Soient

/ 'îi(T,y. z. .. .) = /i.

les équations qui rattachent n inconnues x, y, z, ... à n -\- p i;randeurs mesurées /, , L, ..., Inj^p- Elles sont incompatibles el donneront seulement une valeur approchée de chaque inconnue. Nous supposerons les carrés des erreurs commises dans cette première approximation négligeables. La théorie, sans cette simplification, serait inextricable.

Le théorème de Taylor peimettra d'exprimer '^, , 'jo, . . ., '^uj^p ^"^ fonction linéaire des accroissements dont on néglige les carrés. En éliminant entre les n -^ p équations ainsi transformées les erreurs commises sur Xjy, z. ... dans la première approximation, on obtiendra, entre les erreurs e^, e^ e,,^p commises sur les grandeurs directement mesurées /, , Z^, ..., ln+pi p écpiations du premier degré de la forme

Qiei-r-Q.e, — . . .^ Qn+pe,,^,, = h>,

,j • ) Qiei-r-Q.e, — . . .^Q,;-H/,«?„^/; = /<.,

207. Pour ne pas compliquer les calculs, nous supposerons six grandeurs observées et trois inconnues, dont elles sont des fonctions déterminées ; les équations (5) seront alors au nombre de trois et n -\- p sera égal à six.

Nous adopterons, pour représenter la grandeur dont la mesure a été trouvée égale à /, , la somme

<(i) li-^-lihi^l-ihi—l^hs.

202 CALCUL DES PROBABILITES.

L'expression (6) se réduirait à /, si les mesures étaient parfaites ; mais de petites erreurs ayant été commises, en les nommant e, , e^, e^j es,, 65, Ce, celle qui en résulte pour (6) est

/ -f- >v2(Qiei-+- Q2e2-i-- ••+ Q«ef,)-(- À3(R,e,-4- R2e2 + -- . + R6efi).

[1 faut choisir X), Xo, X3 de manière à rendre luinima la valeur probable du carré de celte erreur.

En supposant les mesures dignes d'une égale confiance, et nommant m^ la valeur probable du carré e'f de l'erreur commise sur l'une quelconque d'entre elles, les valeurs probables de e, et de eiCi' étant nulles par hjpolhrse, la valeur probable du carré de (^) est

\ m2(i+Xf SP2+X|ZQ2-4- X2 vB2+2À,X2SPQ

I +2X2X3:SQR + -2X3X,lRP+2X,Pi+2X2Qi- 2X:iRi).

Pour rendre cette expression minima, il faut éi;aler à zéro les dérivées par rapport aux facteurs arbitraires X,, X27 ^^3 J <>" écrira donc les éipiations

I X,:iP2 H-XaSPQ + XsSPR + Pj^o,

(9) XiSPQ + X^EQ'- +X35:QR-hQ, = o, ( X1SPR + X2SQR + X32R2 ^R, = o.

Les facteurs A,, À21 ^3 étant déterminés par ces équations, l'expression

(10) /, -h XiA,-i- X2/(2-+- X3A3

sera la meilleure valeur à adopter pour /, .

208. Une objection se présente. L'expiession (n), dans laquelle les indéterminées À,, Ao, )>3 ont été choisies le plus avantageusement possible, n'est pas la plus générale parmi celles qui, si les mesures étaient exactes, se réduiraient à /, . On pourrait obtenir d'autres valeurs approchées en nombre infini. Pourquoi ne pas chercher entre toutes celle qui donne la plus petite erreur probable?

Si les erreurs n'étaient pas très petites, l'objection serait fondée

mais, les carrés étant néglii^eables par hypothèse, toute fonction qui se réduit à zéro quand ^, , hy, • • . sont nuls peut être supposée du premier degré par rapport à ces quantités.

1209. Les équations (9) font connaître les coefficients les meilleurs à adopter pour la formule (10). La valeur probable du carré de l'erreur est rendue minima ; elle est représentée par la somme (8), dans laquelle A), Ao, X3 seront déduits des équations (9).

