CAS DES FONCTIONS NON LINÉAIRES
§ 136. — La méthode des moindres carrés, nous l'avons développée, suppose que les relai mitives qui existent entre les inconnues sont i linéaire. Elle se compliquerait beaucoup et dei matériellement inapplicable, pour toute autn Heureusement on peut, au moyen d'une soluti recte, ramener ce dernier cas au premier.
Pour cela, parmi toutes les équations four l'observation, on en choisit autant qu'il y a d'im et on détermine les valeurs de ces inconnues procédés ordinaires de l'algèbre. Très-souvenI ce travail préparatoire est inutile, car on coni les valeurs approxitnatives des inconnues, et li vations n'ont pour but que de corriger ces valeu le cas qui se présente, par exemple, lorsqu'on les observations des planètes, pour corriger le de leur mouvement.
Soient donc X, Y, Z... les valeurs approi de X, y, z... données à priori, ou déduites d mier calcul purement algébrique : il s'agit de les corrections co', t/, s'. . . dont ont besoin ces pi suppositions. On a, par conséquent,
« = X4-^; s = ï + y': z = l + z' ... Introduisons les valeurs provisoires dans les êi proposées ; elles donneront
Vo —F (X, Y,Z...)
c'est-à-dire e équations entre i inconnues, qui
tront de calculer les valeurs numériques des fonctions V V V"
Si nous introduisons X -|- a/, Y -f- y'» Z -f- z'... dans nos équations primitives, au lieu de œ, y^ z... nous obtiendrons :
V =F ÇL + af; Y + y' ; l + z',..)
V" = r'(X + a:'; Y + y' ; Z + z' ...).,. cic;
OU bien, en développant d'après le théorème de Taylor, et négligeant les puissances supérieures des petites corrections a/, î/, z'...
dX ' dY ' ' dZ
• ^ dX ^ dY "^ ^ dZ ^ •••
Tx'^'T^'" ^^ ^^'^^ ^"^''^ chose que les dérivées partielles de la fonction primitive V, dans laquelle on a substitué X, Y, Z... à x, y, -ar...; il en est de même
de --j^j-j-^'" ®tc. Désignant ces quantités connues par
a, &, c..., a', 6', c'..., on obtient entre les corrections 0?', j/, z'. . . des équations de la forme
V = Vo + ax' + by" + cz' + ...
V" = V"o + a'V + yy + (/V + ... etc.
Soit 0 la valeur de V fournie par l'observation; nous aurons
0 — v = 0 — V» — (oo;' + V + cz' ...) ; faisons V — O = a, quantité inconnue ;
Vo — 0 = n, quantité connue :
