AU TIR D£S PROJECTILES

AVANT-PnOPO».

La connaissance des lois des écarts des projccliles dans le lir est d'une grande importance pour rarlilleric et pour l'i'mploi des armes en général ; elle aide à diriger le tir des armes à feu et des bouches à feu, de manière à donner les plus grandes chances de frapper un but.

Les points frappés par les projectiles, parfois très-cloignés les uns des autres, ne paraissent d'abord soumis à aucune loi ; aussi. Ton n'a pas toujours su déduire, de leur position observée à certaines distances, le terme de comj)araison de deux tirs différents^ et moins encore définir ce qu'on devait appeler la justesse d'une arme. Les auteurs ancicDS^ Antoni, Lombard^ Véga, Scharnhorst, n'avaient pas même une manière commune de comparer ies portées. ^

Le manque de principes arrêtés sur cet objet était bien rc* connu en France par le Comité de rartillerie, lorsque, dans sa séance du 1*' février 1828, il mettait la question au concours entre les officiers d'artillerie, pour Tannée 1829 et formulait le programme en ces termes (*) :

« Indiquer, en se fondant sur les principes connus de la « théorie des probabilités, le meilleur mode à adopter pour la

(«) Mémorial ^arHtterU, n* t, 1828, pag. 2S, Î6.

CALQDL PES PnOBiBlLlTÉS

« recherche de» portées moyenoesy discuter le mérite relatif « des divers procédés en usage. »

« L'étendue superfiOieQe de l'objet à firapper, et sa position < rdaliveincDt à la batterie étant données, assigner^ ponr cha- « cune des bouches à feu , la fraction exprimant le rapport « entre le nombre total de coups et les conps à effets, »

Tiois inémoircs furent adressés, à ce sujel, mais aucun n'of* frait une solution assez complète et assez satisfaisante pour mérilrr le prix (*).

Poisson fit, à celte époque, une chose liès-ulilc en présentant les formules relatives au calcul des probabilités, avec autant de concision que possible, en indiquant leur emploi, et surtout en fixant le sens précis qu'on doit y attacher, et en insérant à cet effet une note au Mémorial de l'artillerie (**).

Poisson définit la moyenne qui doit être regardée comme rexpression la plus rapprochée qu'on reclierche, d'après un certain nombre d'observations, cl il donne, sans la démontrer, la règle de Lnplace pour trouver la probabilité que cette moyenne ne s'écarte de la vraie valeur que d'une quantité donnée, laquelle dépend de la somme des carrés des écarts et du nombre des observations ; il montre comment cette règle peut s'appliquer au tir à la cible. Il indique ensuite comment la oomparaison de la somme des earrés des écarts au nombre de coups peut servir à apprécier, soit la plus grande justesse d'une arme, soit la plus grande adresse d*un tireur; il donne enfin une formule qui détermine le rayon d'une cible circulaire, qu'on aurait uno probabilité déterminée de toucher à chaque coup. Ces deux propositions donnent lieu à des observations dont il sera question plus loin (art. 24).

Poisson ayant reconnu que ces formules avaient été utilisées dans l'artillerie pour comparer la justesse de différents fusils, s'est proposé de développer davantage celte application du calcul des probabilités. Ce savant géomètre a publié, & cet effet, un mémoire irès-rcmarquable sous le litre : Mémoire twr ta

(*) NémùHal d'artillerie, 3, 1820, pag. 30.

(^*) Formules do proltabilité i claiivcs au résultai moyea dcj> observalions. Mémorial d'artillerie, 3, 1830.)

APPLIQUÉ AO TIR DBS PROICCTILBS. S

probabililé du tir à la cible, dont l'objet était principaleraenl de trouver la probabililé de l'écart d'une moyenne, et de pcr- (nellre de comparer la justesse du tir de deux armes et de deux tireurs. Tout en rej^ardanl la loi de la probabililé des écarts comme inconnue , il admet qu'il y a un point, qu'il appelle ic eefUre de la cible, tel qu'à droite ou à gauche de ia verticale qui passe par ce point, la loi de probabililé des écarts est semblable^ el qu'il CQ est de même relaiivemeot à Tborizontale qui passe par ce même point.

