ET RÉCIPROQUEMENT
§ 41. — Si nous généralisons les deux membres de Tidenlité
n%j, — i-t-e H-c -he -h...
«DUS en déduirons :
— — ^ = ÇC»^) + «(«^ H- a) H- ç(^ H- %q) H-... =
Cela posé, si dans la formule (9) du § 9 nous posons V (w) = 1 nous •obtiendrons :
•Gi = ©{57) = ^ 1 / [©(^"f-y/— 1) -l-<f(a7 — yv^— i)|co8yrrfyrft?.
-en posant dans celte même formule ^'(^) =: ^ nous aurons en
remarquant que ¥(u) -h T(— v) = 1 et "^'(v) — V(— r) = "^ *" et en
tenant compte de la relation précédente
Pour obtenir la valeur de cette intégrale / * "^ ^^ sin yvdv remar^
quons que l'on a identiquement
multipliant les deux membres de cette égalité par sin yvdv et intégrant entre les limites o et oo nous aurons à Taide de l'intégrale
«^ o la valeur
e- "^'^ sin yvdv == ^2 ^ ^^^^
>30 n = ao
.at?
±J. sin yvdv = ^ ^ 2y ^ ^/'^ -^ (na/
mais on sait que (Euler, întrod.)
aizi/
il en résultera
»x — sxnyvdo=-.-^ -^.
Cette valeur mise dans la formule (i) nous donne en faisant y = ay,
2 ?(x -h na) = ^ c>(^) —
-,7=î/ ^^M^+«yv/-o— p(^-«yv/^)l''y'-
o nous pourrons donc écrire
o(,r) = C — - cp{a?) -+-
^[x-^- ayyj --i) dy^
■vri''
formule remarquable en ce qu'elle donne la valeur de Jlu <^(x) à l'aide
<l*une seule intégrale définie.
On trouve, dans les œuvres d'Abel, la détermination de cette somme pour laquelle il a donné la formule suivante :
Pour établir la concordance entre celte formule et la formule (3), il suffit de reconnaître que
<e qui est facile en généralisant l'intégrale connue / sin aydy = '-
<après avoir posé a = au.
§ 43. Si l'on pose
nous en déduirons en représentant par a l'accroîssement dex
A t{x) = G«*«(e*~ - i), A* <^x) = Ge*«(e«" — i)«, A»«p(«?) = G«*«*(e'"'— i)*, «t généralement
A« <p(*) = G«^(e«" — i)", «t en supposant n = — n
a Cela posé, si nous écrivons l'égalité (3) du § précédent sous la forme
TRANSFORMATIONS DES SÉRIES EN lltTÉGRALES DÉFINIES
nous aurons donc h l'aide de la formule (a) du § 41
•t{x) -+- <f(x -H a) 4- »(a; ■+■ an) -+ ... -f- f[x + (m — i)a) -
'o/„ o(a;-Hnj/y'— i)|ay
en supposant if(;v) =^ log 7 (1)7) nous aurons :
log o(3;)if(a; + 0)0(3; + au) ... ç(a! + »i — i)a) =
qu'on peut écrire
ç(aî)f(a; M- a)<i[x M- ao) ... 0(3: -h (m — i)(i) =
— i= r^ e^^ + 1 , ¥(;» + ma + «î/J^-^
V ^(a; -t- ma) § 44. — En écrivant la formule (a) du § 41 sous la forme
y— I / gaity — ,
'• — " t/ aa
nous en déduirons, en dîfféreutiant m fois par rapport à a et en rem (v* — i)™ par sa valeur sio -j^ — <^* "^ * — '
"=* 1/ m- mir \ /*"e"î'+i ■
<i) 2 n'"?(^+«n)=^sin^-cos^t/^j / ^ï^^^ y'"9(a'+
En généralisant les deux identités
s obtiendrons :
différentiant m fois par rapport à a nous aurons
§ 45. — Si l'on multiplie les deux membres de l'identité
—^ — = c - y + e - ay ^ e - ^y H- ... -h e - ''y -H ...
par y^ "" ' <p(j; — y)dy et qu'on intègre entre les limites o et oo , nous trouverons
«/ft n = I t/o
mais comme
(^T^^^fw/ îT-''-''^»-»»
nous aurons :
ns=ao
J « (Ttt;^ = îw/" "" ";!!■".-'" "»
que nous pourrons écrire en dégénéralisant
n=oo
Le même calcul, effectué sur l'identité
donnera :
ij
ll^.
