CHAP. XII. — LKS LOIS DE LA STATISTIQUE

Soient :

f'), <?2, •• -, e„ les écarts relatifs à cliacune de ces catégories; p la probabilité d'un sinistre.

La somme probable à pajer sera

et la part proportionnelle de celui qui doit recevoir a, est

P ^1 ( 'M ^1 — ;j^2 ota — ■ ■ ■ + ;JL„ t„ ) a, -- a, — ... -X- a,,

Vécart de la somme à payer, c'est-à-dire la dififérence entre la somme prévue et celle qui sera réellement due, est pour la Gompagtiie

a,ei-h aaCo-h-. .. + a„e„.

Les écarts e,, e., .. ., e,, ayant des valeurs probables égales à zéro, amsi que leurs produits deux à deux, le carré de celte expression a même valeur probable que

Si le sinistre dont la probabilité est /> était assimilé à un tirage au sort dans une urne de composition invariable, la valeur probable de ej serait ^,p{,-p)^ et celle de la somme (lo) aurait pour valeur

La part correspondante de l'assuré qui doit recevoir a, serait

a//>(i— /?)f;-t|af — U2a|-+-...H- [Xn^-n) a, -r- a.2 -H . . . — a„

Cette évaluation, déduite d'une assimilation que rien n'autorise, ne doit inspirer aucune confiance.

236. Je terminerai ce Chapitre en indiquant une loi remarquable de probabilité proposée par Gomperlz, et qui, dans des limites assez écartées, paraît s'approcher de la vérité.

La condition arbitrairement imposée à la fonction inconnue est

3o8 CALCUL DES PROBABILITES.

que la probabilité pour que deux individus d'âges connus vivent l'un et l'autre après un nombre donné d'années soit proportionnelle à celle pour qu'un troisième individu, d'âge convenablement choisi, vive lui-même après ce même nombre d'années.

Si o{z) désigne, pour un nombre donné de naissances, le nombre des survivants à l'âge z, la condition demandée est exprimée par l'équation

fia + ^) ^(b + x) ^ ^ y(c + ^) ^ ^^'^■> o{a) ~ o{b} o{c)

Cette équation doit avoir lieu quel que soil œ, quand on choisit pour G une fonction convenable de a et de b.

o(a^ .r^ ^^ ^^ effet, la proljain'lité pour qu'un individu dont

l'âge est a vive encore dans n années.

En prenant les iogariliimes des deux membres de (12) et posant l(o{u) = F(w), la condition devient

H étant une fonction de a et de b indépendante de x. En prenant la dérivée par rapport à x et posant

F'(u)= 'b(u), on a

(i3) 'i^ia ^ x) -h 'l>(b -^x) = '\i{c-hir);

|)ar conséquent, en faisant ^ ^ o,

on doit avoir aussi

(i5) ih(a-i- dx) -\- <\i(b -h dx) — 'bic -<^ dx)

et, en retranchant, 1

(16) 'h'ia)-i-'y{b)^'h'(c). I

Les seconds membres des équations (i4) et (i5) sont fonctions de c; ils dépendent donc Tun de l'autre. Il doit en être de même des premiers membres, et une relation doit exister entre les deux

CHAP. XII. — LES LOIS DE LA STATISTIQUE. SoQ

fonctions

I.a condition nécessaire et siiHisanle pour qu'il en soil ainsi est que le déterminant fonctionnel soit nul. Écrivons donc

Telle est l'équation qui détermine 6. Si l'on suppose que ni -V ni -V' ne soient nuls, on aura

on en déduit aisément

'Viz) = Ge*^

et, successivement,

J;(C.) = Htf/- -4- Cl,

H,, C|, C-2 et k sont des constantes.

('.ette formule, plus -générale que celle de Gompertz, a été proposée |)ar Makeham.

Gompertz suppose G, et Go égaux à zéro et prend

'■i{z) = Ge»''^

J'ai déterminé les coefficients par la condition d'accorder autant que possible les coefficients avec les meilleures Tables connues. Les résultats sont donnés par le Tableau suivant :

o(z) = Ge»'-'%

cp(3o)=89o, cp(6o) = 584, 0(90) = i6,

K= 0,071485, logK = 8,8J42i46,

H =— o,oo6J46i, lo<,'H = 7,8159811,

G^ 941,160. log G = •2,9736634.

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