V -^ ^iL^oW=:- / 5ofx— aloff^^)-9f.v-^aloo:^^)îc
(2n-h2)^^ + ^rfx-^^^ +
100 CBAPITRE XII
—^ ^an ^n lie \
en supposant ©(a?) = log a? il en résultera
"s , ''^'gn + . p" = - i / log (l + P log '<Orf<.
De ces mêmes formules (i) et (a) on déduit en posant (p(x) = sin x
~- = 1 cos (a log r)rf^
généralisant ces deux identités nous aurons
= lfU(^
ai log «v^ — 1) -i- f(d? — «/ log </ — i)|c?^
== ^ ' / {©(a? — a< log t)/ — 1) — î>(a? -h a* log tv/^^^i)jrf^ 2V — 1 /
Si Ton développe l'exponentielle
c»«* = 1 + ? «* + -^ U-* H- -^ tt« -H...
nous aurons en généralisant
en supposant ^fe = a, a^. a^,... 2^ nous aurons à l'aide des formules (2), (3),... et (5) du §24.
i\/at)dt,
j , I il
^"tv^w^z^ ...a^jdvdtdwdz...
§ 52. — Si Ton généralise les deux membres de l'intégrale connue
iQO
COS 2Ut
= i t, i log (H^ 6^»*),
Ton obtiendra la formule
( ii — <p(j:-h2n)=<p
n=sr ^o
en posant ^(o?) = log x ngus aurons :
, (aï -4-2) (a: + 6) 5 (a; -MO) 5... i / log (a?' -4- 4<')
dt.
§ 53. — Le calcul de généralisation se prête, avec la plus grande facilité, à la détermination des intégrales de certaines équations différentielles ou aux différences et différentielles partielles, ainsi qu'à la solution de divers problèmes qui s'y rattachent.
Nous allons entrer dans Texamen de quelques principes généraux qui faciliteront notre exposé.
Nous avons reconnu que toute fonction de n variables indépendantes F(Xf y, z, ...) pouvait être représentée par Tidentité symbolique.
(1) F(a7,y,z, ...) = Ge^« + î^^ + ^^
u, Vy tv, ... étant les n variables de généralisation sur lesquelles porte le signe G.
Si les variables œ, y, z, ... de la fonction sont complètement indépendantes entre elles, il en sera de même des variables correspondantes de généralisation u^ Vy w, .,, et réciproquement; mais s'il existe une relation entre les variables de la fonction, il doit exister également une relation que nous pourrons exprimer par une équation entre les variables de généralisation, relation que nous pourrons exprimer par une équation entre les variables correspondantes.
Si, à côté de l'égalité (i), nous avons la relation
(2) ^(u, r, tr, •..)=: 0,
on comprend aisément qu'en déduisant de cette équation la valeur de Tune de ces variables en fonction de toutes les autres, et en substituant cette valeur dans l'identité (1) nous n'aurons plus que n — 1 variables de généralisation, ce qui limitera l'opération G à une variable de moins; la fonction F sera bien toujours une fonction des n variables a?, y, z, ... mais ces variables ne seront plus indépendantes entre elles, elles seront reliées par une relation qui dépendra de la forme de l'équation (2).
Si cette équation admettait, pour l'une des variables, plusieurs valeurs
en fonciion des n — i autres, l'expression (i) aurait autant de valeurs que l'on obtiendrait de racines différentes et l'expression symbolique Ge'^ -h yr + 9tv, . s'étendrait à toutes ces valeurs, de sorte qu'elle représenterait plusieurs fonctions différentes entre elles.
Si, au lieu de l'équation (?.) on avait un nombre m d'équations simultanées entre les n variables de généralisation
W(u, V, ta, ,..) = 0,
V,(W, V, tCy ...) = 0.
on pourrait concevoir que l'on déduisit de ces m équations, les valeurs de m variables en fonction des n — m autres, et, qu'on réduisit ainsi la généralisation k n ^~ m variables.
Dans le cas où m serait égal à n, toutes les variables de généralisation seraient éliminées, par suite la fonction serait complètement déterminée, la généralisation se réduirait à la multiplier par une constante arbitraire.
Si, à côté de l'égalité (i) nous posons pour la relation [2)u = v nous obtiendrons en remplaçant u par v dans l'égalité (i)
Ge(^ + y> + ^^ +••• = F(^ -i- y, z, ...).
et l'on reconnaît ainsi que les variables â? et y ne sont plus indépendantes dans la fonction F, elles Ggurent seulement par leur somme.
On reconnaît de même que si nous posons pour l'équation (2) la relation
qui donne pour u les deux valeurs u = v, ii = — v nous obtiendrons à l'aide de l'égalité (1) les deux expressions
on reconnaît ainsi qu'à l'identité (1) répondent deux fonctions, dans l'une les variables x et y figurent par leur somme, et, dans l'autre, par leur différence.