En se fondant sur le décroissemcnt très-rapide de la probabilité de frapper une verticale doDuée^ dès que les écarts attei* gneot une certaine grandeur, et que le nombre des coups tirés est considérable, il arrive à la formule do Laplace qui donne la probabilité que la moyenne (*) des distances^d'un nombre limité de coups ne 8*écarte que d'une quantité donnée de la moyenne véritable. Il montre que de deux armes, comparées ■ sous le rapport de la justesse , la meilleure est celle pour laquelle est remplie une condition qui équivaut à celle d'un minimum pour la moyenne des carrés des distances au centre de la cible. Jl cherche des propriétés analogues autour d'une ligne quelconque menée pnr le centre. Il fpit voir que ce point jouit des propriétés analogues, quant aux écarts, quant à la moyenne des écarts et aux carrés des écarts.

Dans ce mémoire, Poisson n'a rien ajouté à ce. qu'il avait * donné dans le précédent, sur la probabililé U'allcindre une cible circulaire d'un rayon donné.

Poisson s'occupait alors de l'influence qu'avait dans le tir le mouvement de rotation des projectiles, et, à la demande de ce savant géomètre, transmise par M. le général Morin, j*exéculai à Metz, en iS5&, des expériences sur la |ust0sse de tir des balles sphériqucs aplaties ou allongées, animées d'un mouvement de rotation autour de Taxe de figure, axe qui, à l'origine du mouvement, se confondait avec Taxe du canon. Dans le mémoire, qui renfermait lies résultats des expériences (**}, je com*

{") Mémorial d'artillerie, w" \, yv.vz. aO, 18.17

{^*) Expérience sur la justesse du tir comparé des balles spk^riquesy piaiei et longues, et Jovrnal de fÈeeie polytechnique. 27*cabter, 1839*.

A CALCUL DBS ^ROBABILlfâS

parais la justesse des diverses balles par lesradiies carrées de la moycDDO des carrés des écarts, soit horiioDtaiix, soit vcrticauXy soit absolus, et rapportés au point parliouHcr que nous avons spécifié plus baul, et que j'appelais le point d'impact

moyen. Je les comparais également par les côtés des cnrrcs qui étaient atteints par une porlion donnée dos balles. J'avais choisi la proportion du tiers, parce que le colé se rapprochait de la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts.

Ce mode de comparaison était très-convenable, parce qu'il exprimait iminédiatemcnl une propriété de l'arme. Ces notions furent aj)j)liquées à l'école normale de tir que l'on créait alors h Yincennes, et on lulopla dcpuis, comme terme de comparaison, le rayon du cercle qui renfermait la moitié des coups; mais, cette manière de considérer la justesse, qui s'applique très-bien au tir des projectiles sur une cible verticale, ne s'applique pas au tir des canons ou des mortiers sur un terrain horizontal.

J'avais déjà traité celte dernière question en 1825, et j'étais parvenu, sans analyse, à figurer graphiquement et complètement les résultats du tir des bombes dans les écoles à feu, & représenter la loi des écarts, et le lieu des points d'égale probabilité, et, à déterminer la probabilité d'atteindre un terrain de figure , de dimensions et de position données. Ces résultats recevaient plus lard leur application.

' La question mise au concours par le Comité de rartillerie, en ce qui concerne la proportion des coups à effets au nombre total des coups tirés, sur un objet de formes et de dimensions données, n'était donc pas encore assez complètement traitée ; mais, je Tavais fait en 1847, lorsque je publiais mon Traité de balis* tique.

