BILAN DYNAMIQUE D'UNE PORTION DE FLUIDE
A8. Formures GÉNÉRALES. — a. Soit D une portion d’un milieu incompressible homogène, de propriétés internes quelconques (usuellement : fluide parfait, avec des solides immergés de même densité), mais toutefois helmholtzien dans le voisinage de la surface frontière S.
Le Les formules des paragraphes 14c et 15 c se réduisent alors, vu
ES l'annulation de T, o, Fsur S, à
Se
| > > + >> TP 5 al ee te ff fie — (4.a) ui | do + (l OM À u dd,
Î = DE > > > a Fe RCIP + f] OM \ É Ur He) “| Glen. fl ox d®, dé 9 DS 2 ; L C7 DT
É et H désignant la résultante et le moment résultant des forces extérieures sans potentiel appliquées dans l’étendue de D Ge Le résultat subsiste même si D comporte des singularités ou des surfaces de glissement, à condition qu’elles n’atteignent par la frontière S, ce qui mettrait en défaut les raisonnements du chapitre IIT, basés sur la dérivation séquente. Nous reviendrons sur ce point plus loin. Par ailleurs, si D ne comporte pas d’autres singularités que des
> surfaces de glissement, les intégrales du second degré en w peuvent se transformer d’après les formules du paragraphe 8 6 :
es RS PRESS > = A = ff | Lure — ne) 4 Ale) fra k, Us L?2 0 = DES FÉ 7 PRNTENS Es er <> > La 8 f] OM A ru — Gr ü | ds = fl] OM A Le À dk). es A £ ete |) On écrit finalement
A TOURS Rene Le RS
PANNE RS : 9 La LU 6 | OM 4 dd.
0 dt LE
(*) C. R. Acad. Sc., t. 229, 1940, P: 100.
Là encore, les actions sans potentiel ne sont définies qu'à un gradient près, mais elles doivent s’annuler sur S. Les raisonnements qui seront employés au paragraphe 22 à permettent alors de montrer que le torseur résultant est bien défini, du moins si S se compose d’une surface fermée unique, cas auquel on Peut toujours se ramener.
Aurore
b. On rejoint facilement à partir de là les formules données, pour le cas d’un écoulement périodique, par M. Pérès (" ), qui considère un domaine fixe, soit A. Si D est le domaine fluide qui coïncide avec A à l'instant en cause, la considération du volume balayé par la surface frontière donne immédiatement
RTO)= ZI) + ff 0 au He hi J (A) — [où Ne
Cela fait apparaître dans les second membres des formules (1) les différences
tom ao (us) où à 4.6) le = ff où À [a à G à à) le S S et
— ff owlé(ax) (as 6) | d= |] om: {a À (6 À &) | de. S
Pour un écoulement périodique, les moyennes prises au cours d’une période éliminent les termes
ANS he
En fait, la formule donnée pour l'expression de H par M. Pérès ce £ ; revient à introduire, non pas la quantité J comme ci-dessus, mais la
quantité équivalente appelée ÿr au paragraphe 15 d, ce qui remplace
l'intégrale double =? TRUE Marles
DAS par 3 où ATOM À Le À (6 À 4) ] la.
(:) Comptes rendus du 111° Congrès international de Mécanique appliquée, Stokholm, 1931, vol. 1, p. 132.
"ce. Les formules (1) sont d’autre part susceptibles d’une interprétation qui vient corroborer les considérations du paragraphe 10.
Dans la région périphérique helmoltzienne, les lignes tourbillons sont des ligues fluides. De façon plus précise, la ligne tourbillon issue d’un élément matériel de cette région reste, dans toute sa portion helmholtzienne, malériellement transportée par le fluide. Mais dès qu’elle pénètre dans la zone non helmolizienne, elle perd cette propriété et présente, vis-à-vis du milieu, un certain glissement. La ligne étant prolongée jusqu’à ressortir de celte zone, nous supposerons que le glissement s'annule à nouveau à l’arrivée dans la zone périphérique helmoltsienne. On peut montrer que celte circonstance n’est pas générale, mais elle est assez usuelle et réalisée notamment lorsqu'il existe un plan de symétrie.
Cela étant, on imaginera la structure tourbillonnaire de D décomposée en tubes tourbillons infiniment déliés, qui se meuvent en conservant leurs intensités. Certains de ces tubes ont, comme il vient d’être expliqué, leurs extrémités dans la région périphérique helmholtzienne.
. ; 7 5 La vitesse de déplacement absolu v d’un de ces tubes — définie en chaque point à une composante tangentielle près — se réduit, aux y « . Là ÿ . , extrémités, à la vitesse w du fluide. La différence
est la vitesse de glissement.
Il peut également se présenter d’autres tubes, formant un noyau tourbillonnaire à l’intérieur de D : on leur Abies encore, avec un large arbitraire, une vitesse de déplacement.
, Q e D Le a - Un tube, d'intensité 2 do, a pour contribution dans Î et J les intégrales curvilignes
PRES . > = f OM À ah, = f omrant
d’où 7 = è [( e A dM + OM À de), >
mo = 8 f Le (oxi.5) a + om].