L'ex|)ression (8) peut s'exprimer plus simplement. Si l'on ajoute les équations (9) après avoir multiplié la première par A,, la deuxième par Ao ^t la troisième par A3, en retranchant du coefficient de m- dans (8) la somme ([ui est égale à zéro, la valeur probable du carré de l'erreur commise sur /, prend la forme

/n2(i -t- PiXi-H QiXj-h H1X3);

elle est proportionnelle à m-. Les valeurs de P), (^,, Il|, X(, )v2, A3 ne dépendent nullement de la concordance plus ou moins parfaite des observations, n'vélée par les valeurs /i,, h^, /13 des fonctions qui devraient être nulles.

210. Supposons, pour donner un exemple très simple, que x, y, z, u soient les quatre angles d'un quadrilatère. On a trouvé pour ces angles, directement mesurés,

Si les mesures étaient exactes, on aurait

/,^/,-^/.,-^ /, = 3<io'.

Cette condition n'est pas remplie; ou a

II— h-^ /.j— h — 36o"== h, h élant supposé très petit.

264 CALCIIL DES PROBABILITKS.

On adoptera alors pour l'angle ;r la valeur

Si 64, 621 ^3i 64 sont les erreurs respectivement commises sur les quatie mesures, l'erreur E commise sur X sera

En nommant m^ la valeur probable du carré de chacime des erreurs de mesure, la valeur probable du carré de E est

Elle est minima pour la valeur

et l'on doit prendre

La valeur probable du carré de l'erreur est donnée par l'expression (i i) quand on y suppose À = — ~- Elle est donc J

3/n2 indépendante, on doit le remarquer, de la valeur de h.

211. Supposons, pour donner un second exemple, que, d'une même station O, on ait observé quatre points A< , A2, A3, A^. On a mesuré, en les réduisant à l'horizon, les angles sous lesquels les distances A, Ao, A< A3, A, A,., A2A4 et A3 A., sont vues du point O, en désignant par /, , Lj, /g, Z^, /g les valeurs trouvées. On veut en déduire les valeurs les plus plausibles des angles x, j\ z formés par OA, avec les trois autres directions OAo, OA3, OA^.

On aurait, si les mesures étaient parfaites,

(12) X = II, y=h, s = /a, z — x = l,, z-y = h et, par conséquent,

Les équations (i3) ne sont pas satisfaites et, à cause des erreurs d'observation, on a

On prendra pourx la valeur

(l5) X = /, -r- Xi/(i-f- Ao//^.

Si e,, ^2. e.j. e, . ^5 sont les erreurs commises sur les quatre mesures, l'erreur commise sur X sera

Si m^ désigne la valeur probable du carré de chaque erreur de mesure e,, €■>, e^, 64, 65, la valeur probable de E- est

(17) m-{\ — 3Àj -h 3)J -h 2X1 — 'rAiX-j). Le minimum de cette expression correspond à

Nous adopterons donc, pour Tangle x^ la valeur

Elle s'accorde, on le voit en rem|)laçant h^ et h^ par leurs valeurs (i4); avec la solution obtenue (201) par une voie différente.

Le carré de l'erreur commise en adoptant l'expression (18) e>l |/?î2; elle est indépendante de h^ et de h^, par conséquent de l'exactitude des mesures.

On trouverait, par des calculs semblables,

5m* Les carrés des erreurs commises ajant pour valeurs probables — r—

et ^-— » les valeurs les plus plausibles des angles ^4 et l^ sont

U^ 4— - A, -H -/?2, L.;= lr,-\- g ^1 — g ^2-

212. Les valeurs probables des carrés des erreurs commises sont, dans tous les cas, indépendantes de l'accord plus ou moins parfait des observations. Les quantités désignées par ll^, h^^ ..., qui seraient nulles si les observations étaient parfaites, ne figurent pas dans l'évaluation de l'erreur à craindre.

Nous avons déjà (173) rencontré et expliqué ce paradoxe. Il n'est pas inutile d'j revenir.

Dans la détermination de l'erreur probable, la précision des observations a été supposée connue. Le facteur m- représente la valeur probable du carré de l'erreur commise sur chaque mesure. En supposant ainsi l'habileté de l'observareur évaluée à l'avance, sans qu'il soit tenu compte dans cette appréciation des discordances révélées par la comparaison des mesures, il ne faut pas s étonner de ne pas voir figurer ces discordances dans le calcul de l'erreur à craindre.