Dansée travail, j'avais donné la règle à suivre pour prendre les moyennes, et la rè^le de Luplacc pour calculer les probabilités que celle moyenne est comprise entre des limites données. Je démonlraîs celle règle d'une manière assez simple, et je la vérifiais par des applications à des résultats d'expériences. Je donnais la probabilité d'atteindre une surface de fornic, de dimensions et de position déterminées, par la seule connaissance des moyens écarts horizontaux ou verticaux. Dans le cas où ces deux quantités étaient égales, il suffisait de connaître la proba-

APPUOOft AO TIR DBS PROIBCTILBS. 6

bilité d'atteindre an rectangle, tin cerele, une ellipse de dimen* sions données pour pouvoir déterminer la probabilité d'atteindre un objet de forme donnée ; plusieurs applications confirmaient la théorie.

Cette théorie dcvail d'abord être comprise dans mon traité

de bali.siique, ainsi que la représentation du mouvement réel des projectiles ; mais c<^la eùl auf^meiilé outre mesure ce traité déj I volumineux ; je dus m^abstcuir, <l je terminai mon Avantpropos en disant : a Je n'ai pas pu donner, à ce qui concerne « les lois du moiivcmcnl réel des projectiles, l'éten juc qu'elles « comporteraienl. Les résultats d'observations sur lesquelles « elles devraient se fonder sont trop nombreux. Il en est de « même des lois des déviations qui permettraient d'estimer les « chances d'atteindre un but de formes et de dimensions dé- <c terminées. L'étendue déjà considérable du traité ne l'a pas « permis. »

Depuis celte époque, des occupations et des travaux de dî* verses natures ne m'ont pas permis de reprendre la question. Cependant, en 1852, j'avais communiqué quelques parties de ce travail à M. le capiteine d'artillerie Fèvre, professeur à VÉcole normale de tir à Vidcennes, pour faciliter la recbercbe du moyen écart ; elles ont continué à faire partie de l'enseignement de cette école.

En 1854^ M. Hélie, professeur pour l'artillerie de marine à Lorient, a donné (*) des formules pour calculer la probabilité d'atteindre des surfaces de dimensions données. La théorie de ce savant professeur est basée sur la connaissance de la déviation moyenne latérale h la distance que l'on considère, c'est-à-dire sur lu moyenne arithmétique des écarts, soit à droite, soit à gauche, et considérés comme positifs ; mais, celle théorie donne lieu à des objections sérieuses qui seront rapportées plus loin (art. 2o). Dans le Calcul des probabiliiês cl théorie des erreurs^ de M. Liagrc (**), il est fait quelques applications de peu d'étendue au tir (les armt s à feu.

(*j Mémoire sur la probabilité du tir de» frojeetile$ de PartiUerie navale. Imprimerie. in)|)ériale, 4884.

DruscUes, «m

O CALCLL DES PAOBABILITËS

Dans le travail que je publie aujourd'hui, j*ai conservé à la loi de dévialion son exactitude, et j'arrive à des formules rigoureuses el d'une application Irès-facilç, Cette théorie remplira une lacune importante, el facilitera, je l'espère, Télode de la justesse du Ur des armes et de leurs effels, et les applications immédiates au tir des différentes armes ou bouches à feu. Il ne reste que quelques données h recueillir sur chacune d'elles, ce qui ne présente pas de difâcultés, et à reconnaître comment elles varient avec les distances et avec d'autres circonstances ; c'est là on travail distinct.

