CHAPITRE XI

Nachdem dcr Observator das Seinige gethan hat, ist es an dem GooniPter die Unsicherlicit dor Beobachtungen uihI der Rpctinung daraiis al)g('leilelon (Irôsscn, narh streng matlicmatisclicn Principien zu wiirdigen.

Gauss.

107. La théorie de? moyennes n'est pas applicable, en général, à la détermination siinullanéc de plusieurs grandeurs. — 198. Lorsque plusieurs valeurs d'une même inconnue sont indépendantes, on peut prendre la moyenne en ayant égard à leur poids; premier exemple. — 199. Deuxième exemple. 200. Troisième exemple. — 201, 202. Problème dans lequel les valeurs d'une même inconnue ne sont pas indépendantes, résolu en suivant le principe de la démonstration, dont il faut changer le détail. — 203. Problème général; première solution de Gauss. — 204. En ne faisant, en apparence, aucune hypothèse sur la loi de probabilité, on ne change pas essentiellement les conditions de l'énoncé. — 205. Substitution de la plus petite valeur probable du carré de l'erreur à l'erreur la plus probable. — 206. Lorsque le nombre des équations surpasse celui des inconnues, il existe entre les erreurs des relations nécessaires qui ne sont pas satisfaites. — 207. Expression adoptée pour l'une des inconnues; on rend le carré de la valeur probable de l'erreur minimum. — 208. Les erreurs étant très petites, la solution est la plus générale. — 209. Valeur probable du carré de l'erreur à craindre. — 219. Premier exemple. — 211. Second exemple. — 212. Les valeurs probables des carrés des erreurs commises sont indépendantes de la concordance des résultais; explication de ce paradoxe. — 213. Les formules sont démontrées pour des observations qui ne sont pas encore faites. — 214. On peut se placer à un point de vue très différent: le problème devient insoluble. — Développement sur un exemple. La valeur probable a priori de l'inconnue que l'on veut calculer a posteriori est un élément nécessaire de la solution. — 215. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes; faute de l'une des données indispensables, la solution est impossible. — 216. Discussion d'un problème analogue. — 217. Élude du problême général; les solutions sont en nombre infini. — 218. Premier exemple. — 219. Second

exemple. — -210. Évahialinn, clans un cas très simple, de l'erreur à craindre en égalant la valeur vraie à la valeur prohable. — Calculs numériques. — 221. Théorème des moindres carrés. — 222. Simplification des calculs. -- 223. Exemple. — 224. Théorie de Gauss. — 225. Objections de Bienaymé. — 226. Les corrections prescrites par la méthode des moindres carrés sont des fonctions déterminées des erreurs réellement commises. — 227. Expression de la somme des carrés de ces corrections. — 228. Valeur probable de cette somme. — 22U. Exemple. — 230. Incertitude de quelques assertions compromellanles pour la théorie.

197. Lorsqu'une même grandeur a été mesurée plusieurs fois et que les résultats ne s'accordent pas, s'ils inspirent une égale confiance, il faut en prendre la moyenne; si leurs poû/s sont inégaux, on tient compte (195) dans le calcul de leurs valeurs relatives.

Lorsque plusieurs grandeurs ont été mesurées et qu'elles doivent servir à déterminer des inconnues jtar des équations plus nombreuses qu'il n'est nécessaire, le problème semble de même sorte. On possède, en edet, autant d'aitpréciations dilFérentes de chaque grandeur que de groupes d'équations pouvant les déterminer; mais ces appréciations ne sont pas indépendantes : cela exige un changement de méthode.

Si l'on a, par exemple, mesuré les trois angles \, B, C et les trois côtes «, b, c d'un même triangle, on pourra adopter comme valeur de l'angle A, soit la mesure A directement obtenue, soit le supplément de la somme B -H C, soit celle que l'on obtient en associant B ou C à deux quelconques des côtés, soit enfin prendre pour données les trois côtés.

Lors même que l'on aurait évalué les poids relatifs de ces neuf valeurs de l'angle A, la théorie des moyennes ne serait pas applicable. La combinaison qu'elle prescrit vaudrait mieux, peut-être, que l'une des mesures adoptée sans correction, mais elle n'est pas la plus plausible entre toutes. La théorie des moyennes suppose, en effet, l'indépendance des mesures associées. La valeur probable de chaque erreur est supposée nulle, ainsi que celle des produits de deux erreurs. Les erreurs positives, en d'autres termes, ont, par hypothèse, même probabilité que les erreurs négatives : celte condition n'est pas remplie dans le cas qui nous occupe. Si l'on s'est trompé, par exemple, en mesurant un angle, et cela est inévitable, les calculs par lesquels on fera servir cet angle a deux

(léteiminalioiis d'un autre anijle donneront, vraisemblablement, des erreurs de signes contraires à celles du |)remier. La valeur probable du produit de ces deux erreurs sera positive.

