G GO

vie" ^y ^ ^o[x -4- y v^ — 1) dy.

Si donc la fonction o{x) est telle que 9(0? 4- y / — s'annule, pourdes valeurs de y égales à =j= 00 quel que soit.ri', nous obtiendrons la formule (3) dans laquelle n est remplacé par n — 1 .

DIFFERENTIATION ET LNTÉGRATION A INDICES FRACTIONNAIRES

§ 40. — Si dans la formule

m — i^— tu

ic»n — V{m)

é- ^" dt,

nous posons m:=: n — jx, n étant un nombre entier et |jl un nombre fractionnaire nous obtiendrons :

que nous pouvons écrire, en en multipliant les deux termes par u^e^^, sous la forme

et en généralisant, il en résultera :

/oo ,n-M.

formule dans laquelle on prendra pour n le nombre entier immédiatement supérieur à {x.

En faisant dans cette formule fi égale à — [a et en supposant n = anous aurons la valeur de l'intégrale

On peut obtenir des formules un peu différentes des formules précédentes de la manière suivante.

Si nous considérons l'identité

(- ur (- i)'^r(HL) ui^ '

nous en déduirons, en remarquant que

la relation

e- ***lV- - 'dt,

changeant u en — t^ et en multipliant les deux membres par e^^'nous aurons

^' ' ' - - 'c(* + «Wt.

/oo

en généralisant