§ 54. — Le procédé qui nous conduira généralement à l'intégration des équations consiste, particulièrement, à déterminer une expression de la variable principale en fonciion des variables indépendantes, expression qui, j
contenant une ou plusieurs constantes, satisfasse à l'équation différentielle proposée, quelles que soient les valeurs de ces constantes ; en généralisant cette expression par rapport à ces constantes nous obtiendrons une intégrale renfermant une fonction arbitraire.
En effet, si quelles que soient les valeurs des constantes ^^ v, t^, ... une
104 CHAPITRE xni
expressions = F(Uy r, w, ...) satisfait à une équation aux différences ou différentielles partielles à coefûcients constants exprimée par
nous obtiendrons par la substitution de cette valeur dans Téquation pro» posée
d'autre part, en substituant la valeur z = GF(u, v, w, ...) nous aurons comme premier membre de Téquation GZ^ dont la valeur est nulle puisque Z^ z= ; par conséquent, cette valeur dez qui renferme une fonction arbitraire, introduite par la généralisation, exprimera une intégrale de l'équation proposée.
C'^t ainsi qu'en considérant Téquation
d^z dz
dt^ ~^ ds'
à laquelle on peut satisfaire à l'aide de la valeur particulière
quelle que soit la valeur de la constante u.
En généralisant cette expression de z, par rapport à u, nous aurons
dtà
comme intégrale de Téquatîon proposée.
§ 55. — Ck)nsidérons maintenant une équation linéaire aux différences ou aux différentielles partielles à coefficients constants, dans laquelle la variable principale z est une fonction de deux ou plusieurs variables indépendantes a?, y, Zf ... que nous pouvons dans tous les cas représenter par
en admettant que son second membre soit nul.
Nous pourrons exprimer son intégrale qui est une fonction de j?, y, -j, ... à l'aide de l'identité
(2) ^ = Ge^"+y''+^"'+-,
cette valeur, substituée dans l'équation (1) donnera l'équation symbo-r lique
INTÉGRATION DES ÉQUATIOxNS 103
à laquellle on satisfera, en posant, entre les variables de généralisation, la relation
W(u, V, Wf ...) = 0,
que nous désignerons sous le nom adéquation caractéristique de l'équation proposée.
Par conséquent, à côlé de l'identité (2) nous aurons cette nouvelle relation.
Cela posé, s'il est possible de déterminer, à l'aide de cette équation, toutes les valeurs de u en fonction de v, w^ ••• qui y satisfont, valeurs que nous exprimerons par
u = /(v,u?, ...) u = /i(r, w, ...) u = f^{Vy u), ...) etc.,
nous aurons pour les valeurs de ^ exprimées par l'identité (2),
^ __ Ge^A^», «?» — ) + y^ +..•
z = Ge^^^'^' ^* •••) + y*' '^"\
Chacune de ces égalités exprime une fonction des constantes t?^ w, ... qui satisfait à Téquation proposée quelles que soient les valeurs de ces constantes ; par conséquent, en effectuant la généralisation, nous aurons autant d'intégrales de l'équation, chacune contenant une fonction arbitraire des variables indépendantes.
Le même raisonnement pouvant s'appliquer à chacune des variables de généralisation nous obtiendrons pour z autant de systèmes d'intégrales analogues à celui que nous venons de trouver.
Il est important de remarquer que toute relation qu'on établirait entre les variables de généralisation, ne satisfaisant pas à l'équation caractéristique, ne saurait conduire à une nouvelle intégrale de Téquation ; on peut conclure de là que nous obtenons par notre procédé toutes les expressions avec constantes arbitraires qui satisfont à Téquation proposée de sorte que Tintégrale complète ne saurait admettre d'autres fonctions arbitraires que celles qui sont renfermées dans le système d'intégrales que nous avons obtenu.
§ 56. Principe général. — Si Von considère deux ou plusieurs fonctions d'un nombre quelconque de variables m, y, z, ... définies par les identités
(i) Ge*" + !/^ + ^^ +••• = <f(x, y, z, ...),
(a) Ge*"' + y'H- ="'' +- = o,(a?, y, z, ...),
(3) Ge*«" + y' + =»""+••• = <p,(x.y,;î, ...),
les signes de généralisation G se rapportant aux variables u, v, w, ...
i06 CHAPITRE XIII
pour la première aux variables u', v', w', ... pour la seconde, et, ainsi de suite ;
Nous pou n'ons, étant donnée V équation symbolique
en multiplier ou diviser chaque terme par une fonction quelconque W(w, V, 16', ...) pourvu que les variables de généralisation u, v, w, ... soient changées en u\v\ w', ... pour le second terme, en w', t?*, uf, ... pour le troisième et aifisi de suite, et, écrire par conséquent la nouvelle relation
i Ge^"" + y^ + ^^^ ^'"F{u, V, w, ...) ^^(m, v, w, ...) J
(5) j -+- G^**' + y^'-^^^' +••• F,(w', r^ m;', ...) ^Xu\ v', w', ...) \=o
I -h Ge*^'*" + y^" + -"''' +••• F,(t/, V, w, ...) UX«^', r% w\ ...) H- ..,\
En se rendant compte de Topération que Ton eiïectue par la généralisation, on passe facilement de l'identité (4) à cette dernière; mais il est très simple de donner de cet important principe une démonstration directe et rigoureuse.
