Probabilité d'atteindre un cereU

La probabilité d'atteindre un rectangle t î' plaoé à une dis* tance p du point d'impact moyen> lorsque les causes d'écart sont égales dans le sens horixonta let dans le sens vertical, étant :

si, pour un élément de surface ii' infiniment petit, l'on prend t dans le sens du rayon, et t' dans le sens perpendiculaire, c'est-à-dire, dans le sens de Tare, le premier sera dp. On remarquera que p et (f p restant les mêmes pour une même circonférence de cercle, la probabilité est proportionnelle à t', et comme elle s'étend à toute la circonféreuoe qui est Sic p, la -probabilité d'atteindre l'élément drculaire de largeur d p sera, en la désignant par p' :

4t> ' CALCUL UKS PnOBABlLlTÉâ

Celte expression doit être intégrée depuis p=o jusqii*à p r, si r est te rayon du cercle , et etle douoera la probabilité d'at* teindre ce cercle :

et comme pour rso ona Pr=o^ on aura *

OU, réciproquement, en faisant usage des logarithmes népériens :

[U] r = iyiog^.

Ces deux expressions sont Irès-simplcs et, comme lorsqu'on suppose hzzzk, on a l^z^z^k^, on aura ausbi :

P = l — eâ/i' et r = A l/^lo-— .

18. Tahics de probabilité cf atteindre des carrés, des cerclée et deê rectangles.

Les applications au tir peuvent être rendues trés-facHes en remplaçant les formules par des tables. Pour donner à celles^i plus de généraliié, on a pris pour la variable une fraction m de de A, de k ou do r.

Les quatre tables qui sulyent donnent : la première, la probabilité que le projectile ne s'éloigne pas de la verlicale passant par le point d'impact moyeu» d'une quantité plus grande que fz=.mh, ou qu'il atteigne une bande verticale dont la demi-largeur s est m A. Il en résulte que p = (f (m^/J). La table s'applique é^aleraenl aux écaris verticaux en faisant s' — ml:.

La seconde, en supposant que h — k, donne la probabililé d'atteindre un carré dont le demi-cdté est A=i}ii ; la formule

estaloraP=[f(mV^;>J».

La troisième, en siipposatil h = k, donne la probabilHé d'at-

.•Ti.' •

APPLIQUli AU TIR Df.S PUOJRr.lIl.ES. 47

teindra un cercle dont l« rayon rz=imh: la formule est alors

P = 1 — 9 2 . Quand / sera donné, on en dédniri^

La qnatrièmç table donne la probabilité d*atteindre un rectangle dont le centre est au point d'impact moyen, et dont les demi-côlcs s et «' sont m A et m'A. La formule qui donne la probabilité d'atteindre est <? (mV^J) • ^(în'I^*^.

Dans les trois premières tables, on a fait varier m de 0,1 en 0,1 dépuis 0 jusqu'à 3; au delà, et dans la table suivante, pour ne pas avoir trop d*étendue, on a pris les intervalles égaux à 0,2.

Table de la probabilité d'atteindre U7ie bande verticale ou horizontale, dont le milieu passe par le point d'impact moym, et dont la d emi largeur est 8= m h.

O.o'»674 0 r^G^S 0,60 ^H6 0 03187 0,05*87 0.68268 0,70627 U.7J872 0,74984 0,76984 0,7886tJ 0,80G30 0 82297 0,83885 0,85291 0,86638

0,86638 0,89040 0 91086 0 92813 0.94256 0,95449 0,97249 0,<<83fi0

o.uyoos 0,99489 0,99730

48 IIAICUL OKS PROBABILITÉS

Table âe la probabilUé P |/ ; )]' (TaUeit^re un carré dont

le centre est au point d^impact moyen, et dont le demi côté s eet m h) on suppose 1i=:k.

diff.

0,332 0,365 0,399 0,432 0,465 0,498 0,530 0,562 0,592 0,621 0,(3oil 0,677 0,703 0,727 0,764

diir.

0,793 0,830 0,8ti1 0.888 0.944 0,945 0,967 0,98* 0,990 0,995

diir.

