HC
la
qui donnent respectivement pour ^(x, y, z) - G<?*^** + ^^ "^ *"' les douze intégrales
(i) <?(.2;,.y, ;a) = ey-**G/^-y)«(i -^~^'*) ^ ,
îM-f
(3) o(.r,y, z)--^(-^ i)yey--Ge('^-y)"(i — c-^**) ^',
(5) ç(x, 2/, 5) = e^ - -Ge'y " •^•^''(i + e"") "^ ,
(6) ç(:c. y. ^) = ( - i) V"' - --Ge'y " ^)'^( i + e^"*) "^"~ ,
(8) ç(x, y, *) = (- if + 'é" - ^Ge'y - •^''■( i -1- e^"") '•»" ,
(9) o(x, y. ;r) = c* + -'Cei^^ + =•'% l — e^'") '" ,
(10) ç(a?, y, z) = (— i)ye-'' + VOe'^ + ^'«'(i — c^") ' .
(1 1) <i{x, y, z) = (- if e'^ + yGe<y + -)«'(i — e'"'") ^ ,
( 1 2) <?(a:, y, ^) = (- i)^ + 2/^^ + yCe^y + '^'''{ 1 - «^"0 '' ,
ce qu'il est facile de vérifier
Nous devons ajouter que si l'on veut que Tînlégrale complète, qui esl la somme de toutes ces intégrales, puisse représenter chacune de ces intégrales partielles ou seulement la somme d'un certain nombre, il faut au lieu des fonctions arbitraires introduites par la généralisation concevoir que chacune d'elles est multipliée par une constante que Ton pourra poser égale à o lorsqu'on voudra supprimer la fonction arbitraire relative à cette fonction ; nous écrirons en conséquence l'intégrale complète sous la forme
<f(^, y. z) = I G, + C,(- 1)' -t- C3(- iF + C,(- if + 1X
y-ff e* + yGe<'"-3')"(i — c-^") ■■'
-+- 1 C3 + c„(- lY -h c,(- if + c,(- if + ix
+ |C, + C.„(- i)î' + C..(- ir + C,,(- if + î'lx
En reconnaissant que les fondions arbitraires qui répondent aux quatre premières intégrales sont égales entre elles qu'il en est de même des qualres suivantes ainsi que des quatre dernières tandis que les intégrales de chaque groupe sont différentes.
§ 114. — Soit proposé de détei^miner la valeur de o(œ, y, s) = \ qui satisfait aux deux équations simultanées
d^\ d^y rzn^ .,
En posant
dx'"^ dy^ dz'^
d\ d\ d\ dx dy dz
Y __ ç^qXu 4- y» + ziv^
et en substituant cette valeur dans les équations proposées nous aurons, entre les variables de généralisation, les deux équations
«*' H- r^ -h to' -h ?n = G,
dont on déduit six systèmes de valeurs en les résolvant par rapport à 21, V et w^
(4) „ = îf}i/,,.+4m ^__î£^i^
^ ^ 2 2 V Jw 2 2 V .^
//î\ w 1. / „ 4w w i ^ / • .jm
Si Ton substitue dans l'expression de V les valeurs de u, v, w données le système (i) nous aurons
(7) y = Gev ^ r^ 2 V ^3r,
en faisant dans l'intégrale connue
IgO CHAPITRE XX
a = ^~^ et t = »» -t- ^ il en résultera
et par suite
la généralisation de cette formule que Ton peut effectuer par facteurs donnera une intégrale des équations proposées avec une fonction .arbitraire.
Le système des valeurs u, vei tv exprimées par les relations (3) donnera de même
(9) V = Ge
dont on déduira
De même le système des valeurs w, v et w exprimées parles relations (5) donnera
(il) V = Ge\ a / T^ a V» -1-3«,
dont on déduit
(12) V = A / e— Va>Ger > )" l )" ïiï^».
Les systèmes des valeurs u, v ei lo exprimées par les relations (a), (4) et (6) conduisent respectivement aux mêmes intégrales que les systèmes (i), (3) et (5) de sorte que l'intégrale complète des équations simultanées proposées se composera de la somme des intégrales (8), (lo) et (la) et contiendra trois fonctions arbitraires, s'il est reconnu que ces fonctions, introduites par la généralisation, sont bien différentes entre elles.
