CHAPITRE PREMIER

§ 1. — Pour doDoer une définition précise de cette nouvelle opération que nous nous proposons d'introduire dans le calcul et que nous désignons sous le nom de géfiéraltsation représentons par

une fonction quelconque uniforme d'une ou plusieurs variables indépendantes a, b, Cy ... et, cherchons à reconnaître s'il existe une opération symbolique distributive, dont nous désignerons par G la caractéristique^ qui, appliquée à cette fonction, aurait pour effet d'éliminer les nouvelles variables u, V, w, .,. dans l'expression exponentielle c^** + **' + <^+— de telle sorte qu'on puisse écrire l'identité

quelle que soit la fonction <p.

Propoâons-nous en outre de déterminer la valeur de l'expression symbolique

(a) • GV(w, V, w, ...)

en appliquant à la fonction uniforme ^ (u, v, w, ...) l'opération que nous aurons reconnue capable de satisfaire à l'égalité précédente.

Pour répondre à ces deux questions, désignons par œ, y, z, ... des quantités que nous considérerons, d'abord, comme de simples constantes, et, substituons dans l'^alité (i) les valeurs x -i- a,y-\- 6, z -h c, ... à la place de a, by c, ... nous obtiendrons

(3) G^ + y'' + ^«'+--Xe«" + *''+^"'-^"==9(x-+-a, 4f + ô,^-^c, ..•

Cela posé, si nous écrivons l'expression (2), après l'avoir multipliée par -VlS^ 4- yt> + ^«^ +..., sous la forme

(4) Ge^" + y^ + -^"^ +- ^r(w, V, tr, .,.)

er les deux suivantes :

i plus expresse que, toutes une fonction des variables

imme préalablement mulcas, nous ferons figureroe

convention, il est toujours

» de ce facteur est absolu- Tie fonction pourrait, dans 'essions symboliques diffé-

e opération distributive G, ité (5) en séries ordonnées n remarquant que, pour le pperoent connu de l'expo-

M k l'aide de la formule de blés.

dx i.a 3a^ , dm tab d*o ''a-y + Ti3â-y+-

dz i.a dy*

!t en identiGant lescoeffi- \ obtient :

.) Gw=D.Y(a!,j,.ï....) ...) Gu'=D%<p(a),y,jr...)

I des considérations dans

Si Ton veut représenter les valeur de

^n posant comme définition de la fonction <p

(7) Ge«^ + *^ + '^•^ +••• = ç(x -+- a, y H- ft, ^ -*->, ...)

// suffit de remplace^' dans cette expression u par D„ v par Dy, w par D,, ^fc, €* rfe déterminer la valeur de V expression symbolique

(8) V (D„ Dy, D„ ...) ^ (ar^ y. z, ...)

loTsqyCon conçoit cette fonction W développée en série suivant les puissances des caractéristiques D,, Dy, D„ ... etqu*on effectue tous les coefficients différentiels indiqués.

Cela admis, le calcul de généralisation, effectué sur une fonction ^ {u, Vy u^,..), aura pour but de rechercher la valeur de cette expression

(8) valeur que l'on peut considérer comme complément déterminée à l'aide de l'équation (7), lors même que la fonction ne paraîtrait pas être développable (') suivant les puissances de ses variables.

§ 8. — La représentation d'une fonction, à Taide de Topération symbolique G, qui nous permet de poser pour toute fonction :

(9) ? (a? ^ a, y -h ft. ;3r -+- c, ..,) = GeF"* + ^'^ + ^"'^ •

présente le grand avantage d'exprimer, sous une même forme généralisatrice, non seulement la fonction elle-même mais tout coefGcient différentiel ou toute intégrale de cette fonction par rapport aux variables a, &, c, ... ou j?, y, z, ... par une opération algébrique qui consiste à multiplier le second membre, sous le signe G, par certaines puissances positives ou négatives de u, 17, u), ... On déduit en effet de l'égalité précédente :

^ = ^ = G«<^« + *'' + -+-g=g=Gt.e- + *'' + -+-etc.

/^u + ô» -I- eu; +... / / ifdx = G - Il ^dxdy

uv

(*) PoQr comprendre qu'âne fonction quelconque uniforme ^ {u^ v, w^ ...) peut, •«dans tons les cas, être considérée comme développable suivant les puissances de ses Tariables, soienta» ^, Yt ••• *^®' constantes, en posantu — a=p, v — ^ = q,w — y = "» ••• fions pourrons écrire l'identité :

W (u, t?, to. ...) = V (« + ji, p + gr, Y + «. ..0 si, maintenant, nous développons le second membre suivant les puissances de p, q, u, ... à Taide du théorème de Taylor et si nous remplaçons dans le résultat p. y, u, ... par leurs valeurs u — «, o — p, tu — y» ••• 1* fonction proposée pourra être considérée comme virtuellement développée suivant les puissances de ses variables.

