XL PRÉFACE

Lorsqu'on 17G1, après soixante-dix années d'attente, les astronomes de tous les pays distribuèrent sur la portion du globe désignée par Halley plus de cent observateurs du passage de Vénus, — la crainte du mauvais temps et Témulation du zèle pour la Science en accrurent ainsi le nombre, — on croyait la méthode infaillible, et deux observateurs soigneux, Halley l'avait prouvé, pouvaient sans aucun associé donner la parallaxe exacte au centième de seconde. Go observations, au lieu de 2, faisaient espérer par leurs combinaisons 1770 déterminations identiques. La déception fut grande; les résultats variaient entre 7" et 11". En combinant i5 observations européennes avec celle du Cap de Bonne- Espérance, Short trouva une moyenne de 8", 47. L'observation de Tobolsk, combinée avec i5 autres, donnait 9% 56 ; en en supprimant 4, il restait 8 ",69. Ces 4 observations, 2 de Stockholm et 2 de Tornéa, comparées à celle de Tobolsk, auraient donné plus de 1 \". L'opération était à refaire. Rien ne fut épargné en i7(k), le succès fut pareil. En combinant les observations sans règle et sans méthode, les calculateurs du xviii'^ siècle n'en purent montrer que l'incertitude. Encke, en 1822, voulut reprendre dans leur ensemble les résultats des deux expéditions, et, par un prodigieux travail, appliquant dans toutes ses prescriptions la méthode des moindres carrés, il obtint 8", 6776. L'erreur probable était o",o370.

Cette expression à' erreur probable exige une explication : l'erreur probable est celle qu'il y a chance égale d'atteindre ou de ne pas atteindre; de celle-là, nous l'avons dit, on déduit toutes les autres. Contre une erreur huit fois plus grande il n'y a pas, dit la théorie, i chance sur i milhon. C'est justement celle-là qui s'est produite. La parallaxe, aujourd'hui bien connue, surpasse le résultat d' Encke de huit fois son erreur probable. Tous ces calculs devaient être

LES LOIS DU HASARD. XLI

stériles, rien ne garantissait contre les causes constantes, et le nombre des observations douteuses n'était pas assez grand pour assurer une compensation.

Tout semblait débattu sur les universaux, et tout oublié. M. Quetelet, sans réveiller ce vieux problème, a cru sérieusement le résoudre, et, dans un livre riche de laits judicieusement recueillis, a voulu définir et préciser le mot homme indépendamment des hommes particuliers considérés comme accidents. Sans discussion ni subtilités, le patient auteur attribue à son type, par définition, la moyenne de chaque élément variable d'un homme à l'autre. En relevant, par exemple, les tailles de 20 000 soldats, on a trouvé pour moyenne i'°,7'); telle est la taille de l'homme moyen; autour d'elle, dans la série des mesures, se groupent les tailles plus grandes ou plus petites, exacteuieut graduées suivant la loi des écarts. Rien ne distingue les tailles des conscrits des mesures qu'un observateur très maladroit aurait prises 20000 fois de suite sur un même homme de i"',75, avec des instruments bien grossiers, il faut le supposer, mais corrigés de toute erreur constante.

M. Quetelet, dans ce rapprochement, voit une identité; nos tailles inégales sont pour lui le résultat des mesures très mal prises par la nature sur un modèle immuable, qui, seul, révèle tout son savoir. i"',75 est la taille normale; pour avoir un peu plus, on n'en est pas moins homme, mais ce qui manque ou dépasse pour chacun est erreur de nature et monstruosité.

Abailard, si habile à raisonner des choses, aurait réduit

l'argument en forme, mais on ne remue plus de telles subtilités. M. Quetelet, sur ce vieux champ de bataille des écoles, n'a rencontré ni défenseurs ni adversaires,

La thèse a cependant plus d'un inconvénient. L'homme idéal, dit-on, représente en toute chose la moyenne de l'humanité. Cela paraît très simple et très clair, mais ces détails, définis par règle et par compas, comment s'ajustent-ils? La hauteur de la tête, par exemple, pourra, pour l'homme moyen, se calculer par deux méthodes : on peut prendre la moyenne des longueurs, ou, pour chaque individu, le rapport de la tête à la hauteur du corps, puis la moyenne de ces rapports. Les résultats sont différents : comment les accorder?