§ 115. — Soit encore proposé de déterminer la fonction V qui satisfait aux trois équations simultanées
d^ ^'V V ;t dK' dyds-^^^'
en posant
dy'^ dxds
d^V rf^V ^^^ dz^ ciœdy '
V = Ge'^ -{'yv + zw
nous en déduirons, entre les variables de généralisation, les trois équations
(i) u^ — VU) = a r* — uw = & ti?* — uv = c,
de ces équations résultent les deux équations suivantes
&w H- et? -h au; = 0, eu -h av -h bw .= 0,
qu'on peut considérer comme les équations caractéristiques des deux équations différentielles
^dW ^dW a — = o dx dtj dz *
dV ^dW j^^X^o dx dy dz '
qui représentent des intégrales premières des équations proposées En résolvant les équations (i) nous trouverons
a* — hc
fe* — ac
a* — oc
c* — ab
a* — bc
Ces valeurs mises dans Texpression de Y donneront
(o^ ~ bc)cs -h (68 — gç) y -}- (c — ah)z
l'intégrale complète des équations proposées sera donc exprimée par
(a2^bc)a !-}'(bi—ac)i/-\- ( o^'-ab)z (a^— bc)x - f (b^—ac)y -f {o^^a b)z
y__Qg v'a^a-* + 6' + o^ ^^Sa^Jj i (J g"" V'i^a» -f 6» + c» — 3aôo)
C| et Cg étant deux constantes arbitraires.
INTÉGRATION DE QUELQUES ÉQUATIONS QU'ON PEUT TRANSFORMER EN ÉQUATIONS LINÉAIRES
§ 116. — Proposons-nous d'intégrer V équation
(i) ^{œ -h a)^ cp(a? -4- by = F(a7),
F(a?) étant une fonction donnée.
En prenant les logarithmes des deux membres nous aurons l'équation linéaire
(2) m log «p(a7 -h a) -{- n log ^{x h- 6) = log F(a:), si nous posons
(3) log <?(a;) = Gfi*"',
(4) logF(a:) = G6^»,
nous aurons^ en supposant le second membre de cette. équation (2) égal à zéro, l'équation caractéristique
me^"' -H we*"' ==
dont on déduit
cette valeur mise dans Fidentité (3) donne
(5) logcp(x)= ^ C^y Jcosi-^^— ^.r^-smV-^— ^xv/-i;
Pour déterminer une intégrale parliculière de l'équation (2) avec second membre nous obtiendrons, à l'aide des expressions (3) et (4) subtituée dans l'équation, la relation symbolique
et par conséquent pour intégrale particulière
<6)0.-~log,(«) = G--^--^=i 2 (-?)'«ogF(.r-6+(a-i)p)
P = o par suite l'intégrale de l'équation sera exprimée par
log?(x)= ^ C^\^-j e
I nous pourrons donc écrire pour la valeur de f^(x) qui satisfait à Féqualion
: |>roposée (i)
§ 117. — Proposons'7ious de déterminer la fonction <p(^) qui satisfait à r équation plîis générale
F(a?) étant une fonction donnée
On transforme celte équation en équation aux différences linéaire en :|}renant les logarithmes des deux membres
(2) m log o{x -h a) -i- n log ^{x -h 6) -h ;) log (a? -4- c) -H... = log F(a?).
En supposant le second membre nul, et, en posant log ^{x) = Gô^** nous -obtiendrons comme équation caractéristique
Si donc, nous posons e^ = r il en résultera Téquation
<3) mr^ -i- nr* -h pr^ ^- ... = o,
en désignant par Vj^ Tune quelconque des racines de cette équation, nous
•aurons :
log ç(x) = 2 ^ki^hf^
et, par conséquent, l'intégrale complète de Téqualion (a) sera donnée par :
log <f{x) = 2 C*(»-a)^.
le signe £ s*étendant à toutes les racines de l'équation (3).
Pour déterminer une intégrale particulière de Téquation (2) avec second membre posons
log f^x) = Ge^, log F{œ) = G^»*',
nous aurons
et par conséquent
Ge^= log<p(x) = G — — . :-. -. ,
L'intégrale de l'équation (3) sera donc exprimée par :
-•ru'
log ç(a.) = 2^A(r*)* + G
me»" -1- ne*"' + ipc"" •+-
Nous aurons ainsi comme intégrale de l'équation proposée (1) que nous pouvons écrire sous la forme
Proposons-nous, comme cas particulier, de déterminer la fonctiort ^(x) qui satisfait à l'équation
Nous aurons comme équation (3) pour déterminer les racines r^
1 ^- r« -f- r^« -h... -h r(^- '>* = o, équation qui donne
Tu = cos 1- sin — Y — 1 = e^*^v — 1.
* ma ma ^ *
k étant égal à 1, 3, 3, ... ma — 1.