PORN ve
+ > —. > — 6 À dM + OM À de — d(OM À 5) + 26 À dM, > >\ > > — — 2 (0.6) a — oMede —— y(oM:®) + 20M À (5 À ad). Pour un tube ayant deux extrémités A et B dans la surface S, on a
x fan) ao A
5 3e f 4(om) 25 0oM
> à + Comme + est égal à u sur S, et que do représente le flux de w dans le tube, une sommation étendue à tous les tubes conduit aux intégrales
Ne. > Joñaua et — ff omu ve.
Le long d’un tube fermé les différentielles exactes ont une intégrale nulle. Les termes restants, sommés pour tous les tubes, ouverts ou fermés, engendrent les intégrales
ARE TC 2 (]] Na dette MON AUS AR) D 4 D à
Donc finalement
ee
s > fr. >
= ffowzue + 2 f]] OM À (5 À dk).
dt Par rapprochement avec les relations (1) il vient alors
he 2e ff + A dK,
TS Ce >
H= 20 ff] où À (œ À dk).
D Ainsi les actions extérieures se trouvent directement reliées au glissement
des tubes tourbillonnatres. Il seraït vain d’ailleurs d’attribuer à ce résultat une valeur locale.
EMBOUEE
Le cas bidimensionnel donne lieu à des considérations analogues, l’évolution de la structure tourbillonnaire d’un domaine fluide pouvant, avec un large arbitraire, être représentée comme un déplacement de quantités tourbillonnaires conservatives.
19. Noyau rourminLonnatre. — 4. Adoptan! maintenant un point de vue différent, plus important pour les applications, nous envisageons le cas où D est un noyau tourbillonnatre, baigné de fluide hélmholtzien.
| de LRU N7ae Nous voulons dire par là que w.& est nul sur S; c’est ce qui a lieu, a fortiori, si la frontière S est tracée dans une région irrotationnelle. Les intégrales en dd disparaissent des formules (1) du paragraphe 18.
ARE En outre [et J sont, comme on l’a vu au paragraphe 16, les éléments de réduction d’un torseur de polarisation bien défini. 0 Sa ER 0 En vue de l'évaluation de À et B nous écrivons
ES = ul) + ule),
> (7 en désignant par ul la vitesse induite, selon les formules de Biot et
à e - 2 Û Ta.
Savart, par la Structure tourbillonnaire contenue dans D. Le reste uw‘) constitue alors la vitesse primitive, soit, en quelque sorte, la vitesse qu'on observerait en l'absence du noyau tourbillonnaire D. Dés lors
. > : > A = 2 ff a À dk + » ff ve A dK, D
5 | Ba ff] OM A (ut À ak) + à flo À (a a a).
Les intégrales en ul peuvent être envisagées comme relatives à un écoulement quiemplirait l’espace entier, avec structure tourbillonnaire restreinte à D. C'est. dire qu’on peut remplacer le domaine d’intégration par l’intérieur d’une quelconque surface fermée Y, renfermant D, et par la transformation du paragraphe 8 b, cela donne
RSR > > >, >> DIR =} Ë utg — (20.a) 20 do, D SE
— > > —- > f] OM À (a ÂÀ dk) = ff où A [aux — (ai a un] do. C D »
Re, Le D
En prenant alors pour Ë une sphère de rayon indéfiniment croissant, et vu l'allure à l'infini de wt°, on conclut à la nullité de ces intégrales.
Donc, dans ce cas d’un noyau tourbillonnaire, il reste
Le = Le . » , . .
où & ei GB sont.des intégrales d'interaction entre la structure tourbillon-
natre de D et la vitesse primitive. De ce ‘fait le calcul est encore possible lorsque D contient des singularités ou des lignes tourbillonnaires.
Supposons en particulier que l’écoulement soit permanent, et que les éléments tourbillonnaires de D n'’atteignent pas la frontière $, laquelle se trouve ainsi tracée dans une région irrotationnelle. Alors la structure tourbillonnaire intérieure à D est fixe dans l’espace, d’où
> > M DAT A l’invariance de [ et J et l’annulation des dérivées. R et H se réduisent donc à ces termes d’interaction : nous ferons voir au paragraphe 925 qu'on généralise par là le théorème de Joukowsky.
b. Les vecteurs ainsi introduits,
re MEL R 0 EURE 7 UC ASGRKE > re > (ho) fl OM / (o GT dk),
constituent la résultante et le moment en À d’un torseur : c’est, disons-nous, le torseur de l’ién/fluence tourbillonnaire subie par le noyau tourbillonnaire D. Ilse rapproche, par sa forme, du torseur des forces électromagnétiques subies, selon la loi de Laplace, par un système de courants fermés, de la part d’un champ magnétique.
Dans le cas d'un milieu emplissant tout l’espace, avec repos à
l'infini, 4 n° la vitesse induite, selon la formule de Biot- Pinfini, ul(° n’est autre que la vitesse induite, selon la formule de Bio Savart, par l’ensemble de la structure tourbillonnaire extérieure à D. Imaginons à ce sujet ae RONaUE tourbillonnatires distincts D' et D".
Soient respectivement u' et u' les champs de vitesses qu ils induisent selon les formule de Biot et Savart.
% a THESE J.-J, MOREAU, 12
