AC8 = 2425T
— LsC8 = 3303 T, 9003.
Triangle : Camp (s). Terme B, Lommel (s) ou Cs B Ls
CôtéUB «4305^,4224
— L.Cs = 3303 T, 9003
— BCs = 2446^,4664.
Triangle : Lommel (s), Terme A, Camp (s) ou Ls A Cs
CôtéCsA =2425^,4533
— LsC8 = 3303^,9003
— LsA =4544^,2155.
Triangle : Lommel (s). Camp (s). Terme B ou Ls Ss B
CôtéCsB =2116^,1661
— LsB =1305^,4224
— LsCs = 3303^,9003.
I^a moyenne des quatre valeurs de la base calculée est :
3303 '',9000268746 ou en mètres : 6439"42251680.
§ 163. — La détermination directe de la différence de niveau entre deux sommets géodésiques s'obtient par l'observation des distances zénithales. La méthode des distances zénithales réciproques et simultanées repose sur l'hypothèse que la trajectoire lumineuse fait des angles égaïuc avec la droite qui joint ses deux extrémités : les observations de Bessel [Oradmessung , p. 172) et celles de Baeyer {Nivellement zwischen Swinemunde und Berlin) ont prouvé que cette méthode est la plus exacte de toutes celles que l'on connaît aujourd'hui. Elle part cependant d'une hypothèse évidemment inexacte, puisqu'elle admet une réfraction égale en des points où la densité de l'air est différente; mais l'erreur n'a qu'un effet très-peu sensible, lorsque les différences de niveau ne sont pas considérables.
Soient h^ h! les hauteurs de deux points A et B au-dessus du niveau de la mer ; C le point de rencontre de leurs verticales; les distances zénithales des points B et A, observées des points A et B, sont respectivement z -{- dz, z' -\- dz\ en représentant par dz et dJ les petits angles de réfraction aux points A et B.
Or, le triangle rectiligne ABC donne
Fangle A » 180* ^z ^dz
180* =» 360« + C — (« +dz + z' + dz^);
d OÙ Ton déduit
{{)... i80« + C==z + dz + z' + dz' (2)...^(A+B)=90o-ic
(3)...i(A~B)=i(^' + dV-:5-(i^)- 90o-(2 + dz-^c]
Si Ton désigne par s la distance entre les verticales de A et de B, réduite au niveau de la mer, et par r le rayon de courbure moyen de l'arc s, on obtient, pour le cas où l'angle C est très-petit.
r sin 4" r
R'' étant, comme on sait, égal au nombre de secondes compris dans l'arc égal au rayon, ou à 206264",8.
Faisons en outre dz 4- dz'^kC : la quantité k est ce que Gauss nomme le coefficient de réfraction^. Introduisant kG dans l'équation (1), et substituant à C sa valeur trouvée plus haut, on obtient
formule qui donne le coefficient de réfraction en fonction de la distance s^ et des distances zénithales réciproques et correspondantes observées aux points A et B.
* Il est bon d*observer que les auteurs français donnent le nom de coefficieiit de réfracliofi à la quantité n dans Téquation
dz + ds/
= nC;
de sorte que n ^ - fe.
Dans la triangle A B C, il existe entre les deux côtés r-j-A, r-f-A', et l'angle compris C, la relation connue
= cotg - C : lang - («' + d«' — « — dz) ;
d'où /,'-/i=.Jl+îi^]2rUng|cuingi(^' + d^'-;5^
Comme h et h' sont négligeables par rapport à r, et que C est un angle très-petit, on peut faire la première
parenthèse égale à l'unité, et remplacer 2r tang i C
par la distance s. Transportant ces valeurs, et celles
(3) de i (A — B), dans la dernière équation, on obtient,
pour la diflTérence de niveau entre A et B, les expressions :
(5) ... V — /i = 5 Ung ; (z' + dz' — z^dz)
= « cotg f « +dz — 2 ^) ; /i — V == * colg [«' + (i*' — ^ cV
En outre, si Ton admet que l'angle de réfraction est le même en A et en B, on a
^ , kC ksW^ az s dz =s — =s "— - :
et les formules précédentes deviennent
(6)... À' -^ A = 1 tang ^ (»' — «)
z — — (i — A) jpR"
516 THÉORIE DBS PROBABILITÉS.
On pourrait introduire, au lieu de la distance zénithale, l'angle de hauteur, e^ que la droite A B fait avec rhorizon de A : on a
e = 90» — . « , d'où « = 90» — « ;
et par suite :
ou bien, en remplaçant la tangente par l'arc, ce qui est permis, vu la petitesse de Tangle e :
(7)... v-fc=«+,.(il^.
Lorsque, d'un point A, on a observé la distance zénithale de l'horizon de la mer, AB devient une tangente au point B ; par suite A'=0 et ;a;'=90*^. Dans ce cas, on tire de l'équation (4)
et de Téquation (6)
— /i « « ung r(90« — «).
ou (9) ... h^s tang -(« — W).
