CERCLE
CAMÉ.
difpAiicsgb.
o,nm .
5i CALCVL DES PROBABILITÉS
Lorsque r s < oo a respeolivement P=0»63â el P =608; la différence n'est que de 0,094. Ce rapprochement confirme l'exactUode des deuiL formules.
20. Loi dês écarta ; prohabiUti de ^^m€ker une batiâe de trèspetite largeur, — B»fTé»mtation graphique, tommet, point d'in* fieœiùn.
Désignons par t la largeur très-petite d'une bande parallèle à l'axe des y; la probabilité de l'atteindre à un coup donné est :
En représentant cette loi par une courbe, et prenant les écarts x pour abscisses^ et les probabilités p' pour ordonnées, on
voit d'abord que quand x est une petite fraction de h, e
est sensiblement égal à Tunilé el que p' = j^-^^ est alors un
maximum correspondant au soramet de la courbe. A mesure que X augmente, p' diminue, mais très-peu d'abord; la courbe tourne sa concavité vers l'origine.
L'inclinaison 0 de la tangente est donnée par la différentielle de prise relativement à « et l'on a : ,
Cette tangente est nulle pour x=^o; elle est ensuite négative pour a; positif. Sa valeur, indépendamment du signe, augmente d'abord, et devient ensuite sensiblement négligeable quand x est très-grand ; il y a donc un point d'inflexion qui est donné par la condition que Q est un maximum, ou que sa
différentielle, qui est ~ = j^-^e ^* 1 j , soit égaleà
iSfo, c'est-à-dire qu'on ait ~ ^IssO ou x^dth» La valeur
ÂPPLIQUi AU TIR DBS PROJIÎCTILES. 5$
de B devient atora 8 = zp ; ainsi le point d'inflexion
se trouve à uoe dislaoce égale an moyen écart.
Pour* fixer les idées et faciliter les applications numériques»
on suppose *^îqq a;=mA on aura p =z ^^^ e . Le tableau ci -après contient les résultats numériques pour des valeurs de m croissant par 0,1 jusqu'à m=5.
PaOBABiura d*aUeindré une bandé de largeur égale à ^ située à
mh du point d^iimpaet moyen* ,
Difffi-
DlfVÉ- IBIICIS.
Si la bande que l'on doit considérer avait une largeur différente de 0,01 A, mais toujours petite, la probabilité qu'ellecomprendra un écart donné sera proportionnelle à cette largeur.
Cette recherche est applicable au cas de la probabilité de toucher une ligne mathématique avec un projectile d'un petit diamètro; en effet, la ligne pouvant être touchée par un point quelconque du projectilei çlle le sera par le projectile dont le centre ne s'écartera, de part ou d*autro, que d'un rayon ; ce qui est le cas do la bande d'une largeur égale au diamètre du projectile.
64 CALCUL OSS PAOBAUUTSS
21 . Probabilité de toucher une êurface annulaire de Ifèt-f9^
tite largeur.
La probabilité d^atleindre un cercle de rayon r étant (art. 17) r»
P =1 <^ « , celle de frapper sur une zone etrculaire de rayon r et de largeur dr sera la différentielle de celle expression par rapport à r :
---ar=:c "z-«r« dr P
La probabilité d'atteindre une zone d'une très -petite largeur i sera donnée par la formule de Taylor. Blais> en supposant t tr^petity rapportant la distance r au milieu de la largeur de la bande, 4e terme en disparaît; négligeant li*s quantités multi* pliées par les puissances de t supérieures à la seconde^ on aura :
pour f =0 on a P' = 0 ; ensuite, tant que r est très-petit, P croît à peu près proportionnellement à r; mais, quand r est plus grand, P augmente rapidement et atteint sa valeur maximum ; il décroît ensuite très-rapidement. La courbe qui représentera P', en prenant les r pour abscisses, passera par l'origine {fig. 5). L'inclinaison ^ de la courbe sera donnée par la différentielle
de P', 0^ — et elle aura pour expression :
qui , pour r=o » donne 0 =: — . Elle devient nulle pour
1 l^"' distance du sommet
de la courbe à Taxe des ordonnées. Pour des valeurs de r plus grandes, B est négatif.
Au delà du sommet, il y a un pouil d'inflexion, qu'on obtient en cbercbant le maximum de H, ou en égalant à zéro sa différentielle prise par rapport à r, ce qui donne :
APPLIQUA AU nt DES PUUICTILBS- 65
Celte expression est satisfelte figcNif r so, eu à i'origioe ; m oien par la eonditioo — — 3=£0| ou js^î* Celle seconde valeur de r est ia disU^ du peinl jf M e i ie n ée la
coaii>e.
Dans les valeurs ci-dessus, on suppose que le moyen écart liorizonlal h est égal au moyen écart kf alors, en remplaçant par 2 h\ on a les e&pressioos équivalentes :
La distance du sommet de la courbe à l'axe est r = Ay' celle du poinl d'inflexion est r = A j/3 = A. 1,732!.
Ën prenant les valeurs de i et de r en parties de on aura des valeurs numériques qui s appliqueront facilement à tous les
eas. Soit prls^ % rssznl et suecessivement n^O,l ,
ASsO^â....,^ ou aura:
etsiroDlaitr=mA^t=|^, on aura Texpression équivaienle
Dans le tableau qui suit, on a calcule les valeurs de P' pour les valeurs successives den = 04; n=:0,2... et puis m=0^1, m=:0,il.. eu preaaat pour uoité, d'abord i, et ensuite A.
CALCUL DES PROBABlLnÉS
Probabilité P' d'atteindre un anneau circulaire àê latgêuir 0>01 1, (m 0,01 h ^ et dont le rayon moyen ett rMpeetiMtMiU ml ou mh, en supposant h=k.
0,0073fi 0,C0656
0,00024 Û.00ÛI3 0,00040
En comparaot la courbe cl la table de la probabilité des écarts de l'axO' vertical à celles des écarts du centre (fig. 5), on voit que les probabilités suivent des marches lotalemeol différentes, et, qu'en les conroodant^ un autear, comme od le verra plus loin, est tombé dans une grave erreur.
La probabilité de touclier une "circonférence donnée avec un projeclile de pelit diamètre se déduit des mêmes formules, en prenant le diamètre do projectile pour la largeur de la bande.