Jen'aipascru devoir exposer ici les noiions élcmenlaires du calcul]des prolrabilîtés, je renvoie pour cela aux traités spéciaux (*). ^

i . Considéraliom générales sur la moytme des mesures»

On sait que plusieurs causes de déviation agissent sur les projectiles, et que ceux-ci suivent, & chaque coup, des trajectoires distinctes, et ne frappent pas au môme point. Ces causes, qu on cherche & diminuer autant que les nécessités du service le comporlenl, empêchent qu'on atteigne sûrement un but proposé ; el il faut quc^celui-ci ait une certaine étendue pour qu'on ait quelque probabilité de le toucher. Celle étendue doit être d'auiant plus grande, que les causes dcviatrices sont plus nombreuses, \Aus puissantes, ou qu'elles agissent plus longlemps, par suite de l'éloignemenl du but. La probabilité d'atteindre dans cbaquo cas dépendant nécessairement de la manière dont l'arme sera dirigée, l'on doit naturellement recbcrcher d'abord lu dircclion (|ui|doil lui donner la plus graiide valeur.

Supposons qu'une arme soit chargée d'une manière uniforme ' cl constamment dirigée sur le même point d'un but vertical assez étendu pour être frappé à chaque coup. Les points louches

(*) Laplace, Lacroix, Poisson, (iouriioi, Liagre, elc.

APPUOUft AU TIR DES PftOlBGTlLES. 7

OU poinU d^impaet paraîtront d'abord fort irrégulièrement répartis^ et ToD ne reconnaîtra aucune loi dans leur arrangement; mais, à mesure que le nombre des points frappés îra én augmentant, on verra qu'autour d'un certain point, les points d'impact sont plus rapproclîcs entre eux que dans les autres parties. Si l'on considère ensuite des parties de la cible cgaliMiiont éloignées de l'honzontale qui passe j)ar le point central^ les unes audessus, les autres au-dessous, on reconnaît que le rapprochement des points d'impact entre eux est sensiblement le même, du moins en général, soit au-dessus, soit au-dessous, et l'on en conclut que les chances d'écartement, dons uu sens ou dans l'autre, sont égales.

Si Ton considère les points dUmpact relativement à leur distance à une ligne verticale passant par ce même points on reconnaît également que le degré de rapprochement des points d'Impact entre eux diminue à mesure qu'on s*en éloigne^

Pour le moment, ne considérons que la bauteur des pointa d'impact comme s'ils étaient, tous ramenés horizontalement sur la même verticale. -

Admettons que 1c nombre des points d'impact est assez considérable pour qu'il se soit élabli une sorte de continuité au-dessus et au-dessous du point central, et comme, en outre, il devra y avoir symétrie, les nombres des points frappés au-dessus et au-dessous seront sensiblemcfit égaux entre eiiXj et si on mesure la distance de chaque point d'impact au point particulier, c'csl-â-dire l'écart de chaque point touché, la somme des écarts en dessus sera égale à la somme des écarts en dessous. Cette condition détermine ainsi, d'après l'ensemble de tous les coups, et d'une manière très-précise, la position du point cen* irai.

Pour l'obtenir, il suffit, en effet, de mesurer la hauteur de chaque point au-dessus d'une ligne horizontale prise arbitrairement, de faire la somme des hauteurs et de la diviser par Je nombre des points ; on a ainsi la moyenne arUhmétique des hau» teurs ou la lîauteur moyennes c'est la bauteur du point cfaeiché, du point désigné par le nom de poku ^impeui moym»

Si l'on désigne par K^,X^,,..,ka les hauteurs de n points

8 CALCUL DBS PROBABJLITÉS

d'impact, aa^dessus d'un point pris arbitrairemeot, et qu'où

X 4-A +....Aq

fasse [1 j... *^ = m, ou, eu indiquant par le signe S

iii somme des quaolités analogues, ^z=zm, qu'ensuite les écarts

des divers points d*impact, par rapport au point d'impact moyen,

soient désignés par ai,a^, a, » et que^ par conséquent,

on ait fl,=A,— m, a^ = \^ — m, anSÂa'—my il est

facile de voir que Ton aura £a=0. Sa étant une somme algébrique, il ^lut que la somme des écarts positifs, ou des points qui sont au«dessu$ du point d'impact moyen, soil égale & la somme des écarts négatifs ou des points qui sont au-dessous.