Prenant la valeur de z dans l'équation (8), et la transportant dans la deuxième des équations (6) , on trouve
^ — *tang-^(4— *);
ou bien, en remplaçant la tangente par l'arc,
(iO)... A-,t(l^].
Transportant enfin cette valeur de
dans réquation(9), on obtient, en fonction de la distance zénithale de Thorizon de la mer, la hauteur du point de station A, indépendamment de la distance ; savoir :
Lorsqu'on égale entre elles les expressions (10) et (11), on obtient
2r i , ^^ , r /a — 90»\ — re
Dans la dernière expression, e est négatif par lui-même, puisqu'il indique la dépression de l'horizon de la mer. La valeur de s est donc toujours positive.
Les formules que nous venons de trouver renferment tout ce qui est nécessaire au calcul d*un nivellement trigonométrique.
Quand on a observé plusieurs fois les distances zénithales réciproques et correspondantes entre deux stations, on calculera de la manière suivante Terreur probable des observations.
M étant la valeur moyenne de i [z' — z) dans Téqua-
tion (6), Terreur de chaque valeur particulière est
Terreur moyenne e = \y^ I^,
n étant le nombre des observations ; Terreur probable
r" = 0,6745 e, en Secondes; OU bien n = •— , en fonction de la distance s.
Soient r', r", r"'... les erreurs probables relatives à différents couples de stations successives ; Terreur probable du résultat définitif sera
COMPENSATION DES ERREURS d'uN NIVELLEMENT TRIGO- NOMÉTRIQUE, d'âPRÈS LA BIÉTHODE DES MOINDRES CARRES*
§ 164. — Lorsque, dans une chaîne de triangles, on a mesuré plus de distances zénithales quil nest absolument nécessaire pour la détermination des différences de niveau entre les sommets, il en résulte des équations de condition, comme dans la mesure des
angles horizontaux; et ces équations doivent être rigoureusement satisfaites, si Ton veut que les hauteurs déterminées, comparées entre elles, ne présentent aucune contradiction. Ces conditions sont exprimées en fonction des erreurs y c'est-à-dire des différences qui existent entre les déterminations qui sont indispensables et celles qui sont superflues : elles peuvent, par conséquent, comme les équations de condition d'un réseau horizontal, être traitées par la méthode des moindres carrés.
La première chose à faire, pour établir ces conditions, est de chercher une règle qui en fasse connaître
le nombre , de manière à n'introduire dans le calcul ni trop ni trop peu de conditions.
Dans un triangle A B C on peut observer trois différences de niveau, savoir : entre A et B, entre A et C, et entre B et C. Prenons pour point de départ le sommet A (dont la cote est supposée connue) : lés deux premières différences de niveau détermineront les cotes des points B et C : la troisième fournit donc une équation de condition, tout comme la mesure du troisième angle d'un triangle. Ainsi « lorsque, dans un triangle, « on a observé lés différences de niveau entre les som- « mets pris deux à deux, il existe une équation de con- « dition relative au nivellement ( eine Ilôhenbedin- « gung). »
La formation de cette espèce d'équation est bien simple. En effet, supposons que Ton parte d'un sommet du triangle, et qu'on en suive le contour, de manière à revenir au point de départ ; soient A], h^^ A, les cotes des trois sommets : la somme de leurs différences de niveau sera
(hi — ht) + (h^ — h^) + (^5 — hi).
valeur identiquement nulle. Par suite, « la somme des « différences de niveau entre les trois sommets d'un « triangle doit être égale à zéro. »
La même relation a lieu évidemment pour tous les sommets d'un ' polygone quelconque .
De plus, « cette relation sera né- « cessairement satisfaite dès que la
520 THiORIE DBS PROBABILITÉS.
« condition précédente sera remplie pour les triangles qui composent le polygone. » Soit, en effet, le pentagone 1. 2. 3. 4. 5; et supposons qu'on donne
{hi - ht) + {hi^ h^) + {hi ~ hi) = 0 {ht - ht) + (hz - h,) + {II, - /i,) = 0 (hi — h^ + {h^ — h^) -\- {h^ — hi) => 0. Ajoutant, on a
(/»i-/ti) + (/it- /il) + {hz - h^) + (h, - /rj + (h^-hi) = 0;
et de môme pour un polygone quelconque.
Cette considération facilite beaucoup la formation des équations de condition; car il en résulte que, dans toute figure composée de triangles, il suffit de chercher les équations de condition dans ces triangles mêmes : dès qu elles seront satisfaites, il en sera de même pour toutes celles que peut présenter la figure ; et chaque sommet, abaissé dune quantité égale à sa cote, se trouvera sur une seule et même surface de niveau, celle de comparaison.
On n'éprouvera donc aucune difficulté à déterminer le nombre d'équations de condition qui existent dans une triangulation : il est égal au nombre de différences de niveau observées, moins le nombre de différences de niveau qui (à partir d'un point initial) est strictement nécessaire pour la détermination des autres points. Supposons que la triangulation ait n sommets; elle exige (n — 1) différences de niveau : si donc on en a réellement observé w, il y aura m — n -j- 1 équations de condition.
