GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE

§ 8. — Considérons une fonction V(ti) ne renfermant qu'une seule variable de généralisation et proposons-nous de déterminer la valeur de il^(u) représentée par V(D^) ff{x).

Si nous considérons la fonction «p comme définie par Tidenté

(i) <p(.r -4- a) = Gc*^

on comprendra aisément que la valeur de G^(u) doit être directement ou indirectement déduite de cette relation.

C'est ainsi qu'en différentiant cette équation par rapport à a nous en déduirons

<^''""" = -dâ f^'^ + ''> = â •?(* -^ *)•

Gc»"»» = £^ ?(« + a) = £^ <f{x + a),

et généralement

Ge^^M»* = — - o(x H- a) = -^ tp(a? -f- a),

eif en posant dans ces identités a = o, nous aurons

(2) Gi = <p(a7), Gii = <p'(^), Gu" — <p'(a;), ... Gu" = ç** (j?).

Si dans l'identité (1) nous posons successivement a = y ^ — 1 et a r:= — y^ — I nous en déduirons

et par conséquent

Gsinya = G^- ,.L= =— p=.U(a?-i-yv/— 1)— «p(x— y/— 0}

GÉNÉRALISATION DES PONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE 9

gy»V — I , g— yttv'— I 1 .j .

Gcosyw = G -^ =~ 1 <F(^H-y V — i) ■+- ?(a^— yv •— I

à l'aide de ces deux formules nous aurons en remarquant que

cos y(v — u) -.=z cos yv cos yu -h sin yv sin j/m, la relation

(3) Gcosy(i?— w)====M?(.:ï?-hyV^=l)e-y''^^-+-o(.r-yv^^=7)

§ 9. — Pour déterminer» d'une manière générale, la valeur de Texpression G^(u) lorsqu'on prend comme équation de définition l'équation

(i) Ge*«* = (p(j; -+- a).

Considérons l'intégrale connue

e ^** = - / cos hydy -s ■,,

en remarquant que

OD

e" ^" cos tydi, o

dans laquelle h a une valeur essentiellement positive, nous obtiendrons la relation.

(2) 6-A'*^î / / e-'^'hycostydydU

En généralisant les deux membres de cette identité par rapport à u^ nous en déduirons en prenant l'égalité (i) comme équation de définition

(3) <p(x — h) = - I I 9(x — t) cos //y cos iydydt.

Nous trouverons de même, en parlant de l'intégrale connue

dans laquelle h a également une valeur positive et en remarquant que

e sin tydt, o

*0 CnAPITRE II

la relation

, — hu

(4) 6-'''* = ^ I I e-^'^sin hyBintydydt.

et ea généralisant (5)

<p(a; — ^) = î 1 1 ç (â? — t) sin % sin iydydt. Ces formules (3) et (5) que nous pouvons écrire sous les formes

a rr

»30 /^QO

<p(^) z=z ^ I j o(t) sin % sin tydydt.

La première de ces formules exige <p(-— h) == ;p(A) et la seconde que <p(A) = — ^( — A] et réciproquement ; si Ton emploie ces formules le second membre se formera par les valeurs de o(h) relatives à h positif, et quelles que soient les valeurs de «( — h) d'après la nature de la fonction <p(À), ces valeurs donneront pour h négatif, ©(A) pour la première et — o(h) pour la seconde

En supposant, dans ces formules (3) et (5), la fonction ^(o?) égale à une quantité constante il en résulte les deux intégrales

rr

(6) I I cos hy cos iydydt ^-^ .

(7) / / sin hy sin tydydt = ^.

Maintenant, si nous posons dans la formule (2) te = u + v nous aurons :

^^nu^nv^^ I I e"''*-''' COS hy COS tydydt.

En généralisant celte nouvelle identité, d'abord par rapport à u en prenant comme équation de définition Tégalité (1) puis, par rapport à v, en

GÉNÉRALISATION DES FONCTIONS ll'vKE SEULE VARIABLE H

prenant Ge*'" = x(- -^ ") comme équation de définition, nous obliciFdroDB :

- l) cos A( ces ytdydl, cette formule combinée avec la formule (3) nous donne

^cc - h) yJit ~h) = l j j fix- t) -fiz nie combinée avec la formule (3) nous di ■^{z — h) I I f[x — t) coa hy cos tydijdt =

Il ïf*^ - '> X(= - ') ws hy COB tydydt.

relatioD qui montre qu'on peut dans Texpression

009 htf cos Iyç(a; — tyi(s — t)dydl

Imtc aorlir de l'intégrale un facteur yXz — l) pourvu que l'on remplace la TariablelparAet, réciproquement, on peut faire passer un facteur /(;: — A) saus les sigaes d'intégration en remplaçant k par t.

ËD partant de la formule (4) nous arriverons à la même conséquence pour l'intégale

?(a; — l)x(ï — () sio fty sîn tydydt.

Cela posé, si dans l'idenlité

nous remplaçons - par les formules (6) et (7) nous aurons

qiie nous pouvons écrire, en faisant passer les fadeurs v{k) ■+- »r( — h) ^{ — A) sous les signes d'int^ratioii

.^^/JV

} W(t) -t- »r(— () j cos hy cos lydydl -

+ î / / f 'PW - *■(- i 8in Ay »" 'y/y"

! Dous pourrons metlre sous la forme

V{h) ='^1^1 «r(() cos y(t — A]rf(]rfy

rmule de Fourîer. Elle s'étend à toutes les valeurs réelles poêj- ^gatlves de la variable h et convientgénéralenient& une fonction e, continue ou discontinue; une condition essentielle à laquelle itie la fonction consiste en ce qu'elle n'ait qu'une seule valeur une des valeurs de sa variable.

plaçant dans cette formule, h par u et C par v nous en déduirons ilieation & l'aide de la formule (3) du paragraphe précédent

écrire

•{x + y^ — i)e y" 'dvdy

j,v'-.)sin tjvdvdi/

ODS celle formule à quelques exemples :

posons ip(u) ^= cos au' nous aurons

- / j?(i^+yv'— i) + if(^ — yv' — l)jrfy / cosno'oosyitrf»