la ligne qui représente la rotation instantanée décrira une circonférence autour de l'axe de révolution Oz' du corps .

Le lieu des axes instantanés dans le corps est donc an cône circulaire droit décrit d un mouvement uniforme autour de F axe de figure du projectile (cône s) (i23).

Son ouverture [3 (angle AGI) est telle que : sin ^ = — .

\Àf

2° Le lieu géométrique des axes instantanés de rotation GI dans r espace est aussi un cône circulaire droit (côneo").

Entre la vitesse angulaire de rotation w, la vitesse linéaire 2r de l'extrémité I et les rayons de coubure pg et pç des deux courbes qui viennent en contact, on a la relation (i23) :

Fig. G3.

Mais on a, ici, comme vitesse linéaire du point I autour de GA, l'expression 2r = ar.

Donc 2r, produit de deux facteurs constants est constant ; il en résulte que p^ est constant et a pour expression : ^

ps^ — 3

Ainsi donc, le mouvement du projectile relativement au centre de gravité se réduit au roulement d'un cône circulaire fixé au corps sur un autre cône circulaire fixe dans Tespace. Ce roulement se fait avec un« vitesse constante connue w ; on pourra donc déterminer la position de Taxe de rotation dans Tespace et par suite celle de Taxe de figure.

i3o. Application et la trajectoire du vide. —

1° Supposons d'abord qu'à l'origine de la trajectoire. Taxe instantané de rotation GI / .

soit dans le plan de projection, J^ k''2D'^v\ ainsi que l'axe de figure GA. \ î >cJ/ L'axe Gy des quantités de mou- \ ifr^vV^v vement sera aussi dans le plan ^v^-^ T, .f^

de projection (126). Le plan du 0^"""'

maximum des aires, qui contient ^x

la direction de l'impulsion à l'ori- ' \

gine, est le plan GM conjugué pj^ ^^^

de GI dans- l'ellipsoïde d'inertie

et perpendiculaire au plan vertical de projection. La

trace GM est perpendiculaire à Gy, axe du couple

acquis.

L'impulsion à l'origine donne lieu à une vitesse constante (0 autour de l'axe instantané GL

23o LE PROJECTILE

Les trois données qui définissent, à l'origine, le mouvement de rotation du projectile autour du centre de gravité sont ainsi : la direction Gy de Taxe du couple acquis, la vitesse to de rotation instantanée^ la direction GA de taxe de figure du projectile. L'angle y que fait Taxe du projectile et Taxe Gy des quantités de mouvement est donc connu. Il en est de même de l'angle ^ de Taxe instantané et de l'axe de figure puisque la connaissance de la direction Gy permet de construire la direction GI conjuguée dans l'ellipsoïde du plan du maximum des aires.

1^ Les ,deux cônes de roulement (t) et {s) sont : I® dans le corps, le cône [s) d'axe GA et de 1/2 angle

P = AGI ; 2® dans l'espace le cône (o*) d'axe Gy et

<j^ de 1/2 angle IGy.

Soit A' l'extrémité de l'axe du projectile situé à une distance /du centre de gravité G. Menons A'B'C' perpendiculaire à GI et considérons les deux courbes 5 et <r tracées en B' sur le plan A'B'C' normal au plan de la figure.

La relation a> = 2r ( 1 ) s'y applique ; elle peut

s'écrire.

^s Ps+P^

Or

et montre que le point G' est fixe.

Le mouvement de la pointe A' du projectile autour du centre de gravité est un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe Gy du couple acquis.

3° Pour obtenir la vitesse angulaire de rotation que

nous désignerons par \j autour de Taxe Gy du couple acquis, il suffira de projeter la rotation w qui s'exécute autour de GI d'abord sur Taxe GA du projectile ; Tangle de ces deux axes étant p, on aura pour cette projection la valeur w cos B.

On projettera ensuite w cos [3 sur Taxe Gy, dont Tangle avec G A est désigné par y. Ce sera la valeur de \j qui sera ainsi

\j = (o cos p cos y.

Cette expression contient, dans le second membre, les trois quantités qui définissent, à Torigine, le mouvement de rotation.

i3i. Le mouvement de la pointe du projectile dans l'espace- — L'extrémité A' de la pointe du projectile est à une distance / du centre de gravité. Abaissons A'K perpendiculaire sur Gy. On aura

A'K = h = Is'my.

On peut considérer la pointe A' comme liée au point K, de sorte que, faisant abstraction pour l'instant du centre de gravité G, et considérant que K est invariablement lié à ce centre de gravité par la droite GK, on peut énoncer le théorème suivant :

Le mouvement de la pointe du projectile est celui de r extrémité A.' d'une tige A'K, sans poids ^ qui se mevt dans un plan perpendiculaire au plan de projection et tourne uniformément autour de son autre extrémité K, pendant que celle-ci décrit la parabole du vide définie par les données à f origine V^ et a.

aSa

i" Projection horizontale du mouvement. — Prenons un axe des z perpendiculaire au plan vertical j^Kx^, et figurons l'épure du mouvement par les procédés de la géométrie descriptive.

Sur un plan perpendiculaire à Taxe GK, le point A' décrit un cercle et au temps /, on a

arc A'M = hot.

Sur le plan horizontal, on aura au temps t :

Kior f* T

OU, puisque la vitesse horizontale est constante :

et

X = Vy/ cos a — h cos i^ sin X

z = M^my, = Mm = A sin A.

Donc, les équations de la projection horizontale sont :

a; = Vjj^cosa — hsin\ cos u/, z = h sin 'jt.

Cette courbe est la projection d'une hélice qu'on supposerait tracée sur un cylindre dont Taxe est GK et qui serait décrite par le point A' tandis que le point K serait entraîné d'un mouvement uniforme dont la projection sur Ox a une vitesse V^ cos a.

Si on avait sin ). = o, c'est-à-dire si Taxe du couple GK était horizontal, la courbe serait une sinusoïde ayant pour équation :

z = h sin \j — •

Dans le cas général, elle se composera de périodes ayant pour valeurs T = — et on la construira aisément par points avec les valeurs suivantes :

h sinX,

a? = «u — , 4- /i sin A

X — jUy ■— ,

X = — h sin î..

Si on a h> — —- , c'est-à-dire h > —^ , la courbe

présentera des boudes comme l'indique la deuxième figure.

Pour construire, à un instant quelconque, la position de Taxe du projectile dont on connaît Textrémité A^, on rabattra A' sur la circonférence en A", on mènera le rayon OA'^ et par A' la parallèle A'K à ce rayon. On a ainsi la position du point K.

Prenant KG' = KG cos)., on aura la position du

Fig. 72.

centre de gravité G ; puis G A' donnera la projection horizontale de Taxe du projectile au temps /.

2° Projection sur un plan vertical normal au plan de tir. — Cette projection représente la trajectoire vue de l'arrière du canon pour un observateur placé dans le plan de tir.

On aura une courbe du genre cycloïde en menant par chaque point de la trajectoire une parallèle à Taxe GK du couple acquis ; son point de rencontre avec le plan normal au plan de tir décrit une verticale d'un mouvement uniformément accéléré. Pendant ce temps.

la circonférence K a son centre qui se déplace suivant cette trace, tandis que le point A' tourne d'un mouvement uniforme.

Les coordonnées d'un point Y du tableau sont :

ou Y = rftg}. + -^sin(a — ).) — — gt^