ET A COEFFICIENTS CONSTANTS AVEC SECOND MEMBRE
§ 59. — Si nous désignons par z la variable principale, et par ar, y, ^,... les variables indépendantes, une pareille équation pourra^ dans tous les cas, être exprimée par :
dont nous allons chercher à déterminer une intégrale particulière, en admettant toutefois que le second membre n*est pas nul.
Comme la variable principale z est une fonction des variables t, y,... nous pourrons poser Tidentité symbolique
et par suite, en désignant para, b,... les accroissements finis que reçoivent les variables x, y,..., nous pourrons mettre le premier membre de Téquation proposée sous la forme
si, de plus, nous posons :
(2) <p(.r, y,...) = Ge^" + y*'+••• nous aurons :
dont nous pourrons déduire, à Taide de notre principe général, la valeur de z
(3) ;r = Ge^" +2/^ +•• = G
2A(e«" — lY^'ie^^ — l)^..w.V..•
DÉTERMINATION d'lNE INTÉGRALE PARTICULIÈRE .111
•Cette équation représente Tinlégrale particulière de Téquation proposée, en regardant Téquation (2) comme équation de définition de la fonction «p.
Dans le cas où la fonction donnée o{x, y, z,.,,) ne refermerait qu'un certain nombre des variables indépendantes, on annulerait dans l'expression généralisatrice qui représente cette fonction les variables de généralisation qui correspondent aux variables qui ne figurent pas dans cetle fonction.
La question de déterminer une intégrale particulière d'une équation linéaire aux différences ou différentielles partielles avec un second membre est ainsi réduite à un simple calcul de généralisation qui ne saurait présenter d'autre difficulté que celle de la longueur de l'opération.
§ 60. — Appliquons, en premier lieu, notre procédé à l'équation très simple
qui a comme intégrale z = ^ ?('^)'
Posons comme équation de définition de la fonction <p(a?) Gc^"= <?(a:)et, admettons que l'intégrale est donnnée par l'expression
z = Ge-^"',
en désignant par a l'accroissement fini de x nous pourrons écrire l'équation proposée sous la forme
Ge^"'(e«"'- i)=:Ge^^
dont on déduit
Ge^**' = G
^vu
^au ^
en effectuant la généralisation nous aurons :
formule que nous avons déjà fait connaître.
§ 61. — Soit, en second lieu, l'équation
AyAz- = cp(a7, y\ dont l'intégrale est : ;3: = ^^ Ç>(x, y).
Nous en déduirons de môme, en prenant Ge"^" "*" ^'' = o(.r, y) et z = Ge^^' + y^ l'équation symbolique
h étant l'accroissement fini de y.
Celte relation donne
On peut effectuer la généralisation du second membre par facteurs en remarquant que
*^ QO
Nous obtiendrons ainsi :
<p(a; -+- ou)V^ — I , y)di)tt
ao
?(aj..y) = / - -^= I ^^Z- 1 I î(^' y + 6u,'/^^)d«'.
W et ^^ étant deux fonctions arbitraires, G une fonction périodique de y et G' une fonction périodique de x.
En suivant la même manche nous trouvons que :
généralisation qu'il sera facilo d'effectuer par facteurs.
§ 62. — Proposons-nous d'intégrer l'équation j
^z -^ HZ = F{x),
dont Cauchy (exercice 1827, page 209) a donné l'intégrale sous la forme
