V-{P\-^Pi-^Pz^...-^p

Sur (in même nombre u/î de tirages dans la première urne, le nombre probable des boules blaiiclies serait

\i np .

Ces nombres sont égaux, puisque, par bjpolbèse, la moyenne

P\-^P-l-^Pz^...-^ Pn

est égale à p.

Les chances d'écart sont très diiïerentes.

Dans le cas des a/? tirages faits dans l'urne (|ui donne à la sortie d'une boule blanche la probabilité p, si l'on désigne le nombre des boules blanches sorties par

\xnp -i- z,

la valeur probable de z- est (62)

^~) \J.np(i — p).

Dans le cas des /? séries de |a tirages cpii forment la seconde épreuve, les nombres de boules blanches pourront être représentés par

l'écart entre leur nombre total et le nombre le plus probable sera

dont le carré peut être rej)résenté par

(8) 'ï.zJ-^'i^ZiZi'.

La valeur probable de ZiZf est nulle, quels que soient i et i' ; celle de z'j est

La valeur probable du carré de l'écart dans l'ensemble des a/? B.

3o6 CALCLL DKS PROBABILITÉS.

épreuves faites clans n urnes différentes est

La différence des expressions (7) et (9) est, on le voit aisément,

elle est essentiellement positive, et la valeur probable du carré de l'écart dans le cas d'une seule urne est, pour une même probabilité moyenne, plus grande que pour les urnes associées.

235. Les remarques précédentes peuvent s'appliquer à la théorie des assurances. Le bénéfice d'une Compagnie d'assurances sur la vie, par exemple, dé[)end du nombre des décès qui surviendront dans l'année parmi les assurés. Ce nombre se compose de deux parties : un terme fixe, proportionnel au nombre des assurés et donné par les Tables, et un terme aléatoire, inconnu de grandeur et de signe, que nous nommerons Vécart. Le premier terme fait connaître la valeur équitable de la prime à payer, le second représente les variations du bénéfice annuel; il est très probablement petit par rapport au premier, si le nombre des affaires est considérable.

L'appréciation réduite à ces termes vagues n'est pas contestable; mais il n'est pas permis de la réduire en formule en assimilant les écarts à ceux que peuvent produire des tirages au sort dans une urne de composition fixe.

Si l'on considère, par exemple, une Compagnie d'assurances mutuelles contre l'incendie, la part de chacun dans la répartition des sinistres variera d'autant moins, toutes choses égales d'ailleurs, d'une année à l'autre, que le nombre des assurés sera plus grand et que les sommes assurées à chacun différeront moins de l'égafité.

Soient :

UL, le nombre des assurés à qui la prime à payer en cas de sinistre

est a, ; UL2 le nombre de ceux |)0ur qui la prime est a,^ ;

^a le nombre de ceux pour qui elle est a„.