Si le iiomljrc des points d'impact est ass(Z graml, leur ri'partiliou, rchilivciiieiU à leui" liauleur, aura un caraelère suffisant de régularité, cl le nombre des [)oinls au-dessus du ()oinl d'impacl moyen sera à très-peu près égal à celui des points situés au-dessous, cl le rapport de ces nombres sera très-près de Tunilé.

Ce (jue nous disons di^ I.i hauteur des i)oints touchés d'une cible est applicable à eo qui a lieu pour les nicsures d'une quantité en général. Il y a cependant à faire celle dislinclion, qu'ici, l'erreur n*esl pas dans la mesure de la hauteur ; elle provient des causes qu'on n'apprécie pas , et qui font varier celte hauteur d'un coup à l'autre.

Dans celte circonstance, on n'a aucune raison de préférer absolument l'une d'elles à toutes les autres, ou d'en rejeter quelques-unes; il est donc très-naturel de prendre la moyenne arithmitiqu» de toutes les valeurs, et c'est ce qu'on fait généralement.

3« Propriités de la moyenne^-^La iomme (ht carrés des fearîs est un minimum, — Écart moyen. — Moyen écart.

La moyenne arithmétique d'un certain nombre de mesures jouit de cette propriété, que la somme des carrés des écnrts, relativement à celte moyenne, est un niininmm, c'esl-â-dirc que, rapportés à toute autre mesure ou hauteur, la somme des carrés des écarts serait plus grande.

En clîet, si l'on considère une hauteur quelconque P, soil Âj,À2.... les mesures observées, s^, e,....lcs écarls ou erreurs des mesures observées rapportés à P ce qui donne e|=A| — P,

AmiQUà.AO Tltt 0E8 PUMECTILES. 9

e'^Aa — P , on oblienl facilemeol, en faisant -^=m,

[2] Sft'ssïA»— fim«+fi(P-.m)*

Los deux premiers lermes du seronJ nicnibrc étant indépen dantsde P, la valeur de ne varie qu'avec (P — 'm)% qui est toujours positive; elle atteindra donc son minimum pourP=m. Dans ce cas (art. 1), t^z=za^yt^=a^..., et l'on a [3] Sa» ou S(A— m)»=SA^— «m* Cette formule' fournit un moyen d'avoir la somme des carres des écarts rapportés à la moyenne, sans déterminer les écarts

Sa» SA* fSA\* particuliers à celle-ci; on a aussi -jj-=-^ . Cette

observation est importante, parce que , lorsqu'on a un grand nombre d'observations de A, il est long de former les différences A|— m. A, — m,... pour en calculer ensuite les carrés; cela seru généralement d'autant plus long, que la valeur de m étant obtenue avec un degré d'approximation plus grand quejes observations, les différences comporteront plus déchiffres. Si les hauteurs A^, Â^... étaient grandes, relativement aux valeurs de a^,a^... on simplifierait les calculs en rapportant toutes les mesures à une hauteur arbitraire rapprochée de m, c'est-à-dire en retranchant de ces mesures une certaine valeur choisie en iioinbic rond.

Réciproqticmcnl, ayant ïa^ rapporlce à la hauteur moyenne tn, on aura la somme des cariés des éc;irls s rapportés à une hauteur P=m -|- d, en remarquant que la=z{), par la formule ;

ou ^ i-= kéi».

