Le théorème précédent a de nombreuses applications

Pierre joue à un jeu de hasard. S'il gagne, il recevra une somme b, enjeu de son adversaire; s'il perd, il dotmera une somme a. ly,i probabilité de gagner est p, celle de perdre esl q. Le gain probable à chaque partie est

pb — qa = G.

La valeur probable du carré du gain est

pù-^^q{—af^pù'^—qa^^ H.

Si donc, après u parties, on nomme X le gain, positif ou négatif, résultant de ces [j. paities, la valeui- probable de

est

=: ' '- '- '- = pq

[ji \y [J-

En multipliant l'expression (4) par jx-, la valeur probable sera multipliée par |j.^, et

]xpq{a-^ 6)2

g6 CALCUL DES PROBABILITÉS.

est, par conséquent, la valeur probable de

Si Ton représente ce carré (5) par z^, on aura

(6) X = ]±(ph — qa) ±t.

Le gain X fait sur a parties à un jeu quelconque est donc représenté par la somme de deux termes : l'un, complètement connu, proportionnel au nombre des parties jouées; l'autre s, qui dépend du liasard et dont le signe même est inconnu.

Un tel énoncé, si l'on n'ajoulait rien, serait insignifiant. Ignorer dans une somme la valeur et le signe de l'un des termes, c'est ne rien savoir siir'la somme. Mais, sans connaître e, nous avons sur lui un renseignement. La valeur probable de e^ est [jL(a + b)'-pq, elle est proportionnelle à a; celle de s est donc de l'ordre de sj^et le second terme de (6) deviendra de plus en plus petit par rapport au premier lorsque [x croîtra sans limite.

Nous comparons, il est vrai, la valeur certaine du premier terme à la valeur probable du second. Nos conclusions peuvent être en défaut; mais, lorsque pi. augmente, la probabilité pour qu'il en soit ainsi tend vers zéro. Il faudrait que le hasard rendît t- infiniment grand par rapport à sa valeur probable.

Si Ts désigne la ptobabiliié d une valeur supérieure à a, il en résulte dans la valeur probable de cette grandeur essentiellement positive un terme roa-, cpii deviendrait à lui seul plus grand (|ue la somme dont il fait partie, si, lorsque a augmente, ra me devenait pas très petit.

En réduisant l'évaluation du gain fait en o. parties au premier terme

(7) X = \x(pb — ga),

on pourra affirmer avec une certitude croissante que l'erreur relative tend vers zéro lorsque y. augmente sans limite.