ÎL£H A ^-+-B

diT dy""-^ dy'

déjà traitée par Laplace (Théorie analy. des prob. page 73).

En supposant que h est l'accroissement fini de œ posons comme intégrale

nous aurons en substituant cette valeur dans l'équation

Ge^+y''(t;^H-At?~-'^'^**— i) + B(;**-V''— 0''-+- .•• + N(^~-- if )==o équation qui établit entre les variables de généralisation t^ et v la relation

î?^ ^ Al?'*- ^(e^« — i) + Bi)**- V" — 0^ -^ - H- N(e^" — 0" = 0.

Désignant par m une quantité constante en posant v = m(e^^ — i), nous aurons

m** -h Am**- ' -h Bm^""^ 4- ... h- N = o.

Si donc nous représentons parm,, m^,... m,,, ... tn^ les n racines de cette

équation nous aurons v '= mJe^^ — i) et par suite pour ^r le n expressions

efiéctuant la généralisation nous obtiendrons n intégrales avec n fonctions arbitraires dont la somme satisfera à l'équation proposée. Nous aurons ainsi

si maintenant nous résolvons l'équation v=^mÂ^^ — i) par rapport à e^ nous aurons pour z les n expressions

hvy

et par conséquent

La somme des intégrales (2) et (3) donnera Tintégrale de l'équation proposée qui renfermera ainsi an fonctions arbitraires.

§ 110. — Soit pt'oposé d'intégrer V équation aitx différences mêlées avec coefficients variables

(0 ^^^ + Py?(^. y + = F(^. y).

P désignant une fonction quelconque, de y.

Si, désignant par 6(y) une fonction indéterminée de y, nous posons

cp(a?, y) = e(y) W{x, y),

INTÉGRATION DE oaEUJLES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES HÉLÉES 173

la substitution de cette valeur dans l'équation proposée donnera %) '^^^ + Pî,% + ■) '■(*. » + ■) = F(«^. J).

en déterminant la valeur de 6(y) de sorte que

(2) e(y) = PyKy + ")-

il en résultera

L'équation (a) s'intègre immédiatement, on y satisfait en posant :

pour déterminer la valeur de *P(x, y) qui satisfait à l'équation (3) nous supposerons en premier lieu le second membre nul, et, nous poserons

ti\x, y) = Gg'" + y", il en résultera

Ge^» + y (w H- e-) = o, nous aurons ainsi les relations e" = — u et u = — fi" qui donnent respectivement pour V(x, y)

Nous aurons ainsi comme intégrale complète de l'équation (3) sans second membre

(4) n«, rt == (- .)» ^i' + J^ f|=^, s& + »).

/ et £ désignant deux fonctions arbitraires.

Pour compléter l'intégrale, il faut déterminer l'intégrale particulière qui satisfait à l'équation (3) avec second membre.

Pour cela nous poserons

'l-(^, ,j) = Ge^ + y ^^P = Ge^' + *"', ii en résultera l'équation

Ge'" + !"'(« + e"^) = Ce*"' + «"',

et par conséquent

la somme des intégrales (4) et (5) donnera comme intégrale complète de l'équation proposée l'expression

n = ao

Si Ton représente la fonction arbitraire par l'expression

représentera une nouvelle fonction arbitraire, nous pourrons écrire :

§ lll- — Soit proposé de délerminer la fonction y qui satisfait aux dextx équations aicx différences finies

/,) WC^. y) = ?(«'—». y) + ?(»—»,«/— i),

/ <?(x-j-i,y+ i) = a?(aj, y— i).

En posant comme intégrale (a) ^(x, y) ==Ge^ + V,

noua pourrons écrire les deux équations sous les formes

Ge*» + y (i e- « e- « - f) = o, Ge^ + y (e« + " ae- ") == o,

équations qui seront satisfaites, si l'on établit entre les variables de généralisation les relations

on déduit de ces deux équations Cj = — i + i \/i-+-ia

sTi

âa

En mettant chacun de ces systèmes de valeurs dans la relation (a) nous aurons en effectuant la généralisation

(4) ,(.. y) = G, (-^)'i^T^a-^ r(vT:^-^^^-

Cj et Cj désignant deux constantes arbitraires

176 CnAPITRE xx

L'ÎQtégrale complète des équallons proposées sera donc exprimée par la somme de ces deux intégrales

Si nous posons

ç>(a7, y, ;?) = Ge^~ + ^^ + ^"^.

Nous déduirons des équations proposées entre les variables u v oX w les (rois relations

en résolvant ces équations, on trouve trois systèmes de valeurs pour e^^e^ eie"^

et, en substituant ces valeurs dans l'expression de ç(x, 7/, z)f on obtient les trois intégrales

<p(ar, y, ^) = Ge*,

il en résultera, comme Gi est une constante arbitraire, que Tintégrale complète des équations simultanées proposées sera exprimée par

d9 d'p do

En posant nous pourrons écrire les deux équations sous les formes

Ge'^« + y" + ^"'(u -H r -. w) = 0,

équations qui sont satisfaites, si Ton établit entre les variables de généralisation les relations

^u + vw^ 1,

en substituant cette dernière équation à la relation u -^ v — to = o. En résolvant ces deux équations par rapport aux exponentielles

e^, é^, e^, chacune d'elles étant une fonction des autres, on trouve les douze solutions suivantes :

a gto

, — au

"=— c-"(i— e-»") âc«' = — (i — c-="*) ■\