On mesure, par exemple, les trois angles d'un triangle; on a vu déjà l'observateur à l'œuvre, il fait usage d'excellents instruments; on apprécie en conséquence la constante m- : l'erreur probable est o ,5o. La somme des angles obtenus sur|)asse cependant 180" de 12". L'observateur ne méritait pas la confiance accordée. La valeur de m^ était très |)robablement mal choisie. Mais, pour en adopter une autre, on manque de données suffisantes.

213. Les formules démontrées sont applicables à des observations qui ne sont pas encore faites; elles indiquent les calculs par lesquels les inconnues devront se déduire des granrleurs directement mesurées. Les valeurs probables des carrés des erreurs à craindre dépendent de la |)récision espérée pour les mesures qu'on va prendre. Le cas où cette précision est assez bien connue, a priori, pour que les résultats obtenus n'y puissent rien changer, quoi qu'il arrive, est tout à fait exceptionnel.

C'est à lui que se rapportent les formules.

21 4. On s'est placé quelquefois à un point de vue absolument opposé. La précision des mesures est supposée inconnue; la concordance plus on moins parfaite des observations est le seul renseignement d'après lequel on puisse l'apprécier.

Ce problème est le contraire du précédent. Nous supposions la précision connue a priori; le résultat plus ou moins heureux des observations n'y pouvait rien changer; pour rendre cette hypothèse acceptable, nous supposions même que les observations ne fussent pas faites encore.

On suppose, au contraire, dan> le nouveau problème, la précision complètement inconnue. Il faut la calculer d'après les résultats, qui sont, cette ("ois, la seule donnée.

Gauss a fait reposer la solution de ce problème sur une formule très élégante, qui sei'a démont lée à la fin de ce Chapitre.

La formule est irréprochable; mais l'application est rarement permise.

Le problème nVst pas nettement posé.

Quelques exemples rendront la difliculté très claire.

Un a mesuré les trois angles d'un triangle; l'excès de leur somme sur deux angles droits peut-il faire connaître, indépendamment de tout autre renseignement, la valeur probable du carré de l'erreui- commise dans la mesure de chacun des angles?

Si l'on admet, comme il est vrai, qu'à chaque instrument manié par un observateur désigné correspond, objectivement, une valeur probable déterminée du carré de l'erreur et (pie, en donnant la somme des trois angles obtenus, on demande la valeur vraie de cette constante caractéristique de la précision, le problème est insoluble.

Une valeur vraisemblable est, évidemment, tout ce qu'il est permis d'espérer.

En réduisant le problème à ces termes très vagues, une lacune subsiste dans l'énoncé; elle doit enlever toute confiance dans le résultat.

La connaissance de la valeur probable a priori de l'inconnue dont on veut délevn\\nvr a posteriori la valeur vraisemblable est un élément essentiel de la question; on ne donne sur lui aucune indication.

Les trois angles d'un triangle ont été mesurés par un observa-

leur très habile; il a fait usage d'un excellent instrument; chaque mesure a été prise trois fois; les résultats proposés sont les moyennes des trois observations. La somme des angles, après toutes ces précautions, surpasse i8o° de o",25.

Les mêmes angles sont mesurés par un débutant qui s'exerce; l'instrument qu'on lui a confié est médiocre. Chaque angle n'est mesuré qu'une fois^ les angles obtenus diffèrent des précédents de plusieurs secondes chacun, La somme des angles, pour ces secondes mesures, est exactement i8o".

Quels sont les résultats les plus dignes de confiance?

Les premiers, évidemment.

Les formules qui déduiront la précision des mesures de l'accord plus ou moins parfait des résultats ne peuvent manquer de donner l'avantage aux seconds.

Le cas, pourrait-on répondre, n'est pas celui qu'on a supposé. Les deux séries de mesures sont faites dans des conditions telles qu'avant d'en connaitie le résultat, sans donner la mesure numérique des deux précisions, on les propose comme très inégales. L énoncé du problème résolu par Gauss suppose, hu contraire, que l'on ne sache rien sur la précision des mesures.

