LEE

) On écrit

20M. Gr 4 ©) = OM.| x À (A se loM tie de (OM) (&.N) = : (OM ee -— 7 — (OM) (et) EU, d’où

x Tee SU INR eee Vi Il où. : u° a — (ua) ts A KT ë

T désignant l’énergie cinétique de la portion de milieu D.

comme déplacements virtuels une translation, puis une rotation, on retrouve les

Ô ù ] B expressions du paragraphe 18 c pour la résultante et le moment résultant des F (les actions intérieures ont alors une puissance nulle).

(!) Cf. Poincaré, Théorie des tourbillons.

M ROTLES

Comme au paragraphe 8 b, ce résultat s'étend au cas de domaines

. . ‘ . . » | > scindés par une surface de glissement, en invoquant les éléments tourbillonnaires équivalents et la vitesse médiane. D'autre part, la

relation polaire de cette relation quadratique est utile dans les évaluations de puissance.

. 25. Conciusrons er EXEMPLES. — Il sortirait de notre programme de passer en revue maintenant les diverses considérations tourbillonnaires classiques, afin d’examiner les éclaircissements qu’y apportent les développements précédents. Bornons-nous à quelques généralités sur la résistance qu'éprouve un corps en translation uniforme, au sein d’un fluide indéfini.

Soit @, le système de référence lié au corps, @, le système, en . $ . Re . % .

translation par rapport au précédent, avec une vitesse U,, vis-à-vis

duquel le fluide, soumis seulement à des forces dérivant d’un potentiel (pesanteur), est au repos à l'infini.

St l'écoulement est permanent relativement à O,, le torseur de polarisation est invariable par rapport à ce système : O, étant un point fixe par rapport à ce système, on a |

> " Ress > ONE, TOO

srandeurs vectorielles invariantes vis-à-vis de l’un ou de l’autre système de référence. Alors, O, désignant un point fixe par rapport à 6,,

d’où

Si donc les conditions à l’infini précisées au chapitre III sont vérifiées, SAVOIT :

& | annulation uniforme de w à l'infini,

annulation régulière de r°w (ou seulement de r'w si l’on se borne

aux héculanten)

AT EU ù “ ; ne annulation uniforme de r*T et r*o (ou seulement de 7°T et 7° o), il vient ne NE UE F0; FES EAU:

= Le ? , !

Par R et H il faut entendre la résultante et le moment résultant des forces non conservatives appliquées au milieu entier : fluide et solide immergé, supposé de même densité que lui. Ce sont nécessairement des forces appliquées au solide, pour lequel les forces d’inertie sont d’autre part nulles. Si donc on fait abstraction des poussées archimé-

diennes, R et H représentent, au signe près, la résultante etle moment résultant des actions hydrodynamiques subies par le solide. Moyennant les conditions à l'infini ci-dessus on retombe ainsi sur le paradoxe de d’Alembert quelle que soit la nature des tensions internes du fluide (fluide réel quelconque).

Pourtant, d’après les considérations du paragraphe A0, les conditions en question doivent être vérifiées pour un fluide visqueux inilialement au repos. La conclusion est que, dans ce cas, un régime permanent ne peut jamais s'établir uniformément sur l’espace entier :

la résultante de polarisation Ï est en constant accroissement. Cela n’enlève d’ailleurs pas de valeur à la conception d’un mouvement permanent; à l’intérieur de tout domaine fixé de ©,, on observera, au bout d’un temps suffisant, la permanence à une approximation quelconque. Et ainsi quelque grand que soit le domaine, le temps nécessaire devenant seulement plus grand. Il se définit de la sorte, mathématiquement, un régime permanent sur l’espace entier, mais ce régime ne vérifie certainement pas nos conditions à l'infini.

Ces circonstances se concoivent clairement sur l’exemple d’une aile mince, en translation dans un fluide quasi parfait. La structure tourbillonnaire est réduite à la surface de l’aile et au sillage formé par les éléments de fluide que l’aile a côtoyé depuis sa mise en mouvement. En toute première approximation, ce sillage a la forme du rectangle que l'aile balaie dans son mouvement par rapport à @, : c’est un feuillet en constant accroissement ($ 16c). Mais si l’on décrit le phénomène en se référant à @,, on voit qu'un domaine arbitrairement grand renfermant l’aile finira par ne plus contenir les élémentsinitiaux

RO ie du sillage et l’écoulement y tendra vers une forme permanente. Seulement ce régime n’est pas justiciable des considérations du chapitre III.

Il est possible de développer à partir de ces points de vue des calculs approchés qui rejoignent la théorie de Prandil (!).

b. Reprenons maintenant la question classique d’un corps en translation au sein d’un fluide parfait indéfini irrotationnel.

Soit d’abord:-le cas bidimensionnel. Nous nous référons au repère O,, lié au profil C, et nous appliquons les résultats du paragraphe 17 d à une poruion de fluide baïgnant ce profil solide, supposé de même densité. La structure tourbillonnaire se réduit à la couche de glisse-

LS + . . r. .

ment sur C : un élément dM de C (pris dans le sens trigonométrique) équivaut, d’après le paragraphe 9 d, à une quantité tourbillonnaire

s Le AK Ë u.dM

re ] Ne Le (a, vitesse du fluide le long de C). En nn os cette

structure est invariable, d’où la nullité Fe et “=. D'autre part, la

vitesse primitive se réduit à C d’où les termes mr tourbillonnaire

Fr > 7 A = — 25 / Ge dk'=— 2 1 Üo Ja. a 4,

> TE G=— 2 [ OM.Ù, dk = ü foM (x u.dM)

On en tire la résultante et le moment résultant des actions exercées par le fluide sur le profil (c’est-à-dire pour une tranche d’espace d'épaisseur unité)

Fe PL TE Es

R'=— p3 /\ UD u.dM;

Rare Up OM (a. a).

On reconnait dans la première relation le théorème de Joukowsky.

(2) Cf. M. Roy, Sur l'aérodynamique des ailes sustentatrices et des hélices, 1928.

Le raisonnement est le même dans le cas tridimensionnel : la surface Ë du corps immergé équivaut à une couche de tourbillons.

S1 à est le vecteur unité normal extérieur, on a

a 16 7 Ka / u do et Fa Se aa Le REA AUS) a /\ udo, 2 L

= 28 ff où Â Us À Es 7 “in do.

La première de ces relations peut être considérée comme l’analogue du théorème de Joukowsky pour le cas de l’espace ('). L'intégrale

à = [2 A u do;