CAS DES FONCTIONS NON LINÉAIRES

il viendra a = oa/ + V + <»'+••• + ^ On aura de même

A' = aV + 6y + c'^' 4- ... + n' A" = a'V + &"/ + d'z' + ... + n" ...

Système entièrement semblable au groupe (p') du § 129. Chaque observation fournit donc entre les corrections œ\ y', z!... une équation linéaire; et l'ensemble de ces équations se traitera par la méthode exposée précédemment.

§ 137. — P On trouve en géodésie de fréquentes occasions d'appliquer la méthode qui vient detre exposée. Admettons, par exemple, qu'un observateur, en station au point 0, découvre quatre sommets A, B, C, D de la triangulation : il pourra , pour déterminer les directions relatives des quatre rayons visuels OA, OB, OC, OD. mesurer les six angles horizontaux AOB, AOC, AOD, BOC, BOD, COD; et en déduire , de plusieurs manières dilSerentes, les valeurs des angles cherchés ^ Il y a donc lieu d'opérer ici la compensation des observations, et de chercher, par la méthode des moindres carrés, la valeur la plus probable du résultat.

* CcUe méthode d*observatioD, recommandée par les auteurs aile-, roands, est désignée par eux sous le nom de « Horizofit-Abschluss », locution qu'il ne faut pas confondre avec Texpression française « tour d'horizon ».

Soit, par exemple :

AOB = 48'Mr i",4 = a; AOC» 96 52 16 fi = y A0D = i52 54 6 ,8 = « B0C== 48 35 14 ,3 = y — as BOD = 104 37 7 ,8 = « — x COD= 56 1 48 ,9 = 2 — y.

Dans le cas actuel , les valeurs approximatives des fonctions proposées se trouvent sans aucun calcul, en les supposant à peu près égales aux résultats immédiats de Tobservation. Soient donc les suppositions suivantes, que nous écrivons en supprimant les degrés et les minutes :

Nos équations de condition seront

Les coefficients sommatoires et auxiliaires seront

[oa] = 3 lari] = — 0" ,3

[a!»] = — 1 Ibti-] = + 0 ,8

[oc] = — 1 [en] = — 0 ,5.

[bb] = 3 Ibc] = — 1 [ce] = 3.

ICATION A LA GÉOOËSIË.

r équations finales :

la dixième de la seconde, les valeurs

Ses incoDQues seront donc :

:es éléments corrigés aux résultats par l'observation, on trouvera les

irrés de ces erreurs est 7", 94 : le its à déterminer étant 3, on a donc, inné d'une observation,

.|/pi = ±r,63. .

La forme des équations de condition suffit pour montrer que les trois inconnues sont déterminées avec une égale précision : les équations du poids sont d ailleurs très-faciles à former; on aurait, par exemple, pour celles qui sont relatives à œ^

3Qi — qt— Ç3 — 1 = 0

Doublant la première et rajoutant aux deux autres, on obtient immédiatement

Qi=l, d'où P. = 2.

L'observation simple a été prise pour unité de poids; il s'ensuit que Terreur moyenne de chaque détermina-

tionesttk-) .= JU=±i"j5.

Nous traiterons plus loin le cas où les angles observés formeraient un tovr d horizon.

2** On veut rattacher la position d'un point inaccessible, K, à la base AP : pour cela, on a mesuré les trois angles KAP, KBP, KCP, ainsi que les distances AB, AC. Il s'agit de trouver la valeur la plus exacte de l'ordonnée KP = y, et de l'abscisse AP = x.

Les données de la question sont

KCP = 0 = 860 27' i8",9 KBP = 0' = 73 â2 13 ,4 KAP = 0"=6i 4 38 ,7.

AC = D == iS'^.lSSe AB = iy= 9 ,3793.

Nos équations primitives sont

lang 0" = — ^ .

Au moyen de la première et de la troisième, calculons les valeurs provisoires de a? et de y ; nous trouvons ainsi X== + 20,414

Soient o, o\ d\ les valeurs de 0, 0', 0" qu'on calculerait au moyen des éléments provisoires X et Y: nous avons

Vo = tang 0 = :^-^ ... 0 r= 86<» 27' 20" ,45 ;

V'o = tango'=^^...o'=73 22 14 ,30;

V"o = lango" = — L-...o" = 61 4 39 ,94.

Différentiant la première de ces trois relations, nous avons

ào dY YdX

cos« 0 X — D (X— D)«

On peut transformer cette expression en y introduisant les valeurs* de CK = r; BK = r'; AK = r^\ qui

sont faciles à calculer, et qui ne sont autre chose que (X — D) cos 0 ; (X — D') cos d ; X cos o". Nous remplaçons en outre Y par r sin o = r' sîn d = r" sin o", et nous multiplions le second membre par sin 1" pour réduire do en secondes. Il vient

sin y 8in (/ sin 1" cos (/

do' = 3 aX H oY =a'dX+ bdï ;

^, sin i"^^ (/> ^ ^ sin i'^cos ^' ^ ^^„^^ ^,^^

Nous en déduisons

a = — 5561,6 ft =+ 344,5

a' = — 5125,7 fr' = + 1530,9

Retranchant les angles observés des angles calculés, on trouve

Nos équations linéaires sont donc

A =— 5561,6a/+ 344,5^ + 1,55 A' = — 5125,7 gf + 1530,9 y' + 0,90 A" = — 4277,1 af + 2363,3 y' + 1,24.