198. Lorsque la dépendance des erreurs n'existe pas, on peut appliquer Ja théorie des moyennes. Nous en donnerons quelques à exemples. 1

On veut déterminer la direction d'une ligne droite partant d'un point pris |)Our origine des coordonnées. On mesure pour cela les .j ordonnées y t, y 2i ■•■■>yn de n points de cette droite correspon- ' dani à n abscisses connues .a?,, .ro, . . ., Xn- Quelle valeur faut-il adopter pour le coefficient angulaire de la droite? Les mesures prises donnent, en désignant ce coefficient par a,

Ces déleiminations indépendantes ont des poids inégaux qu'il faut calculer.

Si l'on nomme m] la valeur probable du carré de l'erreur commise sur jKo ^6 carré de l'erreur commise sur — ? xi étant exacte-

ment connu, a pour valeur probable ~; le poids de la valeur

correspondante de a est, par conséquent, — ^- On doit, avant de

prendre la moyenne, multiplier chaque valeur de a par son poids.

On aura

y,x^ y^x^ ynXn

Si les mesures des ordonnées inspirent toutes la même confiance, l'expression se réduit à

199. Prenons pour inconnues, dans un second exemple, les trois angles directement mesurés d'un triangle. La somme des trois

inesiiies ne se Irouvanl pus égale à deux angles droits, quelles coi-reclions faut-il adopter?

Eu uonimant les angles A, B, C, on a deux mesures de l'augle A :

A et i8()"— B - C.

Ces mesures sont indépendantes ; on peut donc en prendre la moyenne, mais il faut calculer leur poids.

Soient m- le carré de l'erreur à craindre sur chacune des trois mesures; d. e^^ e^ les erreurs réellement commises. L'erreur sur i8o" — B — C est Co+ <?;! ; elle a pour carré

e'I -f- e| -+- '-leoes,

dont la valeur probable est 2 m-. Les poids des deux déterminations de l'angle A sont donc -^ cl r,' et l'on adopteia la valeur

L'erreur commise est

La valeur probable du carré de celte erreur est

Î200. Le calcul précédent suppose les chances d'erreur dans la esure d'un angle indépendantes de la grandeur de l'angle. Quand les mesures sont prises dans les mêmes conditions, cela est, eu effet, presque absolument vrai.

Si, au lieu de mesurer les trois angles d'un triangle, on mesurait les irois parties d'une ligne très bien connue par des mesures antérieures, le problème, en apparence identique, serait, en réalité, très différent.

Soit / la longueur, supposée parfaitement connue, d'une ligne dont les trois parties «, b, c sont directement mesurées; on

trouve

Comment doit-on répartir l'erreur a entre les trois mesures? On a deux évaluations de a : a et i — b — c.

Si e,, 6-2, 63 sont les erreurs commises sur a, b, c, les erreurs commises sur les deux mesures sont e, et Co + e^ ; mais les valeurs probables de e;,^^, el sont inégales : c'est ce qui dislingue ce problème du précédent. Soient m;, m;, mj les valeurs probables de e-^^ el, e'i; on a

(e-y-h 63)"^— el -h e^ -+- 16263.

La valeur probable de eo e^ est nulle s'il n'y a pas d'erreur constante; les carrés des erreurs commises sur les valeurs de a ont donc pour valeurs probables m; et m': + m^ et les poids des

deux déterminations sont — r et

mj m| -1- ml

On devra prendre pour valeur de a

= a -\- il — a — b — c) -

La difficulté est d'évaluer les erreurs probables.

Si les mesures ont été prises en portant sur cliaque ligne une unité de longueur, la valeur probable du carré de l'erreur commise, dont chaque partie peut être positive ou négative, est pro- ] portioiinelle (171) au nombre des unités; ou prendra donc m'-^ = a, ni^ = 6, ml = c, et la valeur la plus plausible de a est

201. Résolvons un problème très simple auquel la théorie des moyennes n'est pas applicable.

Supposons que, d'une station O, ou ait observé quatre points A,, Ao, Ag, Aj. On a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels sont vues les cinq distances A, A2, A, «3, A, A4, A2A4, A3 Ai. Soient /,, /a, /g, /.j, ^5 les cinq valeurs

.)l)teniies; elles donnent évidemment trois mesures de l'angle A.OA, ^

Ces valeurs ne sont pas indépendantes. Les erreurs commises sur Is — l, et sur /,+ l,— l, sont liées l'une et l'autre à l'exactitude de /,. La probabilité pour qu'elles soient de mêmes signes est plus grande que pour qu'elles soient de signes contraires. La théorie des moyennes n'est pas applicable.

Cherchons sans changer de méthode, en modifiant seulement la démonstration, la meilleure (combinaison à adopter.

Nous résoudrons deux problèmes :

Quelle est la meilleure combinaison des deux mesures I3— l, et /oH- l„ — /* qui ne sont pas indépendantes?

Quelle est la meilleure combinaison de /, avec la valeur déduite des deux autres mesures?

Pour déduire de l, — l, et de L+ L,~ l, la valeur la plus plausible de l'angle dont ces expressions représentent deux valeurs approchées, nous prendrons pour cet angle

avec la condition nécessaire

car il faut bien que, dans le cas où les deux évaluations s'accorderaient, leur moyenne soit égale à leur valeur commune.