Grave difficulté et inévitable écucil! Pour le montrer avec évidence, cherchons entre deux sphères la sphère moyenne; l'une a pour rayon i; nous choisirons les unités de manière à représenter également la surface et le volume par i. La seconde sphère a, je suppose, poui" rayon 3, pour surface 9 et pour voUime 27; ces chiffres sont forcés. Les moyennes 2, 5 et 1 4 sont incompatibles; une sphère de rayon 2 aurait pour surface 4 et pour volume 8 très exactement; aucune concession n'est possible, nulle sphère n'est difforme. Un homme malheureusement peut l'être, et M. Quetelet en profite; en associant le poids moyen de 20000 conscrits à leur hauteur moyenne, on fera l'homme type ridiculement gros et, quoi qu'en ait pensé Reynolds, un mauvais modèle pour un peintre. Cet artiste éminent, dans ses leçons sur les Beaux-Arts, avait, avant Quetelet, signalé dans l'homme moyen le type de la beauté parfaite. Si tel était le cas, a dit Sir John Herschel, la laideur serait l'exception. Je n'en aperçois pas la raison. Aucun trait de la beauté parfaite ne serait rare; distribués sans convenance, ils seraient sans mé-

LES LOIS DU HASARD. \IAU

rite. L'harmonie fait la grâce. Le hasard appellerait sans doute peu d'élus, et, n'en déplaise à Sir John Herschel, dans les assemblages incohérents, si la laideur formait l'exception, le grotesque deviendrait la règle.

Dans le corps de Thomme moyen, l'auteur belge place une âme moyenne. Il faut, pour résumer les qualités morales, fondre vingt mille caractères en un seul. L'homme type sera donc sans passions et sans vices, ni fou ni sage, ni ignorant ni savant, souvent assoupi : c'est la moyenne entre la veille et le sommeil; ne répondant ni oui ni non; médiocre en tout. Après avoir mangé pendant trente-huit ans la ration moyenne d\m soldat bien portant, il mourrait, non de vieillesse, mais d'une maladie moyenne que la Statisti(jue révélerait pour lui.

L'apphcation du calcul aux décisions judiciaires est, dit Stuart Mill, le scandale des >Lithématiques. L'accusation est injuste. On peut peser du cuivre et le donner pour or, la balance reste sans reproche. Dans leurs travaux sur la théorie des jugements, Condorcet, Laplace et Poisson n'ont pesé que du cuivre.

La réunion, quelle qu'elle soit, qui peut juger bien ou mal, est remplacée dans leurs études par des urnes où l'on puise des boules blanches ou noires. « On peut, dans plusieurs cas, - a dit Laplace, le plus grand des trois, le moins imprudent, et incomparable aux deux autres, — résoudre des questions qui ont beaucoup d'analogie avec les questions qu'on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et

^^ï^ PRKFACK.

à nous garantir des erreurs et des dangers auxquels les mauvais raisonnements nous exposent. Une approximation bien conduite est toujours préférable aux raisonnements les plus spécieux. »

Rien n'est plus sage : les lionnes approximations valent mieux que les mauvais raisonnements: mais il n'v a, malgré cela, moyen ni apparence de les réduire en acte pour rendre la justice meilleure que les juges. On peut assurément supposer le nombre des boules noires égal à celui des jugements mal rendus, les deux problèmes n'en restent pas moins fort différents et, pour tout dire, sans analogie.

Un juge, supposons-le, se trompe une fois sur dix. Condorcet et Poisson l'assimilent à une urne contenant 9 boules blancbes et 1 noire. Le sort des accusés resterait-il le même?

Sur 1000 épreuves, la boule noire sortira 100 fois, tout comme, sur 1000 jugements, 100 seront mal rendus. Les nombres se ressemblent, tout le reste diffère. Quand un juge se trompe, c'est que le cas sans doute est complexe et ardu. On condamne à coup sûr le coupable qui avoue, on acquitte en hésitant celui que l'on n'a pu convaincre; les 100 boules noires de l'urne se montreront le môme nombre de fois, mais tout autrement. Condorcet répondrait peut-être que pour la société, qui seule l'intéresse, le dommage et l'alarme resteraient les mêmes et qu'ils dépendent du nombre des crimes impunis et des innocents déclarés coupables. Mais une autre objection est sans réplique : l'indépendance des tirages est supposée; les urnes, dans les calculs, échappent à toute influence commune. Les juges, au contraire, s'éclairent les uns les autres, les mêmes faits les instruisent, les mêmes témoignages les troublent, les mêmes solHcitations les tourmentent, la même éloquence les égare, c'est sur les

LES LOIS DU HASARD

mêmes considérants qu'ils font reposer la vérité ou l'erreur, l /assimilation est impossible.

