D PAS
(*) Gette résultante se relie comme on sait à la vitesse du centre de gravité. Or, vu l’homogénéité dé la matière, l'évolution de ce centre de gravité ne dépend que de celle du domaine D, c’est-à-dire des vitesses sur la frontièr e.
S1 l’on considère-un milieu emplissant tout l’espace, la condition ne usuelle pour que l'intégrale & converge est l'annulation régulière
= 3 ; £ , de 7 ul. Alors la relation (1), appliquée en prenant pour S une hé d . , . - FA sphère de rayon indéfiniment croissant, montre que 5 — 0. LE 7 cs est nul dès qu'est satisfaite sa condition ordinaire de convergence.
b. Il en va de même pour la résultante dynamique
- . . n . , . , ve . .
atteinte d'ordinaire en mécanique comme dérivée de 5, mais qui
pourrait être définie quand bien même cette dernière quantité ne le
serait pas :
du SE a =e ff | + Er uk.
p L SPAS ) al
Pour la convergence on sera donc conduit usuellement à admettre à
La du
du; AE x et de r?-— ainsi que
l'infini l’annulation régulière de 7r° Te Le
. 7 . (a . . AS, | 7 l'annulation de ul, ce qui implique l’annulation régulière de c| u k
On a alors ff (rs) ade= f]] (uv)ut= IA) Fe et) :4/D ASS
qui s’annule pour une sphère de rayon infiniment grand. Et d’autre part, D étant supposé fixe dans l’espace,
[ Ou, d 2 EN (ÉTAT et du ni Fr = 7 fl u == 7 Il br) OM do = ff (a : )où do,
ce qui s’annule également pour une sphère infiniment grande. > > La résultante cinétique oc et la résultante dynamique 5’ ne peuvent donc être d’aucun secours pour dresser le bilan dynamique de
l'ensemble du milieu.
DRE RTE
c. L'impuissance n’est pas aussi radicale pour le moment cinétique ee Ée | DD fl OM A « dr.
Up
Il ne possède pas d'expression strictement périphérique, et peut converger sans être nul. En outre, lors de la construction du moment résultant des forces extérieures, on peut éliminer à la fois les pressions périphériques et les forces de profondeur dérivant d’un potentiel, en prenant pour D un domaine PPHÉTIQUE de centre O. Alors, en effet,
Jl OMAN ap ar —0 S
> + Ps à TP 5 flore = |] OM A VU = |] OM RU das:
D f DER Us
Toutefois la condition d'annulation régulière der sul, usuelle pour
et
la convergence de Ur n’est ordinairement pas vérifiée en Hydrodynamique.
Nous allons dans les paragraphes qui suivent, former à partir de la structure tourbillonnaire, deux vecteurs dues suppléent à cette déficience des éléments PROS
14. L'nvrécrase L — 4. Pour une portion matérielle D, formons l'intégrale > > + I = ff où À © dr, ete” lb
qui va donner matière à des calculs analogues à ceux du para-
graphe 7 sur l'intégrale né On écrit
CT Fr
Donc
(5) 1e Il" u dr + += Lo oM A‘ (anu)«r,
ce qui relie TL: à la résultante cinétique &
b. Par dérivation séquente on obtient alors
(2) G=s+i ÎL° OMA(zAu) Or . JloMAaa a) AGE Î BA }do + ff OM À. de an
Jos A le.
La seconde de ces trois intégrales s’écrit encore
Honal(es)zat- Cr A)
DS
qu'on divise en deux termes
en ACaAYŸ) (a. id
= : JO“ /\ (AY) x do
je fou a( 2 AV) de: ff OM A
= [RE do e./ S
et
> u | do *
(2 A+) u? do
. Jrzasonauas Mon an.s) de Us
= fn) A da ei Jar (o AL
paie En outre, 1l est utile pour les développements ultérieurs de remarquer que
+ . #) re 7 Aa Fe 21e ’ ; , | do — LAQUATI=ND —u 4 —\u.a)u| do.
à fratans do Î o Ji le
Alors (3) LE Noa) ce ci S
DNA
; ee NE i) EAN Es
+ OMS.) «+ 2 MONA Ar) a
ce. Nousi Invoquons maintenant la Dynamique. Le milieu est supposé soumis à des forces extérieures réparties, soit pour un élément de volume d=
SNS (FvVu)æ, en mellant à part celles qui dérivent d’une fonction de forces U. Les actions intérieures de cohésion sont décrites par une pression
hydrostatique à laquelle se superpose un tenseur T. L'équation de la résultante dynamique est alors
> > > = > > 7 = ||] Fa + ff SU + fra do— ffpa de #Un UD, À S S | ou > ms > — > CE) a = | Fa ff ya de + f] T.ax do, np s s
en posant (] — P — [UË Supposons d'autre part que, tout au moins dans le voisinage de la surface frontière S > P soit différentiable et que le tenseur T possède un
vecteur divergence 0. On peut alors écrire Rens cette région l'équation locale de la dynamique