Sa'

La quantité ou la moyenne des carres des écarts, qui se rencontrera souvent dans les calculs, sera remplacée par iP,

i< >• Sa' , I /v, a»

et 1 on aura == ou « = 1/ -~ ; cl, par suite : La quantité k indique, pur sa grandeur, récaricmenl plus ou

10 CALCUL DES PHOJUBiUTliS

moins grand des mesures prises on des hauleurs observées ; il no faat pas la confondre avec la moyenne arillimélique des écarts^ pris potitivment, relatifs à la hauteur moyenne ; cette moyenne indique aussi le degré plus ou moins grand des divergences' des observations entre elles ; elle jcst même assez généralement employée pour le représenter. On Ta appelé écart moyen j nous devons lui conserver son nom ; mais, on pourrait y ajouter le mot linéaire, ou le mot arithmétique , parce qu'il se rapporte à la première puissance des écarts. L'autre se rapporte à la seconde puissance des écarts, et l'on pourrait le dislin^^uerpar l'addition du mot aré (de area, su|)crficie), ou du mot quadratique ; nous l'appellerons le moyen écart. L'écart moyen (linéaire) ou aritlnnétique, et le moyen écart (aré)ou quadratique, ont entre < ux des rapports nécessaires, dont il sera question plus loin (art. 26, 29).

3. Probabilité que la moyenne prise sur un certain nombre de mesures ne s'écarte de la ooieur exacte que d'une quantité donnée^

La moyenne des grandeurs observées m = — est^ comme

on l'a dit, la mesure de la grandeur cherchée , celle qui laisse le moins de chances d'erreur, mais non pas une mesure certaine. On voit facilement que plus les observations qui donnent la valeur de A ont été répétées, ou moins ces valeurs s^écartent

les unes des autres, plus la moyenne qu'on obtient s'approche de la vraie valeur; on voit aussi que, dans ce cas, une autre combinaison, qui écarterait une ou plusieurs des valeurs, soit les plus grandes, soit les plus petites, n'apporterait qu'une trèsfaible variation dans la moyenne ; mais cela ne suffit pas. Il est important de connailre la limite des erreurs qu'on peut avoir à craindre; le calcul des probabilités en donne le moyen (*).

Laplace a fait voir que, quand le nombre des observations est assez grand, la grandeur de celte limite dépend de la valeur du moyen écart k, et qu'il y a une certaine probabilité

(*) Théorie aniilyuiiue des probabililrs de \ a{\ûacc Mémorial d'artillerie, a° 3, paj^. 141 ; -- Formules de fvobabilitc; pai* Puisson.

APPLIQUÉ AU Tia 0£S PROJBGTILBS. Il

que l'erreur à craindre^ en prenant m ponr la valeur cherchée, sera comprise entre les limites zt^^^ cnk , ou,

autrement dit, q.ue si M est la vérilable valeur cherchée, il y aura cette probabilîté p, que la différence M —m ne surpassera

pas|^/^|a&, esUmce indépendammeot du signe, a est ici

un coefficient numérique qui dépend seulement de la valeur de p ; nous représenterons cette valeur par 7 (a). Celle-ci, lorsque n est un grand nombre et qu'on néglige les quantités de

l'ordre de ia fraction - , est donnée par la relation

dan» laquelle e est la base des lo^^arllhmes népériens et tz le rapport de la circonférence au diamèlre.

Nous donnons ici la formule de Laplace sans démonstration. Getle question a été traitée fous le nom Méthode des moindres carrés, par Legendre, Gauss, Laplace, Poisson, par MM. Bienaymé, Goumot, J. Bertrand, etc.

On a calcalé des tables de (f (a) (voir à la fin de Touvrage) {*), desquelles l'on déduit p, lorsqu'on a a, ei, réciproquement, a lorsqu'on a p. Ayant «, on aura la limite des erreurs à craindre

s^oL ^y^^k et réciproquement^ ayant la limite < en la divisant par ^/^^K Aura t, et par suite, la probabilité de ne

pas dépasser celte limite.

D'après celle table, on voit que la valeur de p approche rapiJcmcnl de l'unité, à mesure que a augmente; et, pour une valeur peu considérable de a, celle de p diffère peu de l'unité ou de la certitude.

{*) Voir, à la fin de VAnaiyie des réfractions astronùmiqHss de Kramp, une table dont on déduit racilement les valeurs numériques de p en fonction do a. Voir aussi la table donnée par M. Cournot.