« Condorcet a pris possession de l'univers moral pour le soumettre au calcul. » C'est la louange qu'on lui a donnée; on s'est demandé si c'est après l'avoir lu. Dans son Livre sur La probabilité des jugements, il se propose d'abord deux problèmes. Premièrement : Quel est, pour chacjue jugement et pour chaque juge, la probabilité de rencontrer juste? En second lieu : Quelle est la probabilité d'erreur à laquelle la société peut se résigner sans alarmes?

La première question lui semble facile.

« Je suppose, dit Condorcet, que l'on ait choisi un nombre d'hommes véritablement éclairés et cju'ils prononcent sur la vérité ou sur la fausseté de la décision. Si, parmi les décisions de ce tribunal d'examen, on n'a égard qu'à celles qui ont obtenu une certaine pluralité, il est aisé de voir qu'on peut, sans erreur sensible, les regarder comme certaines. »

C'est un concile infaillible, tout simplement, qu'il définit et prétend convoquer. Sans douter, il hésite; non que les hommes véritablement éclairés soient rares, gardons-nous de le croire, mais leur temps est précieux; pour l'épargner, Condorcet propose une seconde méthode dont Poisson, plus tard, n'a pas aperçu l'illusion. La probabilité d'erreur étant supposée pour un juré, on peut, en augmentant leur nombre, la diminuer sans limite })0ur l'ensemble. L'instrument est trouvé, on n"a plus qu'à choisir. « Que l'on compte, dit Condorcet, combien il périt de paquebots sur le nombre de ceux qui vont de Calais à Douvres, et qu'on n'ait égard qu'à ceux qui sont partis par un temps regardé comme bon par les hommes instruits dans la navigation. Il est clair qu'on aura, par ce moyen, la valeur d'un risque que, pour les autres comme pour soi, on peut négliger sans imprudence. »

Préfère-t-on le danger de périr au Pont-Saint-Esprit, quand on descend le Rhône de Lyon à Avignon? Les honnêtes gens s'y exposent sans frayeur. Veut-on, pour le faire court, la probabilité ^ ,^ ^ '. ,. ^ ? Il ne faut que dire oui. Je n'invente ni n'exagère. Dans une assemblée de 65 votants, on exigera la majorité de 9 voix. Deux conditions seulement sont supposées : chaque juge, isolément, ne doit se tromper qu'une fois sur cinq. En jugeant la même cause, le raisonnement proposé le suppose, ils ne doivent pas non plus être exposés aux mêmes chances d'erreurs.

Lorscpie, 8 ans plus tard, Condorcet préférait le poison à une justice suspecte, s'il eût pu s'assurer en des juges courageux et honnêtes, il n'en aurait pas exigé 65.

Laplace aborde très modestement le problème des jugements : » La probabilité des décisions d'une assemblée dépend, dit-il, de la pluralité des voix, des lumières et de l'impartialité des juges. Tant de passions et d'intérêts particuliers mêlent si souvent leur influence qu'il est impossible de soumettre le résultat au Calcul des probabilités. » Il Fy soumet pourtant, et Poisson, en fondant, dans son Livre, sur des principes certains, des applications à peine douteuses, a cru suivre son illustre exemple. Laplace cherche d'abord, pour les assemblées, le meilleur système de vote. Il est rare que l'on puisse, en répondant oui ou non, exprimer toute son opinion. Plusieurs propositions, presque toujours, sont relatives aux mêmes oi)jets. Le calcul, suivant Laplace, ne conseille pas de les mettre aux voix successivement. Voici ce qu'il faut faire : chaque votant recevra un nombre illimité de boules, et l'on passera, pour recueiUir les votes, autant d'urnes qu'il y a d'opinions en présence, en invitant chaque votant à verser dans chaque urne un nombre de boules proportionnel à la probabilité qu'il attribue à la proposition

LES LOIS DU HASARD. -XLVII

correspondante. Docile à la théorie du probabilisme, chacun résistera à la tentation de verser sa provision tout entière dans Turne favorable à l'opinion qui lui agrée le plus.

Les assemblées n'ont pas tenté l'épreuve; elles cherchent le sûr, comme Pascal, le probable ne leur suffit pas.

Laplace, reprenant une idée de Condorcet, cherche dans le compte des votes concordants ou discordants des divers juges la chance qu'ils ont de prononcer juste. Se séparant pourtant de Condorcet sur un point de grande importance, il fait varier cette probabilité d'une cause à Tautre, mais la fait, dans chaque cause, égale pour tous les juges; la seule donnée introduite est le nombre des juges favorables à chaque opinion. Si un jury de douze nègres prononce sur le vol d'une banane, la probabilité de bien juger sera, d'après la formule, précisément la même, à majorité égale, que pour douze conseillers à la Cour de cassation décidant une question de droit.