Pour le triangle, m=3, n=3 : il y a donc 1 équation de condition.
COMPENSATION DES ERREURS d'UN NIVELLEMENT. 521
Pour le quadrilatère avec deux diagonales, w = 6, n=4 : donc 3 équations.
Pour le quadrilatère avec 1 point intérieur, m =8, n=5 : donc 4 équations, etc.
Représentons par H la diflfërence de niveau entre deux points  et B ; par z la distance zénithale de B observée de A : nous aurons, d'après l'équation (6),
Pour connaître la variation de différence de niveau qui correspond à une erreur sur la distance zénithale observée, différentions l'expression précédente par rapport à H et à 3r; il vient
dB==-
sin.j.-^'(i-^)j
Mais , dans les observations géodésiques , l'angle
s'écarte toujours très-peu de 90^ ; et l'on peut, par une approximation suffisante, faire son sinus égal à l'unité \ il vient donc
dH = — sàz.
Si dz exprime des secondes, il faudra le diviser par R'\ et alors dlS. sera exprimé dans la même unité que la distance 5. On a donc en définitive
Cette formule s'explique géométriquement d'une manière très-simple. Z AB' étant l'angle z; B' A B" l'erreur dz, on aura, en supposant le triangle différentiel B' A B" rectangle en B',
B'B" = B"A sin dz ;
mais B'B" n'est autre chose que dR ; B"A diffère très-peu de S; donc
d^ = s sin dz = sdaf' sin 1
tf
sdz^'
Telle est la valeur absolue de dH. Quant aux signes, on voit que, lorsque z augmente, H diminue; c'est-àdire que dH et dz sont toujours de signes contraires. D'après cela, si les différences de niveau des trois sommets d'un triangle sont + Hi, -\- H^, — H3; les longueurs des côtés ^i, ^2, ^3 ; les corrections inconnues à faire subir aux distances zénithales (1), (2), (3); on formera l'équation de condition en ajoutant
et Ton aura
-~?(2)à + H,el + ^(3)à-H,;
OU bien, en remplaçant par 3 la quantité toute connue Hi, -}- Hi, — H3, et par a, a', a" les coefficients des corrections,
Pour généraliser la question, nous admettrons que
le nombre de répétitions des observations zénithales n est pas le même aux différentes stations : il faudra donc accorder aux résultats des poiHs^i, p^, jog... proportionnels aux nombres d'observations, et il s'agira de réduire à un minimum relatif la fonction
2S «pi (iy+pt (2)* +P3 (3)« ... ... (i)
eu égard aux conditions suivantes
tt' = 0 = 6 + fr (1) + è' (2) + 6" (3)... etc. * • ^ ^
Si Ton multiplie respectivement ces équations par les facteurs indéterminés I, II... ; qu'on les différentie par rappprt à (1), (2), (3)..., et qu'on ajoute les coefficients différentiels (qui, d'après la condition du minimum, doivent être égaux à zéro) aux coefficients différentiels analogues tirés de (1), on aura :
dS , du . , duf ,. . ...
»-dIl) + d(F)^ + J(2)"+ ('>
dS . du . . du' - ,
Mais, d'après l'équation (i),
dS ds ds
En outre, on a
du du' , du , du' .,
^™ ^» T77\ = 0 ... -T-T^rr = O , TTal =™ t' ...
d({) 'd{i) d(2) 'df2)
Ces valeurs, substituées dans les équations précédentes, les transforment en
et Ton a (4) = -IL i + b 11 + ...J
(2) = -.ljaM4-y n + ...j ...(4)
(3) = ^-ija"I + y'II + ...j
Transportant ces valeurs de (1), (2), (3) dans les
équations (2), on pourra déterminer les coefficients I, II...; et ceuic-ci, introduits dans les équations (4), permettront de déterminer les corrections (1), (2). (3)... Pour opérer avec facilité, on négligera le signe moins qui précède le second membre des équations (4) , en transportant les valeurs de (1), (2), (3) dans les équations (2) : on obtiendra ainsi les équations finales
a-[ïï],+[|]u+...
La résolution de ces équations donne les valeurs des coefficients I, II... ; et si on les substitue dans les équations (4), débarrassées de leurs signes moins, on aura les corrections (1), (2), (3)...
Ces corrections expriment, en secondes, les changements qu il faut &ire subir aux distances zénithales observées, pour que le nivellement trigonométrique soit exactement compensé. Les variations de niveau
correspondantes, que nous assignons par A,, àf, A3... s'obtiendront par la formule
§ 165. — Pour déterminer la hauteur du Mûggelsberg, Baejer en a observé la distance zénithale, en
sept stations dont les cotes étaient déjà connues : les différences de niveau qu'il a obtenues sont consignées dans le tableau suivant.
