CHAP. IX. — EHREURS DE SITUATION DLN POINT

187. Nous avons irouvé la valeur de H pour la(iuelle la prol.abililé de voir la balle se placer à l'iiilérieur de l'ellipse correspondanle est -^.

Soient N le nombre des balles (pii frappeionl dans l'inléricur de l'ellipse, n celui des balles lirées; la dilTerence

sera petite si n est grand. Cherchons la valeur probable du carré

on a

' 70 / ^ lO lOO

li\

La valeur probable de X est -^^ : par consé(pienl, celle de — esi —, et l'expression ^12) peut être remplacée par

— est donné, puisciue n est le nombre des balles qui ont été

tirées; nous devons chercher seulement la valeur probable de ,N-.

N est le nombre de balles placées dans l'intérieur de l'ellipse. Le i)roblème est donc celui-ci :

Un événement a pour probabilité :^/, <pielle est la valeur probable du carré du nombre de lois qu'il se présentera sur n épreuves?

Soient /> la probabilité de l'événement (/> est ici égal à ^) cl q la probabilité de l'événement contraire.

Le développement

donne, par ses différents termes, les probabilités des combinaisons qui peuvent se produire.

Si donc on représente cette somme par

.^38 CALCUL DES PHOBABILITÉS.

la valeur probable du carré du nombre m d'arrivées de Tévénemenl dont la probabilité est p est

on a

En prenant la dérivée par rapport à /? et multipliant par /?, n(p-hq )"-'p = X m X,np"' ;

prenant de nouveau la dérivée par rapport à /? et multipliant pai/>,

et, puisque p -{- q = i,

i: m- A„,p"' = iip -^- n{ji — I )/?2 = n-p^+ npq .

p est Yjj, q esl ~; la valeur probable de N- est donc

n- ()n I oo 1 oo

net, par conséquent, celle de N- est

' lOO

lOO

La différence N doit très probablement augmenter indéfiniment, comme le font toujours les valeurs des différences absolues entre les grandeurs dont les valeurs probables sont égales; mais la diderence des valeuis relatives

n lo tendra vers zéro, car la valeur probable de

est

I / gn