Dans la table donnée par Poisson, dans le Mémorial d'artillerie, n* 3, il y a une erreur sur ia valeur de p correspondante à âa=:a^Û.

12 CALCUL DES PAOBABILlIÉS

Pour uoe probabilité donnée, Terreur à craindre décrottra proporUonnellement au moyen écart; elle est donc d'autant moindre que les grandeurs variables obtenues seront moins différentes les unes des autres ou qu'elles s'écarteront moins de leur moyenne ; on reconnaît facilement que cette condition est le signe 4e bonnes observations, mais le calcul des probabilités pouvait seul en donner la mesure.

L'erreur à craindre décroît à mesure q<ic le nombre dos ohservations augmente. Le décroissement est en raison inverse de la racine carrée de ce nombre.

Réciproquement, si l'on fait varier le nombre a avec le nombre n, et que le premier reste proportionnel à la racine carrée du second, les limites s de i^errcur sont constantes; mais la pro-* babilité p, qui dépend de ol, croit de plus en plus, en même temps que c'est-ù-dirc qu'il est de plus en plus probable que Ter* reur à craindre sur le résultat moyen tombera entre des limites données. ^

Les formules précédentes seront d'autant plus exactes, que le nombre n sera plus grand. On pourra encore les employer avec utilité dans le service de l'artillerie, lorsqu'on aura seulement dix mesures d'une même chose ; mais, suivant Poisson (*), pour de moindres nombres d'observations, le calcul des probabilités ne fournit plus le moyen d'évaluer avec assez de précision « les limites de Ferireur à craindre, en prenant leur résultat moyen pour la valeur qu'on cherche; nous donnerons plus loin des explications à ce sujet.

Ces formules convitMiiiL nl au cas où les différences enire les résultais donnés par rcxpéiience proviennent, non pas seulement d'erreurs d'observations, mais bien aussi de causes déviatrices de toute espèce , et qu'on regarde comme accidentelles. Chaque valeur trouvée, telle que la portée d'un boulet, ou la hauteur du point frappé d'une cible, diffère plus ou moins des autres, sans que l'erreur provienne des mesures mernes; c'est une valeur véritable dépendant de ces causes. Mais, parmi toutes les.valeurs qu'on peut obtenir, on suppose qu'il en est une telle

(*) Mànorial d'aniUerie, n* 3, pag. <i6.

APPLIQUÉ AU TIR DBS PROIBCTILBS. 13

que deux écarts égaux, l'un en plus, l'autre en moins, sont également probables dans chaque observalion ; c'est cette valeur, ainsi définie, qu'on regarde comme la vraie valeur cherchée; c'est celle dont le résultat moyen d'un grand nombre d'observatioos approche de plus en plus à mesure que Icurnombre augmente.

Ces formules s'appliqueront également au cas des observations des coups touchant à droite ou à gauche de la ligne verticale tracée snr une cible, et sur laquelle on dirige les coups, ou de la trace sur le terrain du plan vertical mené par Taxe de la bouche à feu ; elles serviront à déterminer Tinfluenoe d*une cause qui ferait dévier les projectiles hors du plan vertical, tel que lèvent, lorsqu'il agit latéralenipnt ; elles donneront Teffe^ moyen de cette cause, si elle existe, et Terreur qu'on peut avoir à craindre sur la mesure de cet effet.

On pourra, par 1& aussi, trouver la probabilité que la eaase existe réellement, en cherchant, d'après la somme des carrés des écarts, quelle est la probabilllé que la moyenne observée ne s'éloigne de la véritable que d'une quantité inférieure à celle moyenne; celle-ci devant être nulle s'il n'y a pas de force dévialrice.

C'est aussi de cette manière qu'on pourra reconnaître s'il y a dans l'arme une cause dcviatricc lalcrale, Icile qu'est la rayure en hélice des armes, ou une ligne de mire non parallèle au plan vertical du tir.