Mm) ^{n)

^dx'^dy'' = G ^^n

Nous pouvons faire remarquer que si, dans ridentité (9), nous posons^ a = o, ô = 0, c= o, ... nous aurons, en reslituant dans le second nombre

le facteur 'C^** + y'' + '"' +"\ par lequel la fonction doit toujours êtrepréalablement multipliée

nous reconnaissons ainsi que toute fonction de x, y, s, ... peut toujours-

élre représentée par l'expression symbolique Ge^** + y»' + "^ +—

De même qu'à l'aide du calcul de généralisation, on peut déduire d'unepremière identité une seconde plus générale, nous pourrons, en opérant en sens inverse, passer d'une relation renfermant une fonction quelconque à une relation plus simple en substituant une valeur particulière à cettefonction, ou plus simplement en supprimant le signe G; nous désignerons- •etle opération' sous le nom de dégénéralisation.

§ 4. ^ Eclaircissons ce que nous venons de dire par quelques exemples.. Soit ridentité

^,. au aht^

4 au

En déGnissant la fonction o à l'aide de Fégalité

Ge*'* = <p (a? -+- a), nous déduirons de cette équation

Gi = <p(.x?), Gm rz- ^\x), Gu« =^ ^\x), ... Gu'» = ^^'%x), il en résultera

c'est le théorème de Taylor.

Réciproquement. Si, dans cette dernière relation nous posons <p(a?) = e^^ nous obtiendrons

^(x -h fl) = c^^+«)'*, çX^) = Me^«, <p'(a:) = wV»*, ... T^**>(a7) = u*'^*'

ces valeurs^ mises dans la formule de Taylor^ donnent en supprimant le

facteur commun ^'* le développement de ef^^ en série. § 5. — Soit proposé de délei^niiner la fonction ^'(x, y) qui satisfait à.

'Véquation atuc différences finies ou, en d*aulres termes, proposons-nous d'intégrer Véquation linéaire

^{Xy y) — a^ipo — 1 , y -h i) = 0.

Nous pouvons admettre que cette relation a été obtenue par la générai i- -sation d*une identité qu*il nous est facile de déterminer.

Comme toute fonction de deux variables peut être exprimée par l'expression généralisatrice Ge^** + ^ posons :

Cette valeur mise dans Péquation proposée donne :

en supprimant le facteur e^^ "^ ^^ et en dégénéralisant nous obtien- -drons :

relation dont on déduit

é^ = ae^ élevant les deux membres de cette équation à la puissance ou, puis, en les multipliant par e^^ nous aurons :

identité qui, généralisée, donne l'intégrale de l'équation proposée

V(a?, y) = af^^(x H- y),

^ désignant une fonction arbitraire.

On pourrait supposer, au premier abord, que cette expression ne présente pas l'intégrale complète en remarquant que l'équation i — a"** "*' ® = o résolue par rapport à e^ donne

en élevant les deux membres de cette égalité à la puissance y et en les .multiplant par e'^^ nous aurons

•et par suite en généralisant

8 désignant une fonction arbitraire.

C'est une nouvelle intégrale de l'équation proposée, mais il est facile de

reconnatlre qu'elle De diilère pas de la valeur de a^<p(â? + y) en remarquant qu'on peut récrire sous la forme a^jfl— (^ + y)6(a? -h y)|. § 6. — Soit proposé d'intégrer réguation linéaire

dz , dz , dx dy

Comme z est une fonction inconnue de œ et y, nous pouvons en exprimerla valeur par

puisque toute fonction à deux variables peut se mettre sous cette forme. Cette valeur de z substituée dans Féquation proposée donnera

en dégénéralisant celte expression et en supprimant le facteur e^** "*" ^^> nous obtiendrons

u -i- av — = oéi

Cette relation entre u et v nous permet d'établir l'équation suivante

^u + av-^b ^ 1,

dont on déduit

^u^^b^av

élevant les deux membres de cette équation à la puissance x et en les multipliant par e^^ il en résultera :

^œu 4- yi? __ gôa? + (y — aa:)v

par suite la valeur de z sera exprimée en généralisant les deux membres ;. nous aurons donc

z = Ge*'* + y^ = c^^G^^y -^> = e^'^WÇy — ax),

l'intégrale de l'équation proposée sera représentée par cette valeur, W désignant une fonction arbitraire.

§ 7. — Enfin, comme dernier exemple^ considérons la fonction généralisatrice des nombres de BemouUi :

nous en déduirons en remplaçant u par hu

en posant Ger'"^ = F(x) comme équation de déGnition de la fonction F(œ)f et, en généralisant les deux termes de celte identité nous obtiendrons

[¥{œ ^h-\-Bh)^ {F(x -+- Bh) = AF'(a7 -f- h),

e*est la formule fondamentale de la théorie des nombres de Bernoulii.

En multipliant les deux membres de l'identité = ^^ par e^^ — i

nous aurons

généralisant les deux membres, en posant Ger'^^ = /{z)^ nous aurons :

A») + Aa) H- A3) +... -t- An) = A» + B) - AB),

c'est la formule aomm/ztoire donnée par Mac-Laurin.

Nous allons dans les paragraphes qui vont suivre passer au calcul de généralisation proprement dit, en déterminant la valeur de Texpression GV(u, Vf tOf ...) représentée par le développement de

V(D^, Dy, D^, ...)?(x, y, z, ...) la fonction cp étant définie par la relation

^^ 4- a, y H- 6, ^ H- c, ...) = Giî*'* + *'' + ^"' +-

Nous montrerons ensuite quelques applications très-importantes qu'on peut faire de ce calcul.