La probabilité, dans les calculs de Poisson, reste la même pour toutes les causes; il n'ignore pas (|u'elle peut varier, mais il croit obtenir, sans doute, une de ces approximations bien conduites dont parle Laplace.

Une urne contient des boules noires ou blanches; la proportion est inconnue; il suffira, pour la découvrir, de faire un grand nombre de tirages. Le rapport du nombre des boules blanches sorties au nombre total des tirages fera connaître leur proportion dans l'urne. La vérité, malheureusement, aussi différente de l'erreur que la couleur blanche l'est de la noire, ne s'en distingue pas si facilement.

Supposons, en second lieu, deux urnes en présence. On

ignore la proportion des boules noires ou blanches, et, à

chaque tirage, on fait connaître, non la couleur des boules,

mais leur accord seulement ou leur désaccord. On ne pourra

par de telles épreuves, si souvent qu'elles soient répétées, déterminer la composition des urnes, mais seulement renfermer le doute dans des limites plus ou moins étroites.

En consultant trois urnes au lieu de deux, le problème se résout exactement. Si, tirant une boule de cbacune, on sait quelles urnes s'accordent à donner même couleur, l'épreuve, suffisamment répétée, fera connaître, avec telle probabilité qu'on voudra, la composition des trois urnes, sans distinguer toutefois les cas où les noires seraient cbangées en blancbes, et réciproquement.

Poisson et Cournot substituent aux trois urnes les trois juges d'un même tribunal. Si Pierre, Paul et Jacques prononcent sur un grand nombre d'affaires, on pourra, sans savoir si leurs décisions sont justes ou injustes, connaître leurs différences d'opinion. La formule qui révèle les boules blancbes des urnes s'appliquera aux cbances de bien juger, en repoussant toutefois, pour cliaque magistrat, la probabilité de se tromper plus d'une fois sur deux. Mieux vaudrait sans cela, après avoir vu, lu, relu, paperasse et feuilleté les pièces du procès, jouer, comme faisait Bridoye, la sentence à trois dés.

Les deux problèmes assimilés par Poisson sont, en réalité, très différents. Si Pierre et Paul s'accordent souvent contre Jacques, il peut se faire qu'ils aient, sur certains cas douteux, une opinion pareille et que, en la repoussant, Jacques comprenne mieux la loi. Peut-être Pierre et Paul montrent-ils pour certains plaideurs une même indulgence, pour d'autres une égale rigueur. Pour être plus éclairé, plus droit, plus impartial, Jacques alors serait diffamé par la formule. Si Paul, quand un de ses collègues a opiné le premier, n'a pas la hardiesse de le contredire, la formule y verra une preuve de son mérite. Est-elle digne de confiance? Sans s'arrêter à

LES LOIS DU HASARD

des difficultés aussi visibles, Poisson n'a pas craint d'assigner, pour un juré pris au hasard, la probabilité de décider juste. D'après l'ensemble des documents interprétés par ses calculs, chaque juré, en France, se trompe une fois sur trois. C'est beaucoup : Condorcet n'en demanderait pas davantage. Quelques centaines de ces jurés sans lumières lui suffiraient pour promettre, au nom de la Science, aux accusés innocents toute la sécurité d'un joyeux touriste qui, par un temps serein, s'embarque sur une mer sans écueils.

L'action libre des êtres humains, celle aussi des animaux, quoi qu'en ait dit Descartes, mêle à l'enchaînement des etTets et des causes un élément inaccessible au calcul. La liberté du choix produit, à parler rigoureusement, les seuls cas fortuits.

Les lois du hasard étendent plus loin leur domaine. Un homme agite un cornet, lance les dés, doucement ou avec force, à droite ou à gauche, use sans contrainte de son hbre arbitre; il amène sonnez i fois sur 3G.

On substitue au bras de chair des organes de cuivre et d'acier. Une machine jette les dés, les ramasse, les lance encore, mue par la force aveugle d'un ressort entretenue par d'autres ressorts. Tout est déterminé; un géomètre calcule à l'avance la succession des points. La formule donne sonnez \ fois sur 3G.

Tous les soldats d'une nombreuse ai-mée sont appelés tour à tour à dire un nombre moindre que 7, le premier venu. Dans leurs réponses, inscrites deux par deux, on rencontre deux G I fois sur 3G.