Est-il possible, quand on combine des mesures, de ne rien savoir sur leur précision? Savoir, comme on l'admet, que toutes les valeurs de l'erreur probable sont a />/7'o/7 également vraisemblables serait un renseignement très précis qui, vraisemblablement, n'a dans aucun cas représenté la vérité.

Sans avoir étudié un instrument, le nom du fabricant, le prix dont on l'a pajé, la situation de l'observateur qui s'en sert, font que certaines évaluations de sa précision, sans être tenues pour impossibles, seraient accueillies avec étonnement. Cela suffit pour changer les conditions de l'énoncé.

21 o. La question appartient à la théorie de la probabilité des causes. Le désaccord entre les mesures prises est un fait observé. Les causes possibles, en nombre infini, sont la précision de chaque mesure. Quelle que soit cette précision, l'événement observé est possible. Le plus adroit peut avoir une défaillance; le plus maladroit peut, par un heureux hasard, obtenir de bons résultats : les résultats très inexacts peuvent se compenser fortuitement.

Plus la concordance est grande, assurément, plus il esL probable qu'elle a pour cause l'exactitude des mesures et que celle-ci est due à l'habileté de l'observateur.

La probabilité assij;née à chaque cause dépend (Ho) de deux facteurs : la probabilité que la cause donne à l'événement observé et la probabilité, a priori, pour que la cause ait ai^i.

On veut, d'après l'énoncé, comme on l'a fait trop souvent en

d'autres circonstances (123, 12-i, 130), se passer complètement de

la seconde donnée. C'est une faute contre les principes. La lacune

laissée dans l'énoncé sera forcément remplacée dans chaque solu-

f lion obtenue par une condition introduite arbitrairement.

216. Supposons, pour ("aire connaître le principe de la méthode adoptée, qu'on veuille déterminer la chance pour qu'une pièce de monnaie désignée retombe sur le côté face (juand on la jette en l'air.

La pièce est jetée [a (ois : elle a montré m fois face et n fois pile.

Soient p la probabilité inconnue quelle donne à l'arrivée de face, (i celle qu'elle donne à l'arrivée de pile.

L'événement le plus probable sur [ji épreuves est ul/> fois face. En égalant la valeur probable à la valeur vraie, nous aurons

\Lp = m.

La valeur vraisemblable de p serait donc — •

Le principe, appliqué à un petit nombres d'épreuves, donnerait des résultats inacceptables. Si, sur trois épreuves, la pièce a montré deux fois face, oserait-on proposer | comme valeur vraisemblable (le la probabilité qu'elle donne à l'arrivée de face?

Lorsque le nombre des épreuves est grand, le résultat cesse d'être choquant. La précision de la valeur proposée pour la probabilité p n'est pas pour cela mieux justifiée.

Une même pièce a été jetée loooooo de fois : on a obtenu 500891 fois face; on en conclut que la pièce donne, vraiseinblablenienl, à la sortie de face, la probabilité

(19) * /> = o,joo39i.

Aucune de ces six décimales ne mérite conliaiice.

270 CALCIL DES PROBABILITÉS.

La probabilité p a une valeur objective. A chaque pièce, d'après sa structure, correspond une valeur déterminée de p. Personne n'a pu croire, bien entendu, que cette valeur soit égale à (19); mais il n"est pas même très probable qu'elle soit plus grande que o,5o.

Supposons que, la pièce étant bien connue, la valeur exacte de p soit

c'est-à-dire qu'elle s'écaite de i précisément autant que la valeur (19) indiquée par le calcul, mais en sens inverse.

Cherchons quelle serait, dans cette hypothèse, la probabilité de l'événement observé.

Le nombre le plus probable des arrivées de face est

L'événement observé est l'arrivée de 500891 fois lace; l'écart est lySa.

La probabilité d'un écart égal à h est

■l\i.pq.

s/-l \XT. pq

on a

'i\J.pq j 00 000 La probabilité donnée par l'hypothèse à l'événement observé est

\/i-lxpq

celle que donne au même événement l'hypothèse la plus plausible pour laquelle il correspond à un écart nul est

/i \nipq Le rapport est

Le rapport des probabilités de deux causes également probables a priori est exactement celui des probabilités observées. La va-

leur (19) de p n'est donc pas quatre fois plus probable que la valeur (20), que nous avons choisie, on peut le dire, absolument contraire.