A la rigueur, il était inutile de les transcrire ; il était môme superflu de former les nombres a, &, etc. : leurs logarifhmes nous suffisaient. Au moyen de ces logarithmes et de ceux des n, on formera les coefficients des équations normales, qui sont

iaiq [aa] [ab] [bn] ibh]

Si nous voulons que a/ et y' soient exprimés en millimètres, il suffira de diviser par 1000 leurs coefficients. Nos équations normales seront donc

75498 Jf — 19871 rf — 18537,13 = 0 — 19871 a;' + 8047 y' + 4842,12 = 0 ;

et Ton en tire x' = + 0,24896

Nos coordonnées définitives sont donc

Voulons-nous subsidiairement voir quelles sont les corrections que devraient subir nos observations, remplaçons a/ et y' par leurs valeurs dans les équations de condition, et nous trouverons

Valeurs que nous pourrions aussi trouver, en recommençant, avec les éléments définitifs^ le calcul de o.

Pour trouver la précision de notre résultat, formons les équations du poids au moyen des équations normales ; ce qui nous donne :

75498Qi— 19871^4— 1 =0 ) , -^ ^ ^ - 19871 Q.+ 8047 ç. ^ j pour le poi4s de ^ ;

75498 Çi - 19871 Q, = 0 , , . . ^ , - 19871 ç. + 8047 Q, - 1 = 0 f P^"^ *^ ^^'"^ ^' î' '

Éliminant, on trouve

Qi = ^ = 0,0000378364 Q» =^ = 0,0003^49917.

Remarquons que l'unité de poids se rapporte à la seconde pour les angles et au mètre pour les longueurs ; Qi, Qj étant exprimés en unités correspondantes au millimètre, il faut commencer par les diviser par 1000. Cela posé, l'erreur moyenne de l'observation est

donc

e' == e |/Qi ^ d= 0«»,00008755

e" = e i/q", = zt O'n.oooaesis.

L'abscisse est donc déterminée trois fois plus exactement que l'ordonnée, ce qui résulte géométriquement de ce que les angles mesurés sont ceux en A avec AP et non ceux en K avec KP.

§ 138. — Il nous reste encore une question importante à résoudre : c'est de trouver la précision de certaines quantités qui doivent elles-mêmes être calculées en fonction des éléments qui ont été déterminés par la méthode des moindres carrés. La solution ne présente aucune difficulté.

Soit u une fonction des éléments a?, y, z.,.. Cette fonction est connue, de sorte que l'on a

Nommons h\ h!\ h"^ les coefficients différentiels : nous aurons

du = h!dx + h"dy +^'"d« . .

I = [fl-

\h^ e«] = 0,541913 ... 0, 000 000 056892 6=zh0",736 ... dr 0"*,0002385.

'■»'' ^i^^]^'xi^

et par suite, en nommant ei l'erreur moyenne de w, et ;*^

P son poids, nous aurons, comme au § 125, .:^S

ei« = /i'« e'* + h!'^ e"« + h'"^ e'"« ... - ^ i^

Application. — Nous avons trouvé dans l'exemple ^

précédent x = 20.414249; e' == zfc 0,00008755 ':

Or notre but définitif était de calculer les éléments

nécessaires pour réduire au signal K, comme centre, >J

les angles observés à la station A : ces éléments sont '^

l'angle de direction KAP=V, et la distance AK=R; ^

et on a, pour les déterminer, les relations '^

lang V = 1 ... V = 61« 4' 38",91 R = -r^-^ = l/a«+y* = 42'«,210768.

SIQ V

Reste maintenant à calculer Terreur moyenne de ces deux quantités : la différentiation des deux dernières fonctions donne

sin 1" sin V , . sin 1" cos V , dV = j^ dx~\ ^^ dyi

dR = cos V dx -{- sin V dy.

Appliquant les nombres, on obtient

Pour V Pour R

406 THÉORIE DES PROBÂBIUTÉS.

Les éléments de la réduction au centre ne comportent donc que des erreurs insensibles, et cet exemple nous autorise à conclure que, dans les opérations géodésiques, « la grandeur des réductions au centre na, « par elle-même, aucun désavantage, pourvu qu'on « mette tous ses soins à bien mesurer les éléments de « cette réduction. »

§ 139. — La méthode du paragraphe précédent suppose que e', e", e'"... sont les véritables erreurs des inconnues, et que celles-ci sont indépendantes entre elles. Mais, dans la réalité, les inconnues dépendent, jusqu'à un certain point. Tune de l'autre, puisqu'elles sont fournies simultanément par les mêmes observations. Au lieu donc d'admettre les poids calculés (§ 133) pour 0?, y, z..., il vaut mieux recourir aux observations, pour trouver d'un seul coup le poids de la fœiction même.

Supposons cette fonction, qu'on peut toujours ramener à être linéaire (§ 136), représentée par :

le nombre des inconnues étant] trois, pour fixer les idées.

Si l'on ne peut appliquer k œ, y, z la formule du § 125, on peut le faire aux observations dont ces quantités sont fonctions. Or, en intégrant les équations (5), on trouve :

a; = R + aïO + at«0' + otjO" + ...

y = S + fiO + P«0' + P3O" + ...

;5=T + Yi0 + rï0'+r30" + ...