En nommant e,, e-,. 63, e^, e-^ les erreurs commises sur les cinq mesures, l'erreur commise en adoptant (i) est

^1 («3— e^j-i- Ao (62— «3— e^; = Àsej-i- Aie,, — ( Àj -t- l.^)e^-^ l^e-,.

La valeur probable du carré de l'erreur commise, en nommant m- la valeur probable des carrés e^, e.; , .... ei, est

//i^[X| ^X2^(À, + x, ^2^X2j ^^^2,2X2 -^3X2 -HaX.Xa). Il faut déterminer À, et À. de telle sorte que, en supposant

Xi^Xj^i, la somme

aXx -t- 3X| ^ aAiX2 soit miniina.

258 CALCUL DES PROBABILITES.

( )n trouve et la valeur la plus plausible est

Le carré de l'erreur commise sur cette détermination a pour valeur probable

m- (aXf + 3X| H- 2X1 Xj) = - m-.

La valeur probable du carré de l'erreur commise sur /, étant

m-, le poids de cette détermination sera ■ — -; celui de l'expres- ' r f,ii 1

sion (2).- — : ces deux valeurs du même ansle sont indépen-

danles. On prendra donc, enfin, pour valeur la plus plausible déduite de l'ensemble des mesures,

D \ 3 ) 3 / oli-h 1-2 ^ lli—^h-h h

L'erreur commise sera

dont le carré a pour valeur probable

202. Si, oubliant que les évaluations ne sont pas indépendantes, on avait cherché les poids des trois mesures

ils sont

on aurait adopté pour valeur de l'angle •i. 3

Le carré de l'erreur aurait ijour valeur probable -^-^ni-, c'est-

à-dire o^ô.i^m- au lieu de 0,62,5 ///*.

!20t^. Le problème général qu'il faut résoudre est le suivant :

On a fait, pour déterminer n grandeurs inconnues, n -r- p mesures, dont les résultats s'y rattachent par des équations nécessaires. Les écpiations se trouvent incompatibles; quel est le meilleur système de valeurs à adopter?

Si l'on accepte pour loi de probabilité des erreurs la formule

, --^e~ " dz^ en supposant à la constante k une même valeur pour

Vr '

toutes les grandeurs directement mesurées, la théorie devient fort simple.

Les mesures obtenues étant /,, Z^,, . . ., lu+p, on devra, pour rendre les équations compatibles, leur faire subir des corrections e,, 62, ..., e,ijf.p. La probabilité pour que ces erreurs supposées aient été réellement commises est proportionnelle au produit

elle sera maxima quand la somme des carrés des corrections sera la plus petite possible.

Le meilleur système de corrections est celui pour lequel la somme des carrés des erreurs supposées commises est un minimum.

'2.04. Après avoir proposé le théorème précédent, dont il a suivi les conséquences avec une merveilleuse habileté, Gauss, dans ses derniers Mémoires sur la combinaison des observations, a voulu s'affranchir de toute hypothèse sur la loi de probabilité des erreurs.

Les règles prescrites n'ont pas changé pour cela.

26o CALCUL DUS PROBABILITÉS.

Il doit sembler étrange que la loi de probabilité des erreurs soit sans influence sur les conclusions d'une théorie dans laquelle elle joue un si grand rôle.

L'explication est simple : une hypothèse, compatible en apparence avec toutes les lois, est introduite dans la démonstration ; elle impose en réalité la même forme à toutes.

Nous supposons, dit Gauss, les observations assez, exactes pour que les carrés et les produits des erreurs soient négligeables.

Toutes les équations se trouvent par là réduites au premier degré, et toutes les lois sont équivalentes.

Si l'on nomme '^ (z) dz la probabilité pour qu'une erreur d'observation soit comprise entie z et z-\-dz^ on peut, z étant très petit, remplacer '^ {z) par le développement

(3) cf(2;=.o(o) + ^cp'(o)^-j^cç"(o)-^ f__c,"'(o) + -^-^-?iv(o). Les erreurs constantes étant écartées, on doit a\oir

Çf (s) = ^{— Z)\

cp'(o) et o'" {o) sont donc nuls.

Le droit de négliger z"^ devant z donne, a fortiori, celui de négliger ;;* devant z'^ et de réduire l'équation (3) à

^{z) = ci(o) -t- --s2cp"(oj; mais on a, en négligeant toujours z'' devant z^,

a -+- bz'^ = ae " .

La fonction '^{z) est donc, en réalité, assimilée à une exponentielle de la forme

205. Gauss, on le voit, aurait pu, dans les conditions où il se place, conserver sa théorie primitive. Il a fait beaucoup mieux. Cette théorie conseille, en effet, l'adoption du système de corrections dont la probabilité est maxinin. La théorie nouvelle semble préférable. La valeur probable du carré de l'erreur commise est

rendue mininia. Les deux conditions s'accordent, mais les principes sont très différents. Il aurait pu arriver que les corrections les plus probables eussent accru, dans le cas où elles ne sont pas les véritables, les chances de commettre de très grandes erreurs. Toutes les probabilités doivent intervenir pour décider le meilleur choix à faire.