§ 46. — Si Ton développe rexpression (e"" *** — e^^y* en série, et qu'on généralise les deux membres de Tidenlité obtenue on trouve
G ^^ ^^^ ^^^yp =?(a?H-pa)-+-py(a7H-(p-h 2)a)-+-
il résulte de cette égalité que :
G ,~ au ^au = 2u '^^^'^ (*^ "^ *)^)'
qui se transforme en
G-r-î — = — av^ — 1 ^ «p(a? -+■ (an -H i)a\/ — i),
sm au
en posant a = a\/ — i. De même en faisant p = a
n = o qui se transforme en
sin au .^j TV V / /'
et généralement
^ («- «t* e««)P ~ ^ i.2.3...(p— 1) ?ia?-i-^,2n-+-p;a;,
qui se transforme en
(sin au)^
Pour exprimer ces sommes en intégrales il sufBt de remarquer que la formule
^V CDAPriRB IV
donnera en géDéralisant par facteurs
•-' — ix*y — ctity — 00 i-f-e"i -hc" \ -\- e ' X ?(a: -V- (y + „ -i- w>)/^r7)dyrfi^„,^ et généralement nous pourrons écrire
T "-^",.<:r.yir)^~" * + c» -^)")=
~s'»'<.''wirr)' / g-^ — ^»(j:+(j+...+ <>'-i)*,...rfi.
1^— » I H-e" e + e" Ed supposant p ^ i nous aurons
que nous pouvons écrire sous la forme 91 = ep
dégénéralisant il en résultera :
/'^^^^Bmmdu = -i y «-(«• + ■)<■ = î
Si dans la formule (g), du § 9, nous posons V [u) = L — nous
cosyvdydv,
mais comme
C08 yvdv jr^
il en résultera :
,au
^(r -h yy/ — i) -H ?(.r — yy^ — i
rfy,
d'autre part on a :
n = o et par conséquent
Ofa + 2 V - l)
et faisant dans la formule (2) a = asj — 1 nous obtenons la formule (4) du §32.
Par un procédé analogue à celui que nous avons suivi pour déterminer
la valeur de G
, — au
nous obtiendrons
n = o et en faisant a = a>J — i
(cos
i «P V , v^ w(n-hi)...(n-!-» — i) / ./ V / X
EXPRESSION DE LA SOMME DE QUELQUES SÉRIES GÉNÉRALES EN INTÉGRALES DÉFINIE!
§ 47. ^ Le calcul de géoéralisation fourait un procédé facile po exprimer les valeurs de certaines séries générales quelquefois sous à formes plus simples que celles que l'on peut obtenir par le calcul direct.
Proposons-nous de déterminer la valeur de la somme de la série ar = ^i) -t- afXoj) H- a»ip'(x) -H Dous en déduirons en diftérentiant par rapport k x
~ = VW + « ?» + «^î'C^) +■■• et par conséquent pour déterminer x nous aurons l'équation
équation linéaire qui a pour intégrale
(0 z = e'{C—à j e '•T(«)rfi),
formule peu commode pour déterminer la valeur de z, la constante devant être déterminée pour une valeur particulière attribuée à se. Mais, si l'on emploie le calcul de généralisation en posant
nous aurons
(a) jr = G(i +au-H(i'u*-Hfl'w'-l-...) = G-
if'''"'
:SSIO!<( DE LA SOHHE 9
Iv = av, sous la forme
me de la série proposée.