Table de la probabilité P d^atteindre un cercle dont

le emtre est aupoifU dHmpaet nwyen, et dont le rayon re«< m h ; on suppose h^k.

mwm.

«iff.

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S -< sa O

ci"

A i'aiile des tables qui précèdent, on résout facilement les queslions de probabililé d'aiteindre des buts de diverses Cormes. En voici plusieurs exemples :

10 SaehanI qu'aux distances 200", 400", 600", le lir de lOOeottpa du boulet de 16 à la charge de l'355 de poudre, a donné reBpeclivcroenU = 0»348, A=0"901, A=l«ttlS, el ft=0"40i9 h=i^(H'*ty 1*67:2, on obtient pour les cercles qui sont atteints par la rooillé des eoups r=Ô"44, r=l«16, r=l"94; pour pbis de simplicité, on a remplacé 4* etil* pw leur moyenne ;

2* Dans le même tir, la probabilité d'atteindre la bouche ou seulement d'effleurer le plus grand renflement du bourrelet

d'un canon de 24, dont lerayon^ augmenté de celui dù booket de Itj, e?i 0 "24, est respectivement aux trois distancés : 0,18; 0,03 et 0,01.

11 importe toujours de distinguer le cas général où Ton ne considère que les points d'impact déterminés par le centre des projectiles, d'un cas particulier, comme celui de l'exemple précédent, où l'on comprend également les points de la cible touchés par la surface du projectile; le dernier est ramené au cas général, en supposant que le contour de la surface à atteindre est plus étendu, que le but en tout seos^ d'uoe quantité égale à un rayon du projectile ;

S? La probabililé d'atteindre un rectangle de 0"80 de hauteur, et de4<" de base, figurant une embrasure, serait respec* tivement aux mêmes distances : 0,71; 0,30; 0,15.

4* Si» dans la probabilité d'atteindre un rectangle (ex. 3**), on tient compte des différences des écarts dans les deux sens, on trouve nspeetivement 0,682 ; 0,29 et 0,15, ce qui ne diShn presque pas des nombres précédents ;

6» Si, au Heu de diriger les coups au centre du rectangfe de 0»80 de banteur, on les dirigeait 0"30 au-dessoua de ce centre, |« probabililé d'atteindre serait égale àta^mme des ûen% probabiHIés d'atteindre des rectangles donrles demi*hauteurs se^ raieni respectivement 0*70 et 0»10; on obtiendrait respectivement à fOO* et 400", 0,5â et 0,SfI5. La différence est notable à la première distance, et très-faible à la seconde ; elle [ est encore moins à la troisième.

APPLIQUÉ AD TIR* DBS PRNBGTILBS. ftl

Lft recherche de ces diverses probabUilés nécessiterait betuooiip de temps et de dépenses , si Ton devait y parvenir par des épreuves spéciales;

6" Sachant par expérience qu*avec le fasil d'infenterie^ à la distance de 200", le rayon do cercle qui contient la moitié des balles tirées est de 1"'48, on en déduira l'"2G, et ensuite que les cercles qui renferment , des balles sont res-

pectivement O"».!?; O-'Si, 1™06; 1">27; 1-48; l^Tl; ln«96; 2»«26; 2"'70; on en déduira également qu'une cible de 2™ de hauteur et O'^SO de largeur sera atteinte par les 0,09 des coups.

• 19. ComparaUm de la prohabiliié ifafleindre un cercle ou un cighré de super/ieies igahi.

Supposons que dans an tir A = A d'où /=A|/2^, r étant le rayon d'un cercle, le demi-côté d'un carré équivalent, oii

aura : «=r . La probahilité d'atteindre le cercle est :

La probabilité d'atteindre le carré équivalent

'=(-(.TH)I=Nf!ï)l' ■

En calculant les valeurs de P par les deux formules, les secondes sont toujours plus petites, mais les diiïérences sont né-

gligeables lorsque - est petit, comme on pouvait le prévoir,

cl comme on le voit dans le tableau ci-après :

PtobaHlUé d'atteindre un cercle et un carré d*égak tuperficie.