CHAP. X. — I-A THEORIE DES MOYENNES
et, pour connaître m, il faul, par conséquent, connaître d'abord les erreurs commises dans une série de mesures.
Si celle condition n'est pas remplie, on procédera comme on a fait (160) pour un prt)blrme semblable, ou, phi lot, pour résoudre le même problème que nous avons déjà rencontré. Nous avions trouvé, en étudiant une loi de probabilité d'erreurs,
e,, e.y (-"/t étant les erreurs successivement commises. C'est
précisément la même formide, démontrée de la même manière,
dans laquelle —p; représente Tinlégrale
)lace
— z-^ e-'^"-'" dz
z-^o(z)dz, lorsque la probabilité d'une erreur ^, au lieu d'être 'f (^), est
Nous pourrons, comme nous l'avons fait ( 100 ), remplacer les erreurs e,,^^ e„. si elles ne sont pas connues, par leuis valeurs approchées, qui seront les dllférences entre chaque mesure et la moyenne, et l'on devra, comme il a été expliqué, remplacer après cette substitution le dénominateur n par n — i.
La démonstration, nous l'avons vu, suppose que l'on néglige un terme dont la petitesse nécessaire est très imparfaitement démontrée.
195. Lorsqu'une même grandeur X a été mesurée par des procédés difierents, ou par divers observateurs avec des instruments de mérite inégal, on ne doit pas prendre la moyenne. Les observations les plus dignes de confiance doivent garder une influence plus grande.
Soient .r,, x^, • .., ^« n évaluations d'une même grandeur.
Supposons t\ue chacune des évaluations soit corrigée de la partie
•^48 CALCIL DES PROBABILITÉS.
constante, de telle sorte que la valeur probable de l'erreur ait été rendue nulle.
Soient m'-;, ml, ..., m^ les valeurs supposées connues de la constante m pour chacun des systèmes de mesures qui ont fourni ces n valeurs. Si l'on fait entrer dans la détermination plusieurs mesures prises dans les mêmes circonstances, on supposera les valeurs de m égales.
Clierchons parmi les expressions de la forme
(9) X := À|a-, -H Xa^-s-i-. . .-HX„a7„
celle qui doit inspirer le plus de confiance. Lh valeur à adopter est celle, évidemment, qui rendra mininia la valeur probable du carré de l'erreur commise.
On doit avoir nécessairement
car, sans cela, toutes les mesures étant supposées exactes, la valeur qu'on en déduit ne le serait pas.
L'erreur commise dans l'évaluation (9) sera
XiCi-t-Xies-h.. .-(- X„e„;
elle a pour carré
SX? ef -;-2i:X,X/e,e,'.
La valeur probable de ei est nulle; par conséquent aussi, celle de Cier; celle de ef est m'j. La valeur probable du carré de l'erreur commise est, par conséqu(>nt,
Xfmf + X|m|4-...H-X2m;2.
Il faut choisir les valeurs de X., Xo,..., ).„ qui rendent cette somme minima en satisfaisante l'équation (10). Il laut égaler à zéro les deux dilTérentielles
dX I -+- d}..2 -1- . . . -t- <YX„ = o, a m f Xi dli -+- 1 m-, X, d\.2 -F- ...-+- 2 m„ l^ dl,, — o.
La seconde de ces équations doit être la conséquence nécessaire de la première. 11 faut pour cela que les coefficients des dilFéren-
CIIAP. X. — LV TllKORIK DES MOYENNES. 24q
tielles soient égaux el que l'on ait on en déduit, à cause de (lo),
et la valeur de X qu'il faut adopter est
m f ' nt I
C est la moyenne des valeurs successivement obtenues après que chacune a été midtipjiée par un facteur égal à l'inverse de la valeur correspondante m-.
Ce l'acteur —, d'autant plus grand que m- est plus petit el que,
par conséquent, la mesure mérite plus de confiance, se nomme le poids de l'observation.
/■observations semblables équivalent, d'après la formule, à une seule qui aurait un poids /• fois plus grand.
Si la probabilité d'une erreur z est
on a
Le poids d'une observation est proportionnel à k-.
La définition nouvelle se trouve d'accord avec celle qui a été donnée.
Le mot précision ne peut pas (16o), dans le cas général, être défini avec la même rigueur.
196. La règle relative aux moyennes, et la sécurité qui en résulte, est démontrée indépendamment de toute hypothèse sur la loi de |)robabililé des erreurs.
•25o CALCUL DKS PROBABILITÉS.
Poisson a signalé comme une objeclion le cas où la fonction '■:>(z) serait proporlionnelle à
in la représ
entant
pai
Gdz
doit avoir
C^ Gdz
en déduil
La probabilité d'une erreur comprise entre z et z -^ dz est alors
k dz
Dans ce cas, l'intégrale
32 dz
désignée dans la démonstration nar m'-, est infinie. Le poids — d'uni; observation est nul.
Jl n'v a pas lieu de s'étonner si la conclusion est en défaut.
L'iijpollièse est réalisée par une girouette qui tourne librement sans que rien la dirige. Considérée comme un instrument destiné à montrer une direction, celle du norrl par exemple, elle donnera précisément la probabilité d'erreur exprimée par la formule (11).
Nommons ^, en ellet, la dislance à laquelle la direction prolongée de la girouette coupera une perpendiculaire à la ligne (|ue l'on prétend délerminer, si la girouette fait avec cette ligne un angle o, on aura
(12) cp=r: arc tang -r-
