Le calcul dool parle Foiirier est celui des moyennes

Lorsqu'un événement douteux peut se présenter de plusieurs manières entre lesquelles prononce le hasard et qu'une certaine grandeur résulte de chaque épreuve, la valeur probable définie (47 ) différera de moins en moins de la moyenne des valeurs obtenues.

La probabilité d'une différence supérieure à un nombre donné, si petit qu'il soit, tend vers zéro quand le nombre des épreuves augmente.

Soient A,, "k-i, • • • , ^H les valeurs possibles d'une grandeur, y»,, P2. . . , pn leurs probabilités. La valeur probable de la grandeur est par définition

/)lXi-|-/?2'*^2-+-. . ■^Pn^'^n

Si l'épreuve renouvelée un i^rand nombre de fois donne successivement les valeurs ^,, j?^, . . . , j?^, la moyenne arillimétique

différera peu, si a est grand, de la valeur probable G.

Rien n'est certain, bien entendu, mais la valeur probable du carré de la dilTt-rence

tend vers zéro lorsque ij. augmente. Lorsque la valeur probable d'une grandeur tend vers zéro, on n'en peut rien conclure. De grandes valeurs positives peuvent avoir grande probabilité, aussi bien que les grandes valeurs négatives qui les compensent; il en est autrement quand la valeur probable d'un carré est très petite. Toutes les valeurs possibles étant de même signe, aucune ne peut à la fois n'être pas très petite et ne pas avoir une probabilité très petite. La probabilité pour que la valeur surpasse un nombre donné tend nécessairement vers zéro.

Nous considérerons, dans le cas actuel, l'expression essentiellement positive

pour démontrer que sa valeur probable tend vers zéro.

L'expression (i) peut être remplacée, en adoptant une notation bien connue, par

A,, A2, . . . , ).,/ désignant, comme on l'a supposé, les valeurs possibles de X,, .^2, . . . , Xn et/),, p^, . . . , pa leurs probabilités, la valeur probable de x] est

Représentons-la par H; x'\, x\, ..., x^ ont même valeur pro-

CHAP. V. — DEMONSTRATIONS DU THEOREMK DE BERNOL'LLI. 93

bable, j3uisque rien ne les distingue. La valeur probable de I,xf est, donc uiH.

La valeur probable de xiXi' esl (48) le produit de la valeur probable G de Xi par la valeur égale G de Xi'.

La valeur probable de Xi est G.

i,a valeur probable de la somme (2) est donc

Il ,U2

qui se réduit à

Quels que soient H et G, elle tend vers zéro lorsque u. augmente.