rmules (i) el (iï) posons x -\- av =^ ta, il e
— ^ et par conséquent :
j> est une constante C et que
d'aile ''o(j:)dx-^ C\
•+C~J e«o(^)rf.r),
(i) en posant C + C^C. (2) sous la forme
•■■ = aj ^ '?'' t è a, en posant a -
rapport h a, en posant a == au, il en résul-
CnAPlTKE XII
le que la formule (7) du § 25 donni
—, sîn hws{x — w) dtodh, relation noua pourrons écrire la formule (4) sous la
relation nous pourr
j j ""h nr ■?(»■ - '> *■ - ") **""'■
nouveau par rapport à a nous aurons la valeur de
7(J7)= H- afXxf H- ay(xy ~\-...
léralisant les deux membres de l'identilé
- -3- + -^ — = arc (lang au),
ule fa) du § 38,
iveau par rapport à a, en posant a r= au, nous obtien-
éger Y = ç(a: -H y v/^H) ({a; — y v/"ir7).
iré (formule {1) du § 23) que G arc (sin au) ^^
ï^ I î(a; -+- aats) — '^{x ~ an(«) \ dsdl,
comme d'ailleurs
arc (sin au) = au
nous obtiendrons à l'aide de ces deux identités
ao\a>) -+■ ^ 3- <p» + :-^ "^ o'-i^) -H... =
en supposant o{x) = sin a; nous aurons :
sin ^atzdzdtf
différentiant par rapport à a
'ri-'-'
-^'-^%0S2a<;rd.-c;^= '
\^l -H fl-
généralisant ces formules (3) et (4) nous obtiendrons :
-^~ 1 1 ^— 5 \'i(x-\-aats\^—i)—if{x—2at3\/—i)^dsdt
= \ \ I e~**"*^ I ^{x -H 2a/V^) H- ç(aî— 2afV^) ] dz dt
§ 49. — Si l'on développe l'exponentielle é^^ ^' ' suivant les puissances de a, on obtient :
^aa C08 1 .
2a cos t 2*a* cos' f
en multipliant cette identité par dt et en intégrant les deux membres entre les limites o et ir nous aurons» en remarquant que
cos^'^ + U dt = o I cos"'t= '-\^-;f\~'K
la relation
, . ?! ^ ^ ^ -?' i- —Il e^'^'Ut =
^ ^ ^ - -f I n=:QO
géaéralisant les deux membres par rapport à a, nous aurons :
posant <p(^) = sin a? nous en déduirons :
à^ a^ a^ 1 / cos2aa) V / «V^ «^''^
1 (1.2)* (1.2. 3)^ T. f ^1 to^ ^i-i^ (1.2.0. ..«)'*
qu'on peut écrire
Nous trouverons de même si Ton considère ridenlité
et en remarquant que
tlZ
sin^~ + ^ ^ c^i = ^4:| -^^
la relation
-qu'on peut écrire à Taide de la formule (i)
/p^a sm t Jia cos «w, « f ^^ l ^^ . ^^'^ , i
{)osaat a = - nous aurons
/(g» sin « ^a cos ty^ == ^ [ y -h j^
-^ (i.3.5...(2WH- i)> n = I ^ '
généralisant par rapport à a il en résultera
<5) y'(-r)+"^^ + (^^S^,H-.=^ / {v(a?+asin/)-<p(x+acos<)lrf< •en supposant a =:= i dans la formule (4) nous obtiendrons
(6) r + ^rV. +,-r4^ + - = W (e""' -«''<"' V<
§ 50. — Si dans régalité (i) du § précédent nous posons a = v^â, nous «n déduirons :
a v^â cos t
généralisant par rapport à a nous aurons :
98 CHAPiinE XII
généralisant de nouveau par rapport à a
, ,, lo\x)V J9'Xx)V 3/^V)\' .
*/ — 00 t/ — en ^y — r«
égalité que nous pouvons écrire en posant a = a^
c'est une expression de la somme des carrés des termes de la formule de Taylor.
Problème. — Étant données les deux séries qui résultent du développement de ^{po H- a) et ^(y -+- b) par le théorètne de Taylor.
e(y) H- 6 ?:^ + ja e:(l) ^ ... ^ ,n i(!Vi^ ^ ...
déterminer la somme du produit des tenues de même rang, soit:
Pour résoudre cette question, nous considérerons Tidentilé (i) du § précédent de laquelle nous déduirons, en posant a = — \fab
lit
ab a^ô^ aW i / jt .