Nous avons d'aulre part
et par conséquent
Q <?'•' V F(ar + gtwy i) n = 30
w<r-"' -h «<?*«' -1- ptf-' +... g ^ ^^^ Y{x -f a(mn -f^') __ tt |F(a7 - f- amn)
^ = « Al F(a? + fl(ww-h i))
11 en résulte que l'intégrale de l'équation proposée donnée par la formule (5) Sera exprimée par
n = » * = om — I ,
'^ ^ ' I" (a? -t- aimn H- 1 )) ^ ^
Dans le cas où F(x) = i la valeur de ^{x) se réduit à
k = am — I
— -arv — I
A=i C*est ainsi que l'équation
aura pour intégrale ^{x) = C^~ ')' comme il est facile de le vériQer.
§ 118. — Soit proposé de déterminer la fonction ^{x) qui satisfait à réqimtion
(i) Fix)"^^"" + *> — F,(a?)?(^ + *) = o,
dans laquelle F{x) et F^{x) sont deux fonctions données. En passant aux logarithmes nous aurons
(î) log ^[x H- a) — log o{x H- 6) = log [^î[^.
équation linéaire aux différences que nous pouvons intégrer de la manière suivante :
Si nous posons
(3) Ge^»*' = log o{x),
(4) G^"=iogî^£^î, ^^' ® log h\x)
l'équation (2), en supposant son second membre nuU pourra se mettre sous la forme symbolique
186 CIIAPITKE XXI
et en déterminant é^^ de sorte que
nous aurons :
(T =z V * === cos T H- sin -r \i — 1,
et par suite, à l'aide de l'expression (3), il en résultera
(5) Iog?(x)= 2 ^A ('^°S'r=^ * "^ ^'" a^Tô •'^^'^ """')•
c'est riiitégrale de Téqualion (2) lorsque le second membre est nul.
Si, maintenant nous admettons que le second membre de Téquation (2) ne soit pas zéro, nous aurons, à Taide des relations (3)^ et (4) Téquation symbolique
et par suite nous aurons :
nous obtiendrons ainsi une intégrale particulière de Téquation (2) avec second membre.
L'intégrale complète de l'équation (2) sera donc exprimée par la somme des intégrales (5) et (6) soit
A = a — h — I log ^{po) = 2é ^^'(^^'*' a-^b~^ ^'" fl*"=^ V — ij-^
log {F^{x — a -h (b — a)n)
{F{x — a -h (6 — a)?iy
nous aurons donc pour la valeur de ^(x) qui satisfait à l'équation proposée
k = a — b — I a/tr.p / n = 00
Cette formule devient illusoire lorsque les fonctions F(./') et F, (a?) se réduisent à des constantes p et q.
Mais, dans ce cas, Téqualion se présente sous la forme
que I on Iransforme en équation linéaire
(s(x H- a) — —2-1 oÇx -f b) = 0, dont l'intégrale est donnée par Texpression
^ix) = ^ Ct ( ,— î^-i ) < cos r -H sin j V — 1 [,
§ 119. — Soit proposé de déterminer la fonction o{x) qui satisfait à Véqication
( 1 ) «(j: -+- af^"^^ — o{x H- ib)Fi<^) ^ 0,
F(j:) e/ F,(5:) étant des fonctions données de x.
L'équation donne en passant aux logarithmes Téquation linéaire
F (x) (a) log log G>(x -+- a) — log log o(x + b) = log ^'^j^j ,
que nous pouvons intégrer de la manière suivante.
Si nous posons
Ge^"' = log log ?(a?), Ge^" = log
jeu I„„ Pi(^)
réqualion (2), en supposant son second membre nul, pourra se mettre sous la forme
et en déterminant e** de sorte que
nous aurons
e^ = \ / 1 = cos
sin
et par suite à l'aide de Texpression (3) il en résultera
k=:a — b — I (5) log log cp(a?) r= ^ C;fc(cos ^^-;^ 07 M- sin —"^ a^
c'est rintégrale de Téqualion (2) lorsque son second membre est nul.
Si, maintenant, nous admettons que le second membre de l'équation (2) ne soit pas zéro, nous aurons à l'aide des relations (3) et (4) l'équation symbolique
•iia
et ]>ar suite
n = ac .xu
(6)Gc«''=loglog^a:)=G-4-T-.= V log ^'(•?:=^-;^=:^>
Nous obtiendrons ainsi une intégrale particulière de l'équation (a) avec un second membre.
L'intégrale complète de Féquation (2) sera donc exprimée par la somme des intégrales (5) et (6) soit
k = a— b — I log log ,p(.xO= 2 ^k («>s ~-i ''' -+- sin -~^ X ^^=1^ H-
, y log ^' ^^' — a -4- (ft - a)«)
Nous aurons donc pour la valeur de ^x) qui satisfait à l'équation proposée (1)
A^a — d — I , n = oo
aAïc ,