Si Ton remarque que l'identité (4) devant avoir lieu, quelles que soient les valeurs de ses variables x,rj, z, ... nous pourrons, sans troubler cette identité, substituer à ces valeurs x -r- p, y -^ q, z -^ r, ... et, par conséquent, l'écrire sous la forme
-h Ge^"' + y^'-+-^'^*' + - ¥,{u\ t?', î^\...)eP~' + 5^1^' + ''«''+••• -h ... =0 .
Cela posé, généralisons les deux membres de cet égalité par rapport aux variables p, q, r, ... en prenant comme équation de déQnition de la fonction V
Ge^i' + rq + lor +... ^ ^r(t,, r, W, ...),
nous obtiendrons la relation (5).
Il résulte comme conséquence de ce principe que si l'on voulait déterminer la valeur de l'expression
qui satisfait à Téquation symbolique
G(3^" + yi' + ^'- .. F(^^ r, m;,..) = Ge*^"' + y^' + *"'' +- ¥,[u', v\ w;'...) il suffirait de diviser les deux membres de cette équation par F (u, v, t/^.., et d'écrire conformément à notre principe
Qgji'w + yv -f cw -f ... __ (if,'Vu' + yy' + -«'' +— ^uif L^ » ^^ »•*
Le procédé que nous emploierons généralement, pour Tintégraiion des équations, consistera à représenter les fonctions connues et inconnues qui entrent dans les équations sous ia forme généralisatrice, de substituer dans les équations ces expressions et d'en déduire les intégrales h l'aide de la généralisation.
§ 57. — Le procédé que nous venons de reconnaître est d'une grande importance et d'un usage fréquent, nous allons l'appliquera la solution de quelques questions.
Soit F{x) une fonction donnée et proposons-nous de déterminer la fonction V(r) gui satisfait à la relation
W{cc -h fl) — m^Xcc -h 6) = F(a?).
En posant
W[x) = Gc^** et F(iv) = Gef^^ nous obtiendrons l'équation symbolique dont on déduit
effectuant la généralisation
Wix) = ^ m'^Fia) -h nô — (n -+- i)a).
Soit F{ixi) une fonction donnée^ on demande de déterminer la fonction ^\x) qui satisfait à l'égalité :
n = Qo
2 (— iTm^'^ix -4- an) = V{x).
Si nous posons
nous avons l'équation symbolique
n = QO .
n = O qu'on peut écrire
Ge^"' î = Ge^",
1 — me«^*
on déduit de cette équation,
W{x) = G^"' = G^**(i — mô«") = F(^) — mF{x ^ a).
§ 58. — Etant données les deux éqtiations
(i) ^{x -h a) — cp(ar -h ô) = F(ôc),
(2) cp(^ H- 5) -f- ^{x -h î;) = Fi(a?),
Proposons-nous : \^ de déterminei^ la relation qui doit existei^' entre les fonctions ¥(x) et Fi(a?) pour qice ces équations soient compatibles, en d'autres termes. Soit proposé d* éliminer ^{x) entre ces deux équations; 2" de déterminer la valeur de ^{x) lorsqtte ces équations sont reconnues compatibles.
En posant :
F{x) = Ge^' Fi{a;) = Ge^" ^(x) = Ge^**
et, en substituant dans les équations ces valeurs^ nous pourrons les écrire sous les formes symboliques
Ge^«(c'« -+- e'''*) = G^\ on déduit de ces deux égalités à l'aide de notre principe général
Ge^** = G
au
^au ^bu'
Ge^" = G
il en résultera
formule qui donne
Ge^^ =Gc^" ?-^ ^/
effectuant les généralisaitons
(3) ¥,{x)= V [F(x4-5 — a4-(ô — fl)n)-f-F(x-i-r— a-+-(6 — a)n)J
(4) F(x)= V . (— i)'»[Fi(a:-f-a— 54-(r— ^)n)— Fi(a?-+-6— s-4-(r— 5)n)],
Chacune de ces deux formules, qui sont équivalentes, répond à la première question.
Pour déterminer la valeur de ^(x) substituons à la place de œ dans l'équation (i) OD — a^ et, dans l'équation (3) x — «, nous obtiendrons ainsi :
^{oc) -h o(j? — « -f- r) = Fj(a? — s), équations dont on déduit
(5) ç(aî -+- 5 4- r) -h ç(a? — a -h 6) = Fi(ar — s) — F(x — a). En posant
cp (a?) = Ge^" et Fi(a? — 5) — F(a7 — a)= Ge^^
nous pouvons mettre l'égalité précédente sous la forme
dont on déduit
effectuant la généralisation à l'aide de la formule (10) du § 25 nous obtiendrons la valeur de <p(:r) sous les deux formes
<p(jr) = 2 ^"" ^^'^ ^ ^»^* — r H- (ô — a — r -+- 5» — n = —00 — F(a? — a — r-+-s-f-(ft — a — r-+- «)n),
(a^bW^l I ^ — ^y . 5